1、贾光政 教授,机械控制工程,第四章 系统的频率特性分析,大庆石油学院机械科学与工程学院,2011年5月,熟悉频率特性的特征量（频域性能指标）。,了解最小相位系统与非最小相位系统；了解闭环频率特性与开环频率特性的关系 。,掌握频率特性的基本概念及其与传递函数的关系；掌握频率特性的求法；掌握Nyquist图与Bode图的组成原理，一般系统的Nyquist图与Bode图基本绘制方法。,内容提要,4.1 频率特性概述,1、基本概念,1）频率响应：,线性定常系统在谐波信号输入下的稳态响应。,1基本概念,2）频率特性G(j)：,线性定常系统在谐波信号作用下，系统的稳态输出与输入信号的复数之比随频率变化的关
2、系。,频率特性由幅频特性和相频特性组成。,4.1 频率特性概述,1基本概念,3）幅频特性A()：,线性定常系统在谐波信号作用下，系统稳态输出的幅值与输入信号的幅值之比随频率变化的关系。,幅频特性定义为,4.1 频率特性概述,1基本概念,4）相频特性 ()：,线性定常系统在谐波信号作用下，系统稳态输出与输入信号的相位差随频率变化的关系。,相频特性定义为,4.1 频率特性概述,1基本概念,5）实频特性 u()：,频率特性的实部。,4.1 频率特性概述,6）虚频特性 v()：,频率特性的虚部。,1基本概念,根据幅频特性和相频特性，频率特性可表示为,4.1 频率特性概述,根据实频特性和虚频特性，频率特
3、性可表示为,1基本概念,幅频特性、相频特性，实频特性、虚频特性有如下关系,4.1 频率特性概述,2、频率特性的求取方法,1）根据频率响应定义求取,输入,4.1 频率特性概述,输出,2频率特性的求取方法,4.1 频率特性概述,从xo(t)的稳态项中可得到谐波输出的幅值和相位，然后，按幅频特性和相频特性的定义，就可得到幅频特性和相频特性。,2频率特性的求取方法,4.1 频率特性概述,举例:,已知系统的传递函数，,求其频率特性。,解:,2频率特性的求取方法,4.1 频率特性概述,稳态响应为,幅值为,相位为,2频率特性的求取方法,4.1 频率特性概述,幅频特性为,频率特性为。,相频特性为,2频率特性的
4、求取方法,2）将传递函数中的s换为j 来求取,4.1 频率特性概述,令,则,将其分解为实部和虚部，利用幅频特性、相频特性，实频特性、虚频特性之间的关系可求得频率特性。,2频率特性的求取方法,4.1 频率特性概述,举例:,已知系统的传递函数，,求其频率特性。,解:,实频特性和虚频特性,2频率特性的求取方法,4.1 频率特性概述,幅频特性为,相频特性为,频率特性为。,2频率特性的求取方法,3）用实验方法来求取,4.1 频率特性概述,根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号 Xisint的频率，并测出与其对应的输出幅值 Xo()与相移 ()；,然后，做出幅值比 Xo()/Xi 对频率的函数关系曲线
5、，此即幅频特性曲线；,最后，做出相移()与频率的函数关系曲线，此即相频特性曲线。,4.1 频率特性概述,3、频率特性的作用, 系统频率特性就是单位脉冲响应函数w(t)的Fourier变换，即w(t)的频谱。系统的频率特性如同单位脉冲响应函数w(t)一样，包含了系统动态特性的信息。, 频率特性分析是通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应，以获得系统的动态特性。,3频率特性的作用,4.1 频率特性概述, 根据频率特性，可以较方便地判别系统的稳定性和稳定性储备，并可通过频率特性进行参数选择或对系统进行校正，使系统尽可能达到预期的性能指标。, 采用频率特性分析可以较方便地解决高阶线性系统的性能分析问题
6、。, 采用频率特性分析法，可以设计出合适的通频带，以抑制噪声的影响。,4.1 频率特性概述,4、微分方程、传递函数、频率特性的相互关系,系统,微分方程,传递函数,频率特性,j,j,s,s,p,p,1频率特性的极坐标图(Nyquist图),由于 G(j) 是 的复变函数，故可在复平面上用复矢量表示。,对于给定的，G(j) 可以用矢量或其端点坐标来表示。,矢量的长度为其幅值 |G(j)|，与正实轴的夹角为其相角()。,在实轴和虚轴上的投影分别为其实部和虚部。,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,4.2 频率特性的图示方法,频率特性的极坐标图：,当从0时，复平面上 G(j) 端点的轨迹
