1、第三节 函数的单调性、极值与最值,一、单调性的判别法 二、函数的极值及其求法 三、最大最小值问题 四、小结,一、单调性的判别法,定理,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,结论：导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,单调区间求法:,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例4,证,例如,二、函数的极值及其
2、求法,极大值；,极小值.,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,注意:,例如,定理1(必要条件),驻点.,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,极大值,极小值,定理3(第二充分条件),例2,解,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,三、最大最小值问题,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小, 大就是最大值,小就是最小值。,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值(最大值或最小值).,例1,解,例2.敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向
3、正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟问我军摩托车何 时射击最好（相距最近射击最好）？,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数（定义域）;,(2)求最值.,注意：若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值.,例3.某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高.,解,解
4、得,四、小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),注意最值与极值的区别：最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,思考题1,思考题1解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,思考题2,下命题正确吗？,思考题2解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,思考题3,思考题3解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,练 习 题 1,练习题1答案,练 习 题 2,练习题2答案,练 习 题 3,练习题3答案,
