1、第二十二章 二次函数,全章热门考点整合应用,二次函数是中考的必考内容，难度高，综合性强， 既可以与代数知识相结合，也可以与几何知识相结合 有关二次函数的问题，中考一般以三种形式出现：一是 以选择题或填空题出现，重在考查二次函数的基本概念 和基本性质；二是以实际应用题的形式出现，重在考查 函数建模思想；三是以综合题的形式出现，往往是压轴 题，考查学生分析问题和解决问题的能力其主要热门 考点可概括为：一个概念，一个性质，两个关系，三个 应用，两个技巧，三种思想,1,考点,一个概念二次函数的定义,1已知函数y(m3)xm24m35是关于x的二次函数(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口
2、向上？(3)当m为何值时，该函数有最大值？,(1)根据题意，得解得m5或m1. (2)函数图象的开口向上，m30.m3.m1.当m1时，该函数图象的开口向上,解：,(3)函数有最大值，m30，m3.m5.当m5时，该函数有最大值,2,考点,一个性质二次函数的图象与性质,2二次函数yax2bxc(a0)的大致图象如图， 关于该二次函数，下列说法错误的是( )A函数有最小值B图象的对称轴是xC当x 时，y随x的增大而减小D当1x2时，y0,D,3,考点,两个关系,3【2015安顺】如图为二次函数yax2bxc(a0)的图象，则下列说法：a0；2ab0；abc0；当1x3时，y0. 其中正确的个数为
3、( )A1 B2 C3 D4,关系1,抛物线的位置与二次函数各项系数的关系,C,根据函数图象开口向下可得a0，所以错误；因为抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，所以其对称轴为直线x1.所以 1.因此2ab0，所以正确；当x1时，yabc0，所以正确；当1x3时，y0, 所以正确所以正确,4已知关于x的函数y(a23a2)x2(a1)x的图象与x轴总有交点(1)求a的取值范围；,关系2,二次函数与一元二次方程的关系,(1)当a23a20时，a11，a22.当a1时，y ，图象与x轴无交点；当a2时，yx ，图象与x轴有一个交点,解：,当a23a20，即a1且a2时， 函数y(a23a
4、2)x2(a1)x 为二次函数 要使函数图象与x轴有交点， 则(a1)24(a23a2) 0， 解得a1. a1且a2. 故当a1且a2时，二次函数的图象与x轴总有交点 综上所述，当a1时，此函数的图象与x轴总有交点,(2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点，分别为 A(x1，0)，B(x2，0)，当 a23时，求a的值,(2)由题知x1x2x1x2 4(a1)a23.,解：,a24a10.解得a12 ，a22 . 又2 1， 即当a2 时，二次函数的图象与x轴无交点，故舍去此值 a2 .,分类讨论思想是数学的常用思想，当问题 中未明确是哪类函数时，通常要进行分类讨论,4,三个应用,考点,5.
5、【2015安徽】为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米,应用1,最大面积的应用,(1)求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；,(1)三块矩形区域的面积相等，矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍AE2BE.设BEa，则AE2a.8a2x80.a x10，2a x20.,解：,y x x x230x. a x100，x0， 0x40， 则y x230x(0x40),(2)当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？,(2
6、)y x230x (x20)2300(0x40)，且二次项系数为 0，当x20时，y有最大值，最大值为300,解：,6跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距(A与B间的距离)为6 m，到地面的距离AO和BD均为0.9 m，身高为1.4 m的小丽站在距点O的水平距离为1 m的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线对应的函数解析式为yax2bx0.9.,应用2,“抛物线”形几何应用,(1)求该抛物线对应的函数解析式；(不考虑自变量的取值范围),(1)由题意得点E(1，1.4)，B(6，0.9)，将它们的坐
7、标分别代入yax2bx0.9得所求的抛物线对应的函数解析式是y0.1x20.6x0.9.,解：,(2)如果小华站在O，D之间，且离点O的距离为3 m，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；,(2)把x3代入y0.1x20.6x0.9，得y0.1320.630.91.8.即小华的身高是1.8 m.,解：,(3)如果身高为1.4 m的小丽站在O，D之间，且离点 O的距离为t m，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围,(3)当y1.4时，0.1x20.6x0.91.4.解得x11，x25.1t5.,解：,7某跳水运动员进行10 m高台跳水训练时，身体(看成一点
8、)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线在跳某个规定动作时， 正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误(1)求这条抛物线对应的函数解析式(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3 m，问此次跳水会不会出现失误？,8某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月