7、。,也称幅相频率特性图，或称Nyquist图。,它不仅表示了幅频特性和相频特性，而且也表示了实频特性和虚频特性。,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,；,，,；,，,Im,Re,=0,o,|G(j)|,=,n,1,G(j),2,3,G(j),4.2 频率特性的图示方法,幅频特性是角频率 的偶函数;相频特性是 的奇函数。, 从 0 变化到 时的幅相曲线 与 从 - 变化到 0 的幅相曲线关于实轴对称。,通常，只画出 从 0 变至 时的幅相曲线，并在曲线上用箭头表示 增大的方向。,1频率特性的极坐标图,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,（1）典型环节的Nyquist图
8、, 比例环节,频率特性,幅频特性,相频特性,比例环节的幅相曲线为正实轴上的一点（k，j0）。,传递函数,结论：,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图, 积分环节,频率特性,幅频特性,相频特性,传递函数,实频特性,虚频特性,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,积分环节的Nyquist曲线是一条与负虚轴重合的曲线，由无穷远点指向原点。,当从0时，G(j) 的幅频特性从 0，相频特性始终等于 -90。,积分环节是相角滞后环节.相角始终滞后 90,结论：,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图, 微分环节,频率特性,幅频特性,相频特性,传递函数,实频特性,虚频特性,
9、4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,微分环节的Nyquist曲线是一条与正虚轴重合的曲线，由原点指向无穷远点。,当从0时，G(j) 的幅频特性从0 ，相频特性始终等于 90。,微分环节是相角超前环节，相角始终超前 90。,结论：,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图, 惯性环节,频率特性,幅频特性,相频特性,传递函数,实频特性,虚频特性,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,；,，,；,，,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,当从0时，惯性环节的Nyquist曲线是圆心在（K / 2，j0）处，圆半径为 K/2 的一个半圆; 在虚轴的下半部（
10、第四象限）。,惯性环节是相角滞后环节，且滞后相位角随频率的增大而增大，最大相位滞后90.,结论：,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图, 一阶微分环节,频率特性,幅频特性,相频特性,传递函数,实频特性,虚频特性,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,；,，,；,，,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,当从0时， G(j) 的幅频特性由0 ，相频特性由 0 90。,结论：,一阶微分环节的Nyquist曲线图是一条起始于（1，j0）点，在实轴上方且与实轴垂直的直线。,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图, 振荡环节,频率特性,传递函数,令,则,4.
