1、12016-2017 学年高中数学 阶段质量评估 3 北师大版选修 2-1一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若拋物线 y24 x 上的一点 P 到焦点的距离为 10，则 P 点的坐标是( )A(9,6) B(9，6)C(6,9) D(6，9)解析： 设 P(x0， y0)，则 x0110， x09，y 36， y06，故 P 点坐标为(9，6)20答案： B2 是任意实数，则方程 x2 y2sin 4 的曲线不可能是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析： sin 可以等于 1，这时曲线表示圆，sin 可以小
2、于 0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于 0 且小于 1，这时曲线表示椭圆答案： C3双曲线 1 的离心率 e(1,2)，则 k 的取值范围是( )x24 y2kA(，0) B(12,0)C(3,0) D(60，12)解析： a24， b2 k， c24 k. e(1,2)， (1,4)， k(12,0)c2a2 4 k4答案： B4以椭圆 1 的顶点为顶点，离心率为 2 的双曲线方程是( )x216 y29A. 1 B. 1x216 y248 x29 y227C. 1 或 1 D以上都不对x216 y248 y29 x227解析： 当顶点为(4,0)时， a4， c8， b4 ， 1；3
3、x216 y248当顶点为(0，3)时， a3， c6， b3 ， 1.选 C.3y29 x227答案： C5已知两定点 F1(1,0)、 F2(1,0)，且 |F1F2|是| PF1|与| PF2|的等差中项，则动点 P12的轨迹是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D线段解析： 依题意知，| PF1| PF2| F1F2|2，作图可知点 P 的轨迹为线段答案： D6设 F1和 F2为双曲线 y21 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足 F1PF290，x24则 F1PF2的面积是( )A1 B.52C2 D. 5解析： 由方程知 a2， b1， c ，5由定义知| PF1| PF2|2 a4
4、 2又 F1PF290，| PF1|2| PF2|2| F1F2|2(2 c)220 由、可得：| PF1|PF2|2， S F1PF2 |PF1|PF2| 21，故选 A.12 12答案： A7若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 ，则这个椭圆的方程为( )3A. 1 B. 1x212 y29 x29 y212C. 1 或 1 D以上都不对x212 y29 y212 x29解析： 短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，2 c a，又 a c ，可知 c ， a2 ， b 3.3 3 3 a2 c2椭圆方程为 1 或 1.x212
5、y29 y212 x29答案： C8两个正数 a、 b 的等差中项是 ，一个等比中项是 2 ，且 a b，则双曲线92 5 1 的离心率为( )x2a2 y2b2A. B.53 414C. D.54 415解析： 由Error!可得 a5， b4， c2 a2 b241， c ， e .41415答案： D9设 F1， F2分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存x2a2 y2b2在点 P，满足| PF2| F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A3 x4y0 B3 x5y0C4 x3y0 D5 x4y0解析： 过 F
6、2作 F2A PF1于 A，由题意知|F2A|2 a，| F1F2|2 c，则| AF1|2 b，| PF1|4 b，而| PF1| PF2|2 a，4 b2 c2 a， c2 b a， c2(2 b a)2，a2 b24 b24 ab a2，解得 ，ba 43双曲线的渐近线方程为 y x.故选 C.43答案： C10(2011浙江卷)已知椭圆 C1： 1( a b0)与双曲线 C2： x2 1 有公共x2a2 y2b2 y24的焦点， C2的一条渐近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A， B 两点，若 C1恰好将线段 AB三等分，则( )A a2 B a2131323C b2 D b221
7、2解析： 如图，设 M， N 为三等分点， N(x， y)，由已知 c ，5故 a2 b25，即 b2 a25，且双曲线的渐近线方程为 y2 x，根据对称性，我们只需联立Error!即可，由以上方程组可得出 1，解得 x2 ，x2a2 4x2a2 5 a2 a2 55a2 5又| ON|2 x2 y25 x25 ，a2 a2 55a2 5 a2 a2 5a2 1 a29 a2 ， b2 a25 .112 12答案： C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)11(2011北京朝阳一模)已知拋物线 y24 x 上一点 M 与该拋物线的焦点 F 的距
