1、英国发明家瓦特获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员一跃成为波士顿瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，因此引起了许多旧贵族的嫉妒和不满据说，在一次皇家音乐会上，有个贵族嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已”瓦特回答道：“是的，那的确是根棒子，但是我可以用这样的3根棒子摆出12个直角，而你却不能做到”那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去，可始终无法摆出12个直角你能用3根棒子摆出12个直角吗？,旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.,桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.,思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系
2、.,1.旗杆所在的直线始终与 影子所在的直线垂直.,2.事实上，旗杆AB所在直线与 地面内任意一条不过点B的 直线也是垂直的.,1.理解并掌握直线与平面垂直的判定定理.（重点） 2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用.（难点）,3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题，进一步了解线线垂直与线面垂直之间的转化关系.,直线与平面垂直的判定,直线和平面垂直的定义,如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直.记作l.,l,平面的垂线,直线l的垂面,垂足,“任何”表示所有. 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. 等价于对任意的直线
3、，都有,利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.,直线和平面垂直的画法,P,注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直。,l,思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？,不一定,如图：,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所 示的试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.,A,B,D,C,思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？,当折痕ADBC且翻折后BD与DC不在一条直线上时,折痕AD
4、与桌面所在平面垂直.,A,B,D,C,A,B,D,C,A,B,D,C,A,B,D,C,A,B,D,C,A,B,D,C,A,B,D,C,A,B,D,C,A,B,D,C,A,B,D,C,A,B,D,C,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,直线和平面垂直的判定定理,符号表示：,“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少,简记为：线线垂直 线面垂直,定理补充,判断下列说法是否正确 1.如果直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线和这个平面垂直 2.如果一条直线和一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直 3.如果直线不垂直于平面，则平面内没有直线与已知
5、直线垂直 4.如果直线不垂直于平面，则平面内有无数条直线与已知直线垂直 5.一条直线和一个三角形两条边同时垂直，则一定和第三条边垂直,例1 如图，已知ab，a，求证：b.,分析：在平面内作两条相交直线.,结论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另 一条也垂直于这一个平面.,例1 如图，P是平行四边形ABCD平面外的一点，O是对角线AC，BD的交点，且PA=PC，PB=PD 求证：OP平面ABCD.,练习:已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ， 求证B1D1平面AA1C1C,6 垂直关系(1)-直线与平面垂直的判定,一、直线与平面垂直的定义,如果一条直线 和一个平面 内的任意一条直线都垂
6、直，我们就说直线 和平面 互相垂直.,记作： ,直线 叫做平面 的垂线，,它们唯一的公共点即交点叫做垂足,平面 叫做直线 的垂面,（1）过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,（2）过一点有且只有一个平面和一条直线垂直,结论,问题提出:,如何判定一条直线和一个平面垂直?,（1）定义法：,二、直线与平面垂直的判定,（2）直线与平面垂直的判定定理：,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么 这条直线就垂直于这个平面.,例1.已知PA平面ABC , AB是O的直径,C是O上的任一点. 求证：（1）BC面PAC；（2）PCBC.,证明：,AB是O的直径,BCAC,PA平面ABC,BCPA,B