11、2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,相频特性,实频特性,虚频特性,幅频特性,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,；,，,；,，,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,当从0时， G(j) 的幅频特性由10 ，相频特性由 0 -180。,结论：,振荡环节的频率特性的 Nyquist曲线始于点（1，j0），而终于点（0，j0）。曲线与虚轴交点的频率就是无阻尼固有频率n，此时的幅值为 1/2，曲线在第三、四象限。, 取值不同， Nyquist曲线形状不同。,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,二阶微分环节,频率特性,传递函数,4.2 频率特性的图示方
12、法,1频率特性的极坐标图,相频特性,实频特性,虚频特性,幅频特性,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,；,，,；,，,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,当从0时， G(j) 的幅频特性由1，相频特性由 0 180。,结论：,二阶微分环节是相位超前环节，最大超前相角为 180 。,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图, 延时环节,频率特性,幅频特性,相频特性,传递函数,实频特性,虚频特性,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图,；,，,；,，,延时环节的频率特性的 Nyquist 曲线图是一个单位圆，其幅值恒为1，而相位则随顺时针方向的变化成正
13、比变化，即端点在单位圆上无限循环。,结论：,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图, 求出若干特征点：,（2）绘制Nyquist图的一般步骤, 由G(j)求出其实频特性、虚频特性和幅频特性、相频特性的表达式；,起点=0， 终点=， 与实轴的交点 ImG(j)=0， 与虚轴的交点 ReG(j)=0 ；,4.2 频率特性的图示方法,1频率特性的极坐标图, 补充必要的几点；,根据实频特性、虚频特性和幅频特性、相频特性的变化趋势以及G(j)所处的象限，做出Nyquist曲线的大致图形。,2频率特性的对数坐标图,对数频率特性曲线又称对数座标图或伯德(Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线
14、。,4.2 频率特性的图示方法,Bode图横坐标 ：,4.2 频率特性的图示方法,十倍频程用 dec 表示.,频率 每扩大10倍，对应横轴上变化 1 个单位长度，故对 而言，坐标分度是不均匀的，对lg 则是均匀分度的。,2频率特性的对数坐标图,注意：,横坐标虽然是对数分度，但习惯上其刻度值不标lg，而是标真数值 。,4.2 频率特性的图示方法,对数幅频特性曲线的横坐标是频率，按对数分度，单位是（rad/s）；纵坐标表示对数幅频特性的函数值，采用线性分度，单位是(dB)。,2频率特性的对数坐标图,对数幅频特性曲线:,对数幅频特性用L()表示，定义如下：,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的
15、图示方法,对数相频特性曲线的横坐标也是频率，按对数分度，单位是（rad/s）；纵坐标表示相频特性的函数值，单位是度，记作()。,对数相频特性曲线:,Bode图坐标系,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,（1）在求幅频特性时，可以将各环节幅值相乘转化为幅值相加；,Bode图的特点:,（2）可以采用渐近线的方法，用直线段画出近似的对数幅频特性曲线；,（3）可以分别作出各环节的Bode图，然后叠加得到系统的Bode图，并由此可看出各环节对系统总特性的影响。,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,（5）由于坐标采用对数分
16、度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来；能把低频段放大。,（4）对于最小相位系统，可以由对数幅频特性曲线得到系统的传递函数。,4.2 频率特性的图示方法,（1）典型环节的 Bode图, 比例环节,频率特性,对数幅频特性,对数相频特性,传递函数,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法, 比例环节,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图, 比例环节,比例环节的对数幅频特性曲线是一条与0dB线平行的直线； 对数相频特性曲线为与0线重合的一条直线 。,结论：,4.2 频率特性的图示方法,对数幅频特性,对数相频特性,2频率特性的对数坐标图, 积分环节
