1、4.2 频率特性的图示方法,一、频率特性的极坐标图(Nyquist图),G(j)，幅频，相频：的复变函数给定，G(j)是复平面上的一矢量幅值： A()=G(j)相角(与正实轴的夹角，逆时针为正）： ()=G(j)实部: U()=A()cos()虚部：V()=A()sin() 从 0 时，G(j)端点的轨迹：频率特性的极坐标图（Nyquist图）,1.典型环节的Nyquist图,(1)比例环节,传递函数：G(s)=K,频率特性：G(j)=K,幅频：G(j),相频：G(j)=0o,实频： U()=K,虚频：V()=0,实轴上的一定点，其坐标为(K, j0),1.典型环节的Nyquist图,(2)积
2、分环节,传递函数：G(s)=1/s,频率特性：G(j)=1/j,幅频：G(j)1/,相频：G(j)=90o,实频： U()=0,虚频：V()= 1/,虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点,1.典型环节的Nyquist图,(3)微分环节,传递函数：G(s)=s,频率特性：G(j)=j,幅频：G(j) ,相频：G(j)=90o,实频： U()=0,虚频：V()= ,虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点,1.典型环节的Nyquist图,(4)惯性环节,当 0 时，G(j)=K，G(j)=0o 当 =1/T 时，G(j)=-45o 当 时，G(j)=0，G(j)=-90o,传递函数：,频率特性：,当从0时，其
3、Nyquist图为正实轴下的一个半圆，圆心为(K/2, j0)，半径为K/2。,1.典型环节的Nyquist图,(5)一阶微分环节,传递函数：G(s)=1+Ts,始于点(1, j0)，平行于虚轴,1.典型环节的Nyquist图,(6)振荡环节,传递函数：,频率特性：,当 =0， 即 0时， G(j)=1，G(j)=0o； 当 =1， 即 n时， G(j)=1/(2) ，G(j)=90o； 当 =，即 时， G(j)=0，G(j)=180o；,（令= /n），,1.典型环节的Nyquist图,(6)振荡环节,当从0(即由0)时，G(j)的幅值由10，其相位由0o-180o。其Nyquist图始于
4、点(1, j0)，而终于点(0, j0)。 曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率n，此时的幅值为 1/(2),0.707 时，G(j)在频率为r 处出现峰值(谐振峰值， r谐振频率),由,有,1.典型环节的Nyquist图,(6)振荡环节,阻尼比的影响,0.707，无谐振 1，两个一阶环节的组合,1.典型环节的Nyquist图,(7)延时环节,传递函数：G(s)=es,频率特性：G(j)=ej=cosjsin,幅频：G(j) 1,相频：G(j)=,实频： U()=cos,虚频：V()= sin,Nyquist图：单位圆,2.绘制Nyquist图的一般方法,由G(j)求出其实频特性ReG(j
5、)、虚频特性ImG(j)和幅频特性G(j)、相频特性G(j)的表达式； 求出若干特征点，如起点(=0)、终点(=)、与实轴的交点(ImG(j)=0)、与虚轴的交点(ReG(j)=0)等，并标注在极坐标图上； 补充必要的几点，根据G(j)、G(j)和ReG(j)、ImG(j)的变化趋势以及G(j)所处的象限，作出Nyquist曲线的大致图形。,例1 系统的传递函数,解 系统的频率特性,0，U()=KT，V()=， G(j)=，G(j)=90 ，U()=0，V()=0，G(j)=0，G(j)=180,积分环节改变了起始点（低频段）,0，U()= ，V()=， G(j)=，G(j)=180 ，U()
