1、第5章 特殊平行四边形,5.3 正方形（第1课时）,正方形的判定,例1 如图，已知 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，ACE是等边三角形，且AED=2EAD， 求证：四边形ABCD是正方形.,分析：由ACE是等边三角形，O是AC的中点，易得BD与AC垂直，所以可先证得四边形ABCD是菱形，然后根据已知条件中AED=2EAD，可得EAD=15，AED=30，即ADO=45，所以有ADC=90. 根据“一个角是直角的菱形是正方形”可得结论.,证明：四边形ABCD是平行四边形，AO=CO. 又ACE是等边三角形， EOAC，即DBAC. ABCD是菱形. ACE是等边三角形
2、，AEC=60. EOAC，AEO= AEC=30.AED=2EAD， EAD=15. ADO=EAD+AED=45. 四边形ABCD是菱形， ADC=2ADO=90. 四边形ABCD是正方形.,注意点：（1）在判定一个四边形是正方形时，一般有两种方法：先证明四边形是菱形，再说明有一个角是直角或者说明对角线相等；先证明四边形是矩形，再说明有一组邻边相等或者对角线互相垂直.,正方形判定的运用,例2 已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E. （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个
3、正方形？并给出证明.,分析：（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，已知CEAN，ADBC，所以求证DAE=90，可以证明四边形ADCE为矩形. （2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD= BC，由已知可得，DC= BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形.,证明：（1）ABC中，AB=AC，ADBC，BAD=DAC， AN是ABC外角CAM的平分线，MAE=CAE， DAE=DAC+CAE= 180=90， 又ADBC，CEAN， ADC=CEA=90，四边形ADCE为矩形.（2）当ABC满足BAC=90时，四边形ADCE是一个正方形. 理由：AB=A
4、C，ACB=B=45。ADBC，CAD=ACD=45，DC=AD， 四边形ADCE为矩形，矩形ADCE是正方形. 当BAC=90时，四边形ADCE是一个正方形.,注意点：各种特殊的四边形之间定义、性质、判定方面都有密切关系，要充分理解它们的关系，灵活应用.,例 判断下列说法是否正确. （1）四条边相等的四边形是正方形； （2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形； （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形； （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形.,错答：（1）正确；（2）正确；（3）正确； （4）错误,正答：（1）错误；（2）错误；（3）错误； （4）正确,错因：（1）虽然有四条边相等，但只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件是有一个角是直角，或者判定它即是菱形又是矩形； （2）错误的原因是对识别方法不熟悉，对角线相等且互相垂直，但对角线并不一定互相平分，所以不能判定这个四边形就一定是平行四边形. 只有在对角线互相平分或四边形是平行四边形的情况下，才能判定这个四边形是正方形； （3）片面应用了正方形的特征，虽然正方形的每一条对角线都平分每一组对角，但反之就不成立，只能判定这个四边形是菱形，缺少一个再判断它是矩形的条件. （4）矩形的对角线相等且互相平分，再加上两条对角线互相垂直的条件，就能判定这个四边形是正方形.,