17、,频率特性,传递函数,幅频特性,相频特性,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图, 积分环节,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,积分环节的对数幅频特性是一条过点（1，0）的直线，斜率为20dB/dec；对数相频特性是一条过点（0，-90）且平行于横轴的直线。,结论：, 积分环节,4.2 频率特性的图示方法,对数幅频特性,对数相频特性,2频率特性的对数坐标图, 微分环节,频率特性,传递函数,幅频特性,相频特性,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图, 微分环节,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,微分环节的对数幅频特性是一条过点（1，0）
18、的直线，其斜率为20dB/dec；对数相频特性是一条过点（0，90）且平行于横轴的直线。,结论：, 微分环节,4.2 频率特性的图示方法,对数幅频特性,对数相频特性,2频率特性的对数坐标图, 惯性环节,频率特性,传递函数,幅频特性,相频特性,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,定义转折频率,低频段,对数幅频特性可近似为,低频段的对数幅频特性渐近线是与横轴重合的直线。,求对数幅频特性（渐进）曲线,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,高频段,高频段的对数幅频特性渐近线是一条在=1/T处穿越横轴，斜率为20dB/dec的直线。,当,对数幅频特性可近似为,4.2 频率特
19、性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,惯性环节的对数相频特性曲线关于点（T，-45）斜对称。,求对数相频特性曲线,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,低频段与高频段的两条直线在=1/T处相交。用渐近线来表示对数幅频特性，当 1/T时，对数幅频特性由斜率为20dB/dec的直线近似；这两条线段构成惯性环节的近似对数幅频特性。,称幅频特性曲线的转折频率。,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,渐近线与精确的对数幅频特性之间有误差，,频段内的误差见下表,4.2 频率特
20、性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,惯性环节有低通滤波器的特性，当输入频率高时，其输出很快衰减，即滤掉输入信号的高频部分；在低频段输出能较准确的反映输入。,结论：,惯性环节的转折频率T减小或增大，相频特性曲线和幅频特性曲线相应地左移或右移，但其形状不变。,4.2 频率特性的图示方法,对数幅频特性,对数相频特性,2频率特性的对数坐标图, 一阶微分环节,频率特性,传递函数,幅频特性,相频特性,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,定义转折频率,低频段,对数幅频特性可近似为,低频段的对数幅频特性是与横轴重合的直线。,求对数幅频特性曲
21、线,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,高频段,高频段的对数幅频特性是一条在=1/T处穿越横轴，斜率为20dB/dec的直线。,当,对数幅频特性可近似为,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,一阶微分环节的对数相频特性曲线关于点（T，45）斜对称。,求对数相频特性曲线,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,低频段与高频段的两条直线在=1/T处相交。用渐近线来表示对数幅频特性，当 1/T时，对数幅频特性由斜率为20dB/dec的直线近似；这两条线段构
22、成一阶微分环节的近似对数幅频特性。,称幅频特性曲线的转折频率。,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,渐近线与精确的对数幅频特性之间有误差，,频段内的误差见下表,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,一阶微分环节的对数频率特性曲线与惯性环节的对数频率特性曲线关于横轴对称。,结论：,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图, 振荡环节,频率特性,传递函数,令,则,4.2 频率特性的图示方法,相频特性,实频特性,虚频特性,幅频特性,2频率特性的对数坐标图,对数幅频特性,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的
23、对数坐标图,低频段,对数幅频特性可近似为,低频段的对数幅频特性是与横轴重合的直线。,讨论：,a）振荡环节的对数幅频特性的渐近线,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,高频段,高频段的对数幅频特性是一条在=n处穿越横轴，斜率为-40dB/dec的直线。,当,对数幅频特性可近似为,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,低频段与高频段的两条渐进直线在 =n处相交。用渐近线来表示对数幅频特性，当 n 时，对数幅频特性由斜率为-40dB/dec的直线近似。,n称幅频特性曲线的转折频率。,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性