6、=0，V()=0，G(j)=0，G(j)=180,例2 系统的传递函数,解 系统的频率特性,U()=0,3. Nyquist图的一般形状,当时：对0型系统，G(j)=K，G(j)=0，Nyquist曲线的起始点是一个在正实轴上有有限值的点；对型系统，G(j)=，G(j)=90，在低频段，Nyquist曲线渐近于与负虚轴平行的直线；对型系统，G(j)=，G(j)=180，在低频段，G(j)负实部是比虚部阶数更高的无穷大。 当时，G(j)=0，G(j)=(m-n)90。 当G(s)包含有振荡环节，不改变上述结论。 当G(s)包含有导前环节时，若由于相位非单调下降，则Nyquist曲线将发生“弯曲”
7、。,二、频率特性的对数坐标图(Bode图),Bode图 分别表示幅频和相频 对数幅频特性图 横坐标：，对数分度，标注真值； 几何上的等分 真值的等比, 对数相频特性图 横坐标：同上 纵坐标：G(j) ， 线性分度；,特别： 0dB，G(j)=1， 输出幅值=输入幅值 dB0，G(j)1， 输出幅值输入幅值(放大） dB0，G(j)1， 输出幅值输入幅值(衰减）,纵坐标：G(j)的分贝值（dB)， dB=20lgG(j)；线性分度；,Bode图优点,作图简单： 化乘除为加减，系统的Bode图为各环节的Bode图的线性叠加；可通过近似方法作图； 便于细化感兴趣的频段； 物理意义明显； 环节对系统性
8、能的影响明显；,2.典型环节的Bode图,(2)积分环节 G(s)=1/s G(j)=1/j,20lgG(j) 20lg 1/= 20lg G(j)= 90o,对数幅频特性：过点（1，0）斜率20dB/dec的直线,对数相频特性：过点（0，90o ）平行于横轴的直线,2.典型环节的Bode图,(3)微分环节 G(s)=s G(j)=j,20lgG(j) 20lg G(j)= 90o,对数幅频特性：过点（1，0）斜率20dB/dec的直线,对数相频特性：过点（0，90o ）平行于横轴的直线,2.典型环节的Bode图,始于点（T ，0)， 斜率20dB/dec的直线,(4)惯性环节,对数幅频特性：
9、,低频段（T）， 20lgG(j)20lgT20lgT0dB,高频段（T）， 20lgG(j)20lgT20lg,T : 转角频率,低频段渐近线： 20lgG(j)0dB 误差：,高频段渐近线： 20lgG(j)20lgT20lg 误差：,=0， G(j)=0； =T，G(j)=45； =， G(j)=90； 对数相频特性曲线对称于点(T，45) 0.1T 时，G(j) 0 10T 时，G(j)90,对数相频特性：,由：,2.典型环节的Bode图,始于点（T ，0)，斜率20dB/dec的直线,对数幅频特性：,低频段（T）， 20lgG(j)20lgT20lgT0dB,高频段（T）， 20lg
10、G(j) 20lg20lgT,(5)一阶微分环节,对数相频特性：,=0， G(j)=0；=T，G(j)=45；=， G(j)=90； 对数相频特性曲线对称于点(T，45),2.典型环节的Bode图,低频段（n；0）， 20lgG(j)0dB （0dB线）,高频段（n；1）， 20lgG(j)40lg =40lg40lgn （始于点（n，0)，斜率40dB/dec的直线）,(6)振荡环节,对数幅频特性：,n : 转角频率,2.典型环节的Bode图,(6)振荡环节,误差：,低频段,高频段,2.典型环节的Bode图,因对数分度，直线曲线,典型环节的Bode图比较,3.系统Bode图的绘制,G(s)
11、标准形（常数项为1）G(j) 求典型环节的转角频率（惯性、一阶微分、振荡和二阶微分环节 ） 作出各环节的对数幅频特性的渐近线 误差修正（必要时） 将各环节的对数幅频特性叠加(不包括系统总的增益K) 将叠加后的曲线垂直移动20lgK，得到系统的对数幅频特性 作各环节的对数相频特性，然后叠加而得到系统总的对数相频特性 有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上,(1) 环节曲线叠加法,3.系统Bode图的绘制,G(s) 标准形G(j),各环节的对数幅频特性的渐近线，叠加，平移,各环节的对数相频特性曲线，叠加,3.系统Bode图的绘制,(2) 顺序斜率法,在各环节的转角频率处，系统的对数幅
