1、飞行器结构力学基础 电子教学教案,西北工业大学航空学院 航空结构工程系,第六章 薄壁工程梁理论 Engineering Beam Theory for Thin-walled Structure,第二讲,6.3 自由弯曲时开剖面剪应力的计算 6.4 自由弯曲时单闭室剖面剪应力的计算,6.3 自由弯曲时开剖面剪应力的计算,1、公式推导,考虑图示的一个剖面周线为任意的不闭合形状，且沿纵向不变的开剖面薄壁梁。在横向载荷作用下，纵向任意剖面上的内力为Qy、Mx和Qx、My等。假设整个剖面都能承受正应力。为了决定剖面上某一点的剪应力，可先算出该点的剪流 q 。,现取出微元体abcd，ab边和cd边上由弯
2、曲引起正应力分别 和 ，而在侧边ad和bc上的剪流分别为 q 和 。,由静力平衡条件Z = 0，可得：,上式中等式左边表示纵向轴力差，等式右边则表示纵向剪力差。上式表明，纵向轴力差将引起纵向剪流，这种形式的剪流又称为弯曲剪流。显然弯曲剪流平衡轴力差。,或,进一步，可得：,积分后，得,式中积分常数 表示 s=0 边上的剪流，对于开剖面而言，s=0 的边为自由边，故 。,将正应力计算公式代入，注意到,分别称为对 x 轴和 y 轴的当量剪力。,分别表示从自由边 s=0 算起，一直到所求剪流点 s 处，之间所有承受正应力的面积对形心轴 x 轴和 y 轴的静矩。,上式即是开剖面上任一点处纵向剪流的计算公
3、式。注意到，该式仅适用于坐标轴为任意形心轴。,当坐标轴取为形心主惯轴时，则剪流的计算公式可简单为,（1）剪流计算公式，满足正应力计算公式所满足的一切条件。,（2）开剖面的弯曲剪流 q(s) 的分布规律仅取决于剖面静矩Sx 和Sy 的分布规律，也就是说开剖面的弯曲剪流分布规律只与剖面的几何特性有关，而与外载荷无关。因此，只要知道静矩Sx 和Sy 的图形，也就知道了弯曲剪流的图形。,（3）由剪应力成对作用定理，在横剖面上将出现与纵向剪流成对的剪流。因此，纵向剪流（即母线之间的剪流）可以用剖面上的剪流来表示。,2、几点说明：,（4）弯曲剪流 q(s) 是由于纵向轴力差引起的，因此，当壁板不承受正应力
4、时，该壁板上的剪流是一常数。,（5）对于只有集中面积承受正应力，而壁板只承受剪应力的薄壁结构，在计算剖面形心、惯性矩以及静矩时，只需考虑集中面积就可以了。此时，壁板上的剪流必为常数。,因此，薄壁梁在纯轴力和纯弯矩 载荷作用下，由于在剖面上产生的正 应力相等，因而不会引起纵向剪流， 也不会产生弯曲剪流。,2、几点说明：,关于剪流的方向：,有两种不同的表示方法：,本书中采用平衡的观点确定剪流的方向，剪流合力与剪力相平衡。,由剪流计算公式可以看出，当 剪力 Qx 和 Qy 与坐标轴正向一致时， 剪流的正负与静矩的正负是一致的。因此，当计算得到的剪流为正时，它的流向与计算静矩时 s 的走向一致，若剪流
5、为负值时，其流向与 s 的走向相反。,一种是合力的观点，即剪流的合力就是作用在剖面上的剪力。（前剖面）,一种是平衡的观点，即剪流的合力与剪力相平衡。（后剖面）,【例题6-2】求图示槽型剖面薄壁梁在剪力 作用下的剪流，剖面周边的厚度均为 t 。,解：,（1）确定形心位置和形心坐标轴。,由剖面的对称性可知，通过腹板高 度 h 中点的 x 轴是主惯性轴。且在剪力 作用下，剖面剪流可由公式中的第一项来 计算，即,（2）计算剖面的惯性矩Jx。,（3）计算剖面的静矩Sx。,上缘条（1-2段）上某一点 处的静矩：,线性变化，最大值在2点，即,腹板（2-3-4段）上任一点 处的静矩：,抛物线变化，其最大值在腹
6、板的中点，即,剖面下半部分的静矩可以由对称性得到。因此得到剖面的静矩分布，如图所示。,（4）求剖面剪流。,剪流的分布与静矩的分布相同，只是数值上不同。剪流分布图：,（5）校核。,剖面上的剪流应与剪力Qy 平衡，即满足 ， 。,显然，图示的剪流，满足静力平衡条件。,因为静矩具有继承性，所以剪流具有连续性，即任一点处流向该点的剪流与流出该点的剪流之总和必为零。这个结论很形象，对于我们在检验剪流的计算结果时会有所帮助，特别是在剖面的分支处。 （但在有集中面积的地方，剪流的连续性不存在。）,静矩的继承性与剪流的连续性,工字型剖面的剪流分布,例6-5 计算图示开剖面薄壁梁在剪力作用下的剪流。设壁不承受正
7、应力。,（1）因为壁不受正应力，计算剖面的几何特性时，只需考虑元件的集中面积。图中的 y 轴为对称轴，故 y 轴为形心主惯轴，形心 o 必在 y 轴上，且有：,解：,则图中的x、y 即为形心主惯轴。,（2）剖面静矩Sx,（3）计算剖面剪流。,将各段上Sx 的代入，即得到剖面剪流图。,当壁板不承受正应力时，该壁板上的剪流是一常数。,6.4 自由弯曲时单闭室剖面剪应力的计算,1、公式推导,现在讨论图示的棱柱型单闭室剖面薄壁梁。在任意横向载荷作用下，纵向任意剖面上的内力为Qy、Mx、Qx、My、 Mz、 Nz等。假设整个剖面都能承受正应力。为了决定剖面上某一点的剪应力，可先算出该点的剪流 q 。,与
