1、6.2 多元函数的基本概念,二元函数的概念,二元函数的极限,二元函数的连续性,一元函数的概念,一元函数的极限,一元函数的连续性,特别地,特别地,推广,推广,推广,一、 平面点集,二、 二元函数的概念,例6.2.2,例6.2.3,例6.2.4,三、 二元函数的极限,四、 二元函数的连续性,五、 内容小结, 思考题, 习题解答,例6.2.1,例6.2.5,例6.2.7,例6.2.6, 作业,本节内容:,1. 邻域,点集,称为点 P0 的 邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,一.平面点集,当不关心邻域半径时, 简
2、记为 和 .,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2. 平面上的点与点集之间的关系,(1) 内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点 ;,则称 P 为 E 的边界点 .,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,如 z = ln (x+y)的定义域 D =
3、 (x, y)| x+y 0,易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D,但直线上的点不是D的内点.,(2) 聚点,若对任意给定的 ,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可以为,E 的边界点 ),3.几个重要的平面点集,(1) 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,(2) 若点集 E E , 则称 E 为闭集；,(3) 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,则称 D 是连通集 ;, E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,如图,X,Y,E 连通,(4)连通的开集称为区域
4、(region)或开区域,例如，,例如，,整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域 ;,但非区域 .,(6)对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 ,界域 .,否则称为无,例如，在平面上,开区域,闭区域,邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.,设 D 是 xy 平面上的一个点集,即 D R2, 若对任意的点 X = (x, y)D R2, 按照某
5、个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的二元实值函数, 记作,f : D R, X = (x, y) z .,二、二元函数的概念,1.二元函数概念,称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像, 记作 f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值.,称 D 为函数 f 的定义域. D 在 f 下的像集 f (D)= f (X )| XD 称为 f 的值域.,习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函数, 另外, 称 x, y 为自变量, z
6、 为因变量.,比如 z = sinx +cosy , z = 3x2 + ey .,注1. 一般说来, 自变量 x , y 都是独立变化的. 它们只受到 (x, y) D 的限制.,f (x, y) 的表达式, 算 f (x0, y0) 的方法与一元函数类似.,另外, 若给出了,注2. 特别, 若定义域 D 是 x y 面上一条曲线. D: y = g(x).,= f (x, g(x)成为一元函数.,则二元函数 z = f (x, y),注3. 任何一个一元函数都可扩充为一个 二元函数.,事实上, z = f (x),= f (x) + 0 y,只须将 z 作为一元函数的定义域 D R 扩充为
7、R2 中点集即可.,注2, 注3说明二元函数是一元函数的推广, 而一元函数则是二元函数的特殊情形.,注5.约定,凡用算式表达的多元函数,除另有说明外,其定义域是指的自然定义域,设D Rn , 若对任意的 X = (x1, x2, , xn) D Rn , 按某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的 n 元实值函数. 记作,f : D R , X = (x1, x2, , xn) z .,并记 z = f ( X ), 或 z = f (x1, x2, , xn).,补充： n元函数定义,解: 与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义的平面上的点的
8、集合.,例 求 z = ln (x + y)的定义域 D , 并画出D的图形.,x + y 0. 故 定义域 D = (x, y)| x + y 0,画直线 y = x. 由于 D 中点 (x, y) 的纵坐标 y 要大于直线 y = x 上点的纵坐标 y, 故 D 表示直线 y = x 上方点的集合. (不包括边界y = x上的点),为画 D 的图形, 由x + y 0, 得 y x .,x + y = 0,x,y,o,如图,y x,D,(不包括直线x + y = 0),例.,解:,故,故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, D 为单位圆盘 (包括圆周).,x,y,o,x2 + y
9、2 = 1,(包括圆周),D,例6.2.1求函数,解 定义域,中的点,应满足条件,故所求定义域为,的定义域,故得,即有,设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D .,按二元函数定义, X = (x, y)D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z).,2.二元函数的几何意义,当 X 在 D 中变动时, 点 M (x, y, z)在空间中变动,当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中 “ 织“ 出一片曲面.,即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该曲面在 xOy 面上的投影区域.,二元函数的图形通常是一张曲面
10、.,回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),当 x 不论是从 x0的左边,还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.,表示,如图,就是 0, 0.,当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .,三、二元函数的极限,设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.,如图,D,z = f (x, y),X,X,如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A,则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.,f (X),设二元函数 z = f (X) = f (x, y). 定义域为D.
11、X0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数.,若 0, 0, 当,对应的函数值满足,| f (X) A | ,则称 A 为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限.,记作,或,也可记作 f (X) A(X X0)或 f (x, y) A (x x0, y y0 ),定义6.2.2,如图,对二元函数 f (X), 如图,有, 点X以任何方式、任何方向趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A.,1.因此, 如果当X以某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定二重极限,2.若X以不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限,3.极
12、限定义可推广到三元以上函数中去, 且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.,注：,例6.2.3,证 令,则,注 在可能的情况下通过换元，变成一元函数的极限，所有一元函数求极限的方法都可以用，如罗比塔法则、重要极限等.,例6.2.4,解,设f (x, y) =,证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.,证: 方法一：由注2知, 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.,例6.2.5,考察 点(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.,如图,对应函数值,从而, 当 点 (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,
13、0)时, 函数极限,当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .,方法二：请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.,沿 x 轴, y = 0. 函数极限,= 0,沿 y 轴, x = 0. 函数极限,= 0,但不能由此断定该二重极限为0 (注2).,因为沿直线 y=x, 函数极限,由此断定该二重极限不存在,方法三 利用极坐标代换,，则,令,上述极限随 角度的变化而变化，因此函数在极限不存在,四、多元函数的连续性,1.定义6.2.3,定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D
14、上的一片没有 “空洞“, 没有 “裂缝“ 的连续曲面.,这里条件 “D 是一区域“ 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.,2. 二元连续函数的几何意义:,补充例. 设 D = (x, y) | x, y 均为有理数 R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数,即,f (x, y) =,1, 当(x, y) D时,无定义, 当(x, y) D时.,如图,可知, (x0, y0) D,但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.,例如 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变
15、化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的则四运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数。,结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,又如, 函数,在圆周,上间断.,例6.2.7,解,例6.2.6,解,3.闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值,（2）最大值和最小值定理,（1）有界性定理,有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（3）介值定理,P202 1. 2.（1）（3）（4） 3.(2)（3）（4） 4. 5.（1）,作业,多元函数极限的概念及极限不存在的判定,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,区域、多元函数的概念,内容小结,思考题,思考题解答,有.,练 习 题,5.,练习题答案,2(4),6.2 部分习题答案,6. 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,,,Thank You !,广东外语外贸大学,
