1、,8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算,第8章 多元函数积分学,结束,若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D 的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设 f(x,y)0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.,引例1 曲顶柱体的体积.,8.1.1 二重积分的概念,8.1 二重积分的概念与性质,现在来求这个曲顶柱体的体积.,其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.,(2)近似 记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，在 中任取一点 ,以 为高而底为 的平顶柱体体积为,解,(1)分割 用两组曲线把区域D任
2、意分割成n个小块:,此为小曲顶柱体体积的近似值,i,(4) 取极限 记 ,若极限,存在,则它即为所求曲顶柱体的体积.,(3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲 顶柱体体积的近似值为,1二重积分的定义,定义 设f (x,y)是定义在闭区域D上的有界函数.,把区域 D 任意分割成n个小区域: 其中 表示第i个小区域(i=1,2,.,n),也表示其面积.在每个小区域 上任取一点 ,作和,若 为 的直径，记 ,若极限,存在,则称为函数 在区域D上的定积分,记,即,其中f (x,y) 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为面积元素, x 和y 称为积分变量, 称为积分和.,由以上定义知,曲顶柱
3、体的体积,注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径 时积分和有惟一确定的极限,极限值与D的分法和 的取法无关.,区域有关而和积分变量无关.,(2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分,2.二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可积.,3.二重积分的几何意义：,(1) 若在D上f(x,y)0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.,(2) 若在D上 f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方 二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积.,(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的
4、，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减,去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).,8.1.2 二重积分的性质,二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.,性质2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即,性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即,性质3 若D 可以分为两个区域D1，D2，则,性质5 若在积分区域D上有f(x,y)=1，则,性质4 若在D上处处有f(x,y)g(x,y)，则有,表示D的面积),性质7(二重积分中值定理) 设f
5、(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在D上存在点 ，使,性质6(估值定理) 若在D上处处有mf(x,y)M，则,表示D的面积),表示D的面积),上式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.,例1 设D是圆域： ，证明,解 在D上， 的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4=3.由估值公 式(3)得,8.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算,二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.,在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有即,8.2 二重积分的计算,假定函数 在有
6、界闭区域D上连续,且在D上 ,1.当D为矩形区域时, ,a,b,c,d 为常数),表示以f (x,y)为顶,区域D为底的曲顶柱体的体积V.,任取 ,用过点 x且垂直于x 轴的平面截曲顶柱体,则可得到一曲边梯形,其面积为,于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得:,所以,同法可得到先对x后对y 的积分方法.,这是先对y后对x的累次积分计算二重积分的方法,例2 计算积分 ，其中D是正方形区域：,解,2.当区域D为,在区间a,b上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面截立体，截得一曲边梯形,其面积为S(x)，则,于是所求的体积,S(x),在c,d上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截
7、面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则,同样，设区域D由 和 围成,用不等式表示为,所给立体体积,因此,即二重积分可以化成先对变元x 积分，后对变元y 积分的二次积分.也可化为先对变量y 积分，后对变量x 积分的二次积分,先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量，,按定积分的计算方法解之.,在上述讨论中，我们假定f (x,y)0，但是实际上，上,述结论并不受此限制.,先与直线相交的区域D的边界曲线 作为积分下限,为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：,(1) 画出积分区域D的图形.,(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于
8、y积分限的方法是：,后与直线相交的区域D的边界曲线,作平行于y轴的有向直线与区域D相交,作为积分上限.,先与有向直线相交的区域D边界曲线 作为积分下限,而先对x后对y积分时，其积分区间为区域D在Oy轴上投影区间c,d，对积分变量y, c是下限，d是上限,后与有向线段相交的区域D的边界曲线 作为积分上限.,作平行于x轴的有向直线与区域D相交,于是,例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z = 6和三个坐标平面所围成的四面体的体积.,解 所求体积即是以,我用分加用两种积分次序求这个积分。,也就是计算二重积分,z=62x3y 为顶，,以ABC围成区域D为底,的柱体体积.,解法1 先对y 积分.,作平
9、行于y轴的直线与区域D相交，得积分下限为y=0，积分上限为 . x的变化范围为0到3.,解法2 先对x积分 作平行于x轴的有向直线与区域D相交，得积分下限 x=0，积分上限 .y的变化范围为0到2.,例3 计算积分 ，其中D是由y=x，y=0和 所围成的三角形区域.,解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D相交，积分下限为y = 0，积分上限为y = x，D在x 轴上的投影区间为 .,解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴 正向看，得积分下限为x = y，积分上限为 D在y轴上的投影区间为 .故,例4 计算积分 ，其中D由 y0确定.,解法1 先对y 积
10、分， 作平行于y轴的直线与区域D相交，积分下限y = 0； 积分上限为 . D在x方向变化范围-1到1.,解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，积分下限为 ，积分上限为 ，,因此,例6 计算 ，其中D由不等式 及 所确定.,解法1 化为先对y 积分后对x 积分的二次积分.,作平行于y轴的直线与区域D相交，积分下限为 积分上限为y = x，因此,x轴上的积分区间为1,2.,解法2 化为先对x 积分后对y 积分的二次积分.,作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知积分下限不是同一函数,这需要将积分区域分为两个子区域.,在y轴上的积分区间为,当 时，平行于x轴的直线
11、与区域D相交时，沿有向线段的正向，积分下限为 ，积分上限为x = 2.,当 时，平行于x 轴的直线与区域D相交时,沿x轴正方向看，积分下限 x = y，积分上限为 x = 2.,y的积分区间被分成 和 .,显然解法1较简便.因此选择积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问题.,例9 交换二次积分 的积分次序.,解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域用不等式表示为：,转换为先对y积分，后对x积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，得下限为y = x,上限为y=2x，因此在D中 ，,例 计算 ,其中D为y=x-4 和y2=2 x 所围成的区域,解,先对
12、x积分,与极角等于 和 的两条,这个小区域近似地看作是边长为 和 的小矩形，所以它的面积,二、二重积分在极坐标下的计算,若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为 ，则有如下关系：,设 是由半径为 和 的两个圆弧,因此，在极坐标系中,在极坐标系中，,我们用R=常数,=常数,来分割区域D.,射线所围成的小区域.,于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为,这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式.,也可以写成,此式区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示.,通常把极坐标系下的二重积分分为以下三种情况:,1.若极点在区域D之外,从而有,即
13、,2.极点位于区域D的边界上,即,从而有,3. 极点在区域D的内部,则有,另外,如图所示情况,即,即D:,对一般的二重积分,如果积分区域D为圆形、半圆形、圆环形、扇形域等，或被积函数中含有f (x2+y2) 的形式，利用极坐标常能简化积分计算.,1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分,(1) 将 代入被积函数.,(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.,(3) 将面积元dxdy换为 .,2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.,例11 计算二重积分 区域D为由x2+y2-2y=0及x=0围成的第一象限内的区域.,解,区域D如图所示,令 代换，可得极坐标表达式 此时D可以表示为,这属于第二种类型,于是,原式,例 计算二重积分 ,其中D由圆周,( a 为大于 0 的常数) 所围成的闭区域.,解 积分区域如图所示,令 得圆周方程为 ,所以积分区域D为,于是由极点位于区域内的积分公式,计算二重积分 , 其中D为圆环,解积分区域如图所示,令 可得圆环的极坐标表示为,于是,例,