8、开剖面剪流求法相类似，这里取 a 点作为 s=0 的边（称 a 点为计算始点），现从结构中任取出一微元体为分离体，如图所示。,由静力平衡条件Z = 0，可得：,或,进一步，可得：,积分后，得,积分常数 表示计算起始点a（或 s=0）边上的剪流，对于单闭室剖面的闭合周边，因为没有自由边，故一般地 。,将正应力计算公式代入，,Sx 和Sy 分别表示从 s=0 边算起，一直到所求剪流点 s 处，所有承受正应力的面积对形心轴 x 轴和 y 轴的静矩。,为由轴力差引起的弯曲剪流，它相当于在 a 处切开时的开剖面结构的剪流。,现假想由 a 处沿纵向将剖面切开，在切口处沿纵向应有剪流存在，该剪流值为 。由剪
9、应力成对作用定律，在横剖面上也应有剪流存在，其值等于 。显然， 沿剖面中的闭合周边为一常数，如图所示。由于 a 点是任选的，故随 a 点位置是变化的。,上式给出的单闭室剖面剪流计算公式的物理意义为：单闭室剖面的剪流 q 就等于将单闭室剖面切开后的开剖面的剪流 ，与切口处剪流 之和，如下图图示。,设Mz为外力（包括剪力和扭矩）对极点A的矩，并规定Mz绕极点A反时针方向为正，剖面上的剪流q对极点A的矩以顺时针方向为正。则有：,为了求出切口处的剪流 值，可利用对任意一极点 A 的力矩平衡方程，如图所示。,式中， 表示ds段上的剪力到极点A的垂直距离 。,切口处剪流 的求法：,将单闭室剖面剪流计算公式
10、代入：,由于切口处的剪流 只可能存在于剖面中具有闭合周边的那部分剖面上，且为常值。所以，,其中积分号 表示积分范围只包括闭合周边的那一部分。,等于图中阴影部分面积的两倍，积分项 就等于闭合周边所围面积的两倍，通常用符号表示之，即 ，又称为“扇形面积”。,于是，求得切口处的剪流值 为,当求得的 为正值时，表示 的方向沿闭合周边为顺时针方向，如为负值，则表示 的方向沿闭合周边为反时针方向。,几点说明：,（1）单闭室剖面能够承受任意形式的载荷，剪流仅由静力平衡条件就可以求出。因此，单闭室剖面薄壁结构是几何不变的，并且是静定的。,（2）计算单闭室剖面剪流的步骤：先选择一适当切口，将单闭室剖面切开为开剖
11、面，计算开剖面剪流。然后利用剖面的力矩平衡方程，求出切口处的剪流。最后，将这两部分剪流叠加，便得到剖面的总剪流。其中开剖面剪流的方向完全按照开剖面剪流方向的决定方法去确定，而切口处剪流的方向则是由力矩平衡方程的解确定的。,（3）选择适当的切口和选择适当的力矩极点，可以使计算变的简单。例如若剖面有对称轴，载荷作用在对称线上，此时取切口在剖面的对称轴上时，切口处的剪流为零，此时单闭室剖面的剪流就等于开剖面的剪流。,如果单闭室剖面薄壁结构只承受扭矩Mz，这时：,因此，,上式即为单闭室剖面在扭矩作用下剪流的计算公式，又称为Bredt（白雷特）公式。,可见，具有单闭室剖面的薄壁结构在纯扭矩作用下，剖面上
12、的剪流为一常数，剪流的大小只与扭矩大小及剖面周线所围面积有关，而与壁厚及剖面的几何形状无关。在剖面周边长度一定的情况下，为了提高单闭室剖面薄壁结构的承扭能力，应尽可能扩大剖面周边所围的面积。而对于周边各处厚度不相同的剖面，各处的剪应力也是不同的，在厚度最小处，其剪应力越大。,解：,取0点为切口。,【例题6-6】计算图示单闭剖室剖面薄壁结构在剪力 作用下的剪流。剖面各壁的厚度为 ， ，剖面其他几何尺寸见图示。,剖面上、下部分对称，故 x 轴即为形心主惯轴。且有,（1）求开剖面剪流,对于0-1段：,1点的剪流为：,对于1-2段：,2点的剪流为：,对于2-3-4段：,3点的剪流为：,将以上计算结果绘
13、制成 图。,选 O 为力矩极点。则Mz=0， 开剖面剪流对力矩极点A取矩，得,（2）求切口0处的剪流,为负值，说明 的方向沿闭合周边为逆时针方向，绘制 图。,具体计算中，只要计算几个特殊点就可以了，然后以相应的直线或曲线连接这几个特殊点，则形成总剪流分布图。,（3）求剖面总剪流,（4）校核。,解：,剖面上的集中面积上、下部分对称，故 x 轴即为形心主惯轴。且有,（1）求开剖面剪流,取圆弧上一点 a 作为 s=0 的起点。,各段上的静矩按下式计算：,【例题6-7】计算图示四缘条闭合剖面薄壁梁在剪力 作用下的剪流。设壁不承受正应力，缘条集中面积 ， ，剖面其他几何尺寸见图所示。,各段上的剪流按下式计算,（2）求切口a处的剪流,选 O 为力矩极点。则有,（3）求剖面总剪流,（4）校核。,【例题6-8】计算图示四缘条闭合剖面薄壁梁在纯扭矩 作用下的剪流。设壁不承受正应力。,解：,单闭室剖面薄壁结构只承受扭矩作用，可利用Bredt（白雷特）公式计算剖面剪流。,返回,