7、C面PAC,（1）,（2）,BC面PAC,PCBC,思考？,在例3中,过A作AEPC于E.直线AE会垂直平面PBC吗？,BC面PAC,AEBC,AEPC,AE面PBC,例2：如图，在空间四边形ABCD中，ABAD，CBCD，求证：ACBD.,证明：取BD中点为E，连接AE，CE， ABAD，AEBD. 又CBCD，CEBD. 而AECEE.BD面AEC. 又AC 面AEC，ACBD.,例2：如图，在空间四边形ABCD中，ABAD，CBCD，求证：ACBD.,练习:在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC=10， 求证：AB A1C,2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD是与
8、AC 异面的体对角线.求证：ACBD,练习：1.如图三棱锥P-ABC中，O是三角形ABC的外心，且PA=PB=PC，求证：OP平面ABC.,2. 如图，RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD面SAC.,证明：(1)SASC，D为AC的中点，SDAC. 连接BD.在RtABC中，有ADDCBD. 又SASB，ADSBDS. SDBD.又ACBDD， SD平面ABC.,(2)BABC，D为AC的中点，BDAC. 又由(1)知SD面ABC. BD 平面ABC， SDBD. ACSDD. BD平面SAC.,例3 如图，已
9、知四棱锥SABCD中AB CD为矩形，SA平面AC，AESB于点E， EFSC于点F.(1)求证：AFSC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AGSD.思路点拨 (1)欲证AFSC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC平面AEF.(2)欲证AGSD，可证AG平面SCD.,精解详析 (1)SA平面AC，BC 平面AC， SABC.四边形ABCD为矩形，ABBC. 又SAABA， BC平面SAB. BCAE.又SBAE，BCSBB， AE平面SBC. 又SC 平面SBC， AESC.又EFSC，EFAEE， SC平面AEF. AF 平面AEF，AFSC.,(2)SA平面AC，SADC. 又AD
10、DC，ADSAA，DC平面SAD. 又AG 平面SAD，DCAG. 又由(1)有SC平面AEF，AG 平面AEF， SCAG.又SCDCC，AG平面SDC. SD 平面SDC，AGSD.,一点通 线线垂直的证明方法主要有(1)由线面垂直的定义，即l，a la.(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等,3本例中，把条件“AESB于E，EFSC于F”改为“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E， F，G”其他条件不变，求证：AESB， AGSD.,证明：SA平面ABCD，SABC,又BCAB，SAABA， BC平面SAB， 又AE 平面
11、SAB，BCAE. SC平面AEFG，SCAE. 又BCSCC，AE平面SBC， AESB.同理可证AGSD.,4(2012忻州期中)已知PA矩形ABCD所在的平面，下列结论中不正确的是 ( )APBBC BPDCDCPDBD DPABD,答案：C,例3 三棱锥PABC中，PO平面ABC，PABC，PBAC.求证：(1)O是ABC的垂心；(2)PCAB.,思路点拨 (1)要证O是ABC的垂心，只要证明O是两条高线的交点即可(2)可证明AB平面PCO.,精解详析 (1)连接OA，OB.PO平面ABC.POBC，又PABC，POPAP，BC平面PAO.又AO 平面PAO.BCAO，即O在ABC的B
12、C边的高线上同理，由PBAC可得O在AC边的高线上O是ABC的垂心,(2)连接OC，由(1)可知OCAB， 又由PO平面ABC得POAB，又OCPOO， AB平面PCO.又PC 平面PCO， ABPC.,一点通 根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化,6已知点P是ABC所在平面外一点，且PAPBPC，则点P在平面ABC上的射影一定是ABC的 ( )A内心 B外心C垂心 D重心,解析：如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA、OB、OC.,所以PO平面ABC.因为PAPBP
13、C，OPOPOP，且POAPOBPOC90， 所以PAOPBOPCO， 所以AOBOCO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为ABC的外心 答案：B,证明：(1)底面ABCD是菱形，ABC60， ABADACa. 在PAB中，由PA2AB22a2PB2，知PAAB. 同理，PAAD.PA平面ABCD. (2)由(1)知PA平面ABCD，BD 平面ABCD PABD.菱形ABCD中，BDAC， PAACA. BD平面PAC， 又PC 平面PAC，BDPC.,1. 线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直.2. 线面垂直的定义用来证明线面垂直较困难，但它为证明线线垂直提供了重要依据，证明线线垂直的主要方法：（1）线面垂直的定义；（2）ab，bl ，al;（3）两直线共线时也可用平面几何的结论.,3.线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直,直线与平面垂直,转化思想：线面垂直 线线垂直,不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。,