12、频特性渐近线的斜率发生变化，其变化量等于相应的环节在其转角频率处斜率的变化量（即其高频渐近线的斜率）。 当G(j)包含振荡环节或二阶微分环节时，不改变上述结论。,根据上述特点，可以直接绘制系统的对数幅频特性,Bode图的绘制,步骤如下,1,2,写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由大到小依次标在频率轴上,绘制开环对数幅频曲线的渐近线。,低频段的斜率为,渐近线由若干条分段直线所组成,在,处，,每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率,因子的转折频率,，当,时，,分段直线斜率的变化量为,因子的转折频率,，当,分段直线斜率的变化量为,时，,4,3,高频渐近线，其斜率为,n为极点数，m为
13、零点数,作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正,作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线,4.4 闭环频率特性,4.4 频率特性的特征量,系统频域特征量（频域性能指标）,零频值A(0) 复现频率M与复现带宽0 M 谐振频率r与相对谐振峰值Mr截止频率b与截止带宽0 b 带宽越大，响应的快速性越好,0.707,4.5 最小相位系统与非最小相位系统,最小相位系统：所有零点和极点均在s平面的左半平面 与非最小相位系统相比：幅频特性相同，但前者的相位变化范围最小,产生非最小相位系统的环节,(1)延时环节 (
14、2)不稳定的导前环节(1-Ts)和二阶微分环节 (3)不稳定的惯性环节和振荡环节,4.6系统传递函数的实验确定法,频率特性实验测试,给定频率=1/T，有,根据实验得到的各个频率下的幅值比和相位差，就可作出频率特性实验曲线。,频率特性实验曲线对数幅频特性渐近线,在对数幅频特性图上，用斜率为0，20，40，60dB/dec 的渐近线由低频段到高频段逐段逼近实验曲线 ，得到对数幅频特性渐近线,系统在低频段的频率特性为,(1) 确定K 和,其对数幅频特性点(1, 20lgK)，斜率为20 dB/dec的直线 （与零分贝线交点处的频率为 ） 由此可确定K 和,(2) 确定系统的组成环节,找出对数幅频特性
15、图上的转角频率，并根据各转角频率处斜率的变化确定各组成环节,对数幅频特性渐近线传递函数（初步估计，最小相位形式）,非最小相位修正,4.6 系统传递函数的实验确定法,例1,由低到高确定转折频率和相应典型环节1=1；2=2；3=8 确定增益K。作低频段的延长线交 0dB线于=10处，确 定 K=10。 频率特性初步估计为,20 dB/dec,40 dB/dec,60 dB/dec,20 dB/dec,上式的相频曲线G与相频实验曲线(实线)有差异，分析表明存在延时环节，且=0.2s,幅频特性实验曲线(实线) 渐近特性曲线(虚线),4.6 系统传递函数的实验确定法,=0.1处,斜率变化+20dB/de
16、c,为一阶微分环节; 1处,斜率变化-20dB/dec,为惯性环节; 2处,斜率变化-20dB/dec,为惯性环节; 3处,斜率变化-20dB/dec,为惯性环节; 4处,斜率变化-20dB/dec,为惯性环节。,4.6 系统传递函数的实验确定法,例2,由20lgK=30dB,可确定K=31.6,设A、B为斜率为K的对数幅频特性直线段上两点,A点的对数幅值为L(A),B点则为L(B),则有直线方程 L(A)- L(B)=Klg A -lg A，则,从低频段开始,令A= 1 ,从图中可知 B=0.1、 L(A)=40dB、 L(0.1)=30dB、 K=20dB/dec, 则有,同理，可分别求出4、 3、 2，可写出系统开环传递函数为：,作业,P153 4.13 P153 4.15 (1)(6)(7) P153 4.19,
