1、1第五章 数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若 z ，则复数 ( )1 2ii zA2i B2iC2i D2i解析： z i(12i)2i， 2i.1 2ii z答案： D2i 2 011i 2 012在复平面内表示的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析： i 2 011i 2 012i11i，表示的点在第四象限答案： D3若( x21)( x23 x2)i 是纯虚数，则实数 x 的值为( )A1 B1C1 D以上都不对解析： 复数为纯虚数，Error!解得 x1.答案
2、： A4在复平面时，向量 对应的复数是 2i，向量 对应的复数是13i，则向量AB CB 对应的复数为( )CA A12i B12iC34i D34i解析： 13i2i34i，故选 D.CA CB AB 答案： D5在复平面内，若复数 z m2(1i) m(4i)6i 所对应的点在第二象限内，则实数 m 的取值范围是( )2A(0,3) B(2,0)C(3,4) D(10,2)解析： z( m24 m)( m2 m6)i，则Error! ，解得 3 m4.答案： C6给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数；(2)满足| zi| zi|2 的复数 z 的轨迹是椭圆；(3)若 mZ，i 21，
3、则 imi m1 i m2 i m3 0.其中正确命题的序号是( )A(1) B(2)(3)C(1)(3) D(1)(4)解析： (1)显然正确；(2)中复数 z 表示的点到 i 和i 表示的点的距离的和为 2，其轨迹是线段，故(2)错；(3)中，i mi m1 i m2 i m3 i mi m1 i mi m1 0，故(3)正确答案： C7设复数 z 满足 i，则|1 z|等于( )1 z1 zA0 B1C. D22解析： i，1 z1 z1 zi zi.(1i) z1i. z i.1 i1 i|1 z|1i| .2答案： C8如果复数 z3 ai 满足条件| z2|2，那么实数 a 的取值
4、范围为( )A(2 ，2 ) B(2,2)2 2C(1,1) D( ， )3 3解析： | z2|3 ai2| 2， a23， a .1 a2 3 3答案： D9若 zcos isin (i 为虚数单位)，则使 z21 的 值可能是( )A. B. 6 43C. D. 3 2解析： z2cos 2 sin 2 2sin cos icos 2 isin 2 1.Error! ，2 2 k，即 k (xZ) 2答案： D10设 f(z)1 ， z123i， z25i，则 f( )等于( )z z1 z2A44i B44iC44i D44i解析： z1 z223i(5i)34i 34i，z1 z2
5、f( )1(34i)44i.z1 z2答案： C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)11若复数 z12i(i 为虚数单位)，则 z z_.z解析： z12i， z | z|25.z z z62i.z答案： 62i12复数 z1 2 mi， z2 m m2i，若 z1 z20，则实数 m_.3m 1解析： z1 z2( 2 mi)( m m2i)( m)( m22 m)i.3m 1 3m 1 z1 z20， z1 z2为实数且大于 0.Error! 解得 m2.答案： 213定义运算 ad bc，若复数 z 符合条件 32i，则 z_.|a b c
6、d| |2 1 z zi|解析： 由定义运算可知 2zi z32i，z 3 2i2i 1 3 2i 1 2i 5 .1 8i5答案： 1 8i514已知复数 z1、 z2满足：| z1|1，且 z2在复平面中对应的点在直线44x3 y100 上，则| z1 z2|的最小值是_解析： 由复数及模的几何意义，知| z1 z2|表示单位圆上的点与直线4x3 y100 上点的距离由图知| z1 z2|min 1 11.|40 30 10|42 32 105答案： 1三、解答题(本大题共 4 小题，满分 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)已知复数 z(2
7、i) m2 2(1i)求实数 m 取什么值6m1 i时，复数 z 是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数解析： 由于 mR，复数 z 可以表示为z(2i) m23 m(1i)2(1i)(2 m23 m2)( m23 m2)i.(1)当Error!即 m2 时， z 为零(2)当 m23 m20，即 m2 且 m1 时， z 为虚数(3)当Error!即 m 时， z 为纯虚数12(4)当 2m23 m2( m23 m2)，解得 m0 或 m2(舍去)，即 m0 时， z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数16(本小题满分 12 分)已知
8、复数 z1满足( z12)(1i)1i(i 为虚数单位)，复数z2的虚部为 2，且 z1z2是实数，求 z2.解析： ( z12)(1i)1i， z12i.设 z2 a2i， aR， z1z2(2i)( a2i)(2 a2)(4 a)i. z1z2R， a4. z242i.517(本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点，已知向量 ， 分别对应复数 z1， z2，且OZ1 OZ2 z1 ( a210)i， z2 (2 a5)i(其中 aR)，若 z1 z2可以与任意实数比较大3a 5 21 a小(1)求向量 对应的复数；Z1Z2 (2)设 Z1、 Z2中点为 Z，求| |.OZ 解析： (1)
9、 z1 z2 ( a2102 a5)i(3a 5 21 a) ( a22 a15)i；a 13a2 4a 5 z1 z2可与任意实数比较大小， z1 z2为实数，Error! 解得 a3. z1 i， z21i38向量 对应的复数为Z1Z2 (1i) 2i.(38 i) 118(2)Z1Z2的中点 Z 对应的复数为z ， 1 i (38 i)2 516| | .OZ ( 516)2 02 51618(本小题满分 12 分)已知复数 z1i(1i) 3，(1)求| z1|；(2)若| z|1，求| z z1|的最大值解析： (1) z1i(1i) 3i(2i)(1i)2(1i)，| z1| 2 .22 2 2 2(2)方法一：| z|1，设 zcos isin ，|z z1|cos isin 22i| cos 2 2 sin 2 2 .9 42sin( 4)6当 sin 1 时，| z z1|取得最大值 ，( 4) 9 42从而得到| z z1|的最大值 2 1.2方法二：如图所示，由| z|1 可知， z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而 z1对应着坐标系中的点 Z1(2，2)所以| z z1|的最大值可以看成是点 Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知| z z1|max| z1| r(r 为圆半径)2 1.2