24、的对数坐标图,b）振荡环节的对数幅频特性的误差修正,振荡环节的精确对数幅频特性与渐近对数幅频特性之间的误差为 。,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,振荡环节的精确对数幅频特性与渐近对数幅频特性之间的误差是角频率 与阻尼比的二元函数。对于不同阻尼比，在转折频率n 处的修正值如下表,b）振荡环节的对数幅频特性的误差修正,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图, /rad/s,20lg|G|/dB,-40dB/dec,0,n,10,-10,低频渐近线,高频渐近线,-20,2 1,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,振荡环节的对数相频特性曲线关于点（n，-
25、90）斜对称。,c）振荡环节的对数相频特性,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,振荡环节的对数幅频特性曲线由两条渐进线组成。,结论：,振荡环节的对数相频特性曲线关于点（n，-90）斜对称。,低频段与横轴重合，高频段是一条在=n处穿越横轴，斜率为-40dB/dec的直线。,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图,（2）绘制Bode图的步骤 ：, 由传递函数求出频率特性；, 将系统的传递函数转化为若干个标准形式的环节的传递函数的乘积形式；, 确定各典型环节的转折频率；
26、, 做出各环节的对数幅频特性的渐近线；, 根据误差修正曲线对渐近线进行修正，得出各环节对数幅频特性的精确曲线；,4.2 频率特性的图示方法,2频率特性的对数坐标图, 将各环节的对数幅频特性曲线叠加（不包括系统总的增益K）；, 将叠加后的曲线垂直移动20lgK，得到系统的对数幅频特性；, 作出各环节的对数相频特性，然后叠加而得到系统的总的对数相频特性；, 有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上-T。,4.3 闭环频率特性,4.3 闭环频率特性,闭环频率特性,闭环幅频特性,闭环相频特性,4.3 闭环频率特性,一般情况下,因此，可通过开环频率特性来确定闭环频率特性。,4.4 频率特性的
27、特征量,幅频特性曲线,4.4 频率特性的特征量,1零频幅值A(0),零频幅值A(0) 表示当频率 接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。A(0)=1时，输出幅值能够完全准确地反映输入幅值。,A(0)越接近1，系统的稳态误差越小。,反映了系统的稳态精度。,4.4 频率特性的特征量,2复现频率M与复现带宽0 M,若事先规定一个作为反映低频输入信号的允许误差，那么，M就是幅频特性值与A(0)的差第一次达到时的频率值。,复现频率：,0M表征复现低频输入信号的频带宽度。,复现带宽：,4.4 频率特性的特征量,3谐振频率r 及相对谐振峰值 Mr,频率特性A()出现最大值 Amax 时的频率。,谐
28、振频率r：,谐振频率r在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度。,相对谐振峰值Mr：, =r 时的幅值A(r)=Amax与 =0时的幅值A(0)之比（Amax/ A(0)）。,（谐振比）,4.4 频率特性的特征量,4截止频率b及截止带宽0b,一般规定频率特性A()的数值由零频幅值A(0)下降 3dB 时的频率。,截止频率b：,0b的频率范围称为系统的截止带宽或带宽。,系统的带宽表征系统允许工作的最高频率范围，若带宽大，则系统的动态性能好。,截止带宽：,4.5 最小相位系统,1最小相位传递函数与最小相位系统,最小相位传递函数：,在复平面s右半平面上没有极点和零点、也没有纯延时环节的传递函数。,最小相
29、位系统：,具有最小相位传递函数的系统。,4.5 最小相位系统,1最小相位传递函数与 最小相位系统,非最小相位传递函数：,在复平面s右半平面上有极点和零点的传递函数。,非最小相位系统：,具有非最小相位传递函数的系统。,4.5 最小相位系统,如果频率趋于无穷大时，幅频特性的渐近线斜率为 -20(n-m)dB/dec，而相角在频率 趋于无穷大时为 -90(n-m)，则该系统为最小相位系统，否则为非最小相位系统。,1最小相位传递函数与 最小相位系统,对于稳定系统而言，最小相位系统的相位变化范围最小。,4.5 最小相位系统,2产生非最小相位的一些环节,（1）延时环节 e ：,若延时环节串联在系统中，则传
30、递函数G(s)的分子有正根，表示延时环节使系统有零点位于s平面的右半平面，也就是使系统成为非最小相位系统。,-s,4.5 最小相位系统,（2）不稳定的导前环节和二阶微分环节,不稳定的导前环节:,不稳定的二阶微分环节:,均有零点位于s平面的右半平面，使系统成为非最小相位系统。,2产生非最小相位的环节,4.5 最小相位系统,2产生非最小相位的环节,（3）不稳定的惯性环节和振荡环节,不稳定的惯性环节:,不稳定的振荡环节:,均有极点位于s平面的右半平面，使系统成为非最小相位系统。,4.1 4.4 4.6 4.7 4.10 4.12 （1）、（2）、（6） 4.13 4.15（1）、（2）、（6） 4.16,作业和思考题,