9、销售利润为y元(1)求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围,应用3,生活实际应用,(1)y(3020x)(18010x)10x280x1 800(0x5，且x为整数),解：,(2)当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月销售利润最大？最大月销售利润是多少？,(2)由(1)知y与x之间的函数解析式为y10x280x1 800(0x5，且x为整数)当x 4时，y最大值1 960.即当每件商品的售价定为34元时，可获得的月销售利润最大，最大月销售利润为1 960元,解：,(3)当每件商品的售价定为多少元时，月销售利润恰好是1 920元？,(3)由(1)知y10x280x1 800.令
10、y1 920，得1 92010x280x1 800.化简，得x28x120，解得x12，x26.又0x5，x2.即当每件商品的售价定为32元时，月销售利润恰好为1 920元,解：,9.【2015黔南州】为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/km)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0 km/h；当车流密度为20辆/km时，车流速度为80 km/h.研究表明：当 20x220时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/km时的车流速度(2)在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于4
11、0 km/h且小于60 km/h，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？(3)车流量(辆/h)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量车流速度车流密度当20x220时，求彩虹桥上车流量y的最大值,5,两个技巧,考点,10如图，线段AB的长为2，点C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，求DE长的最小值,技巧1,巧用二次函数求几何最值,设ACx，则BC2x. ACD和BCE都是等腰直角三角形， CD x，CE (2x)，DCAECB45. DCE180454590. 在RtDCE中，由勾股定理， 得DE2DC2CE2( x)2
12、x22x2(x1)21. 当x1时，DE2有最小值1，此时DE1.故DE长的最小值为1.,解：,11某市“建立社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜通过调查得知平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备的费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比，比例系数为0.9；另外种植每公顷蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元每公顷蔬菜年均可卖7.5万元,技巧2,巧用二次函数设计方案,(1)某基地的菜农共修建大棚x公顷，当年收益(扣除修建和种植成本后)为y万元，写出y关于x的函数解析式,(1)y7.5x(2.7x0.9x20.3x)0.9x24.5x.
13、,解：,(2)除种子、化肥、农药投资只能当年使用外，其他设施3年内不需要增加投资仍可继续使用如果按3年计算，是否修建大棚面积越大，收益就越大？如果不是，修建面积为多少时可以获得最大收益？ 请帮助工作组为基地修建大棚提一项合理化的建议,(2)设3年内每年的平均收益为z万元，根据题意， 得z7.5x(0.9x0.3x20.3x)0.3x26.3x0.3(x10.5)233.075.,解：,并不是面积越大收益就越大，当大棚面积为10.5公顷时可以获得最大收益 建议：(答案不唯一)当大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降，修建面积不宜盲目扩大,6,三种思想,考点,12已知抛物线yax2bxc
14、的位置如图，则点P(a，bc)在第_象限,思想1,数形结合思想,三,13已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，则下列结论中不正确的是_ac0；当x1时，y随x的增大而减小；b2a0；x3是关于x的方程ax2bxc0(a0)的一个根,14如图，已知二次函数yx2bx3的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴交于点B.(1)求此二次函数的解析式和点B的坐标,思想2,分类讨论思想,(1)二次函数yx2bx3的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，0424b3. 解得b .此二次函数的解析式为yx2 x3，点B的坐标为(0，3),解：,(2)在x轴上是否存在点P，使得PAB为等腰三角形？若存
15、在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由,(2)存在假设在x轴上存在点P，使得PAB是等腰三角形当AB为底边时，设点P(x，0)，则根据图象和已 知条件可得x232(4x)2，解得x点P的坐标为 .当BP为底边时，APAB 5，点P的坐标为(1，0)或(9，0)；,解：,当AP为底边时，易知点P的坐标为(4，0) 即在x轴上存在点P，使得PAB是等腰三角形， 点P的坐标为 或(1，0)或(9，0)或(4，0),15【2016安徽】如图，二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)(1)求a，b的值；,思想3,方程思想,(1)将点A(2，4)与B(6，0)的坐标代入yax2bx中，,解：,(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值,(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过C作CEAD，CFx轴，垂足分别为E，F.SOAD ODAD 244；SACD ADCE 4(x2)2x4；,解：,SBCD BDCF 4 x26x. 则SSOADSACDSBCD42x4x26xx28x， S关于x的函数解析式为Sx28x(2x6) Sx28x(x4)216， 当x4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.,