8、离|MF|4，则点 M 的横坐标x_.解析： 拋物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x1.根据拋物线的定义，点 M 到准线的距离为 4，则 M 的横坐标为 3.答案： 312若椭圆 x2 my21 的离心率为 ，则它的长半轴长为32_解析： 当 0 m1 时， 1， e2 1 m ，y21m x21 a2 b2a2 34m ， a2 4， a2；当 m1 时，14 1m 1， a1.应填 1 或 2.x21 y21m答案： 1 或 213已知圆 x2 y26 x70 与抛物线 y22 px(p0)的准线相切，则 p_.解析： 圆的标准方程是( x3) 2 y24 2，因此，圆心是
9、(3,0)，半径 r4，故与圆相切且垂直于 x 轴的两条切线 x1， x7.而 y22 px(p0)的准线方程是 x .p2依题意 1，得 p2， 7， p14(不符合题意)， p2.p2 p2答案： 214已知椭圆 1( ab0)的焦点为 F1、 F2， O 为坐标原点，点 P 是椭圆上的一点，x2a2 y2b2点 M 为 PF1的中点，| OF1|2| OM|，且 OM PF1，则该椭圆的离心率为_解析： OM 綊 F2P，又| OF1|2| OM|，12| PF2|2| OM| c， PF2 PF1，(2 a c)2 c2(2 c)2，4 e22 e20，得 e 1.3答案： 13三、解
10、答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12 分)已知直线 l： y x m 与椭圆：9 x216 y2144.试探究当 m 变化时，直线 l与椭圆的位置关系解析： 由Error!消去 y，得 9x216( x m)2144，整理得 25x232 mx16 m21440.因为 (32 m)2425(16 m2144)24 2(52 m2)当 0，即 m5 时，直线与椭圆相切；当 0，即55 时，直线与椭圆相离16(12 分)已知椭圆 1( ab0)的右焦点为 F，过 F 作 y 轴的平行线交椭圆于x2a2 y2b2M、 N 两点，若| MN|
11、3，且椭圆离心率是方程 2x25 x20 的根，求椭圆方程解析： 右焦点为 F(c,0)，把 x c 代入 1 中，x2a2 y2b2得 y2 b2 ， y .(1c2a2) b4a2 b2a| MN| 3.2b2a又 2x25 x20(2 x1)( x2)0， x 或 2，又 e(0,1)， e ，即 .12 12 ca 12又知 a2 b2 c2，由联立解得Error!椭圆方程为 1.x24 y2317(12 分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是 24 cm，灯深 10 cm，那么灯泡与反射镜顶点的(即截得
12、抛物线顶点)距离是多少？解析： 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为 x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系 xOy，如图所示因灯口直径| AB|24，灯深| OP|10，所以点 A 的坐标是(10,12)设抛物线的方程是 y22 px(p0)由点 A(10,12)在抛物线上，得1222 p10， p7.2.抛物线的焦点 F 的坐标为(3.6,0)因此灯泡与反射镜顶点的距离是 3.6 cm.18(14 分)已知，椭圆 C 经过点 A ，两个焦点为(1,0)，(1,0)(1，32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)E、 F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线的斜率 AE 与 AF 的斜率互为相反
13、数，证明：直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值5解析： (1)由题意，知 c1，可设椭圆方程为 1x21 b2 y2b2因为 A 在椭圆上，所以 1，11 b2 94b2解得 b23， b2 (舍去)34所以椭圆的方程为 1.x24 y23(2)证明：设直线 AE 的方程为 y k(x1) ，代入 1，32 x24 y23得(34 k2)x24 k(32 k)x4 2120.(32 k)设 E(xE， yE)， F(xF， yF)，因为点 A 在椭圆上，(1，32)所以 xE ， yE kxE k.4(32 k)2 123 4k2 32又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中 k 代 k，可得xF ， yF kxF k.4(32 k)2 123 4k2 32所以直线 EF 的斜率 kEF ，yF yExF xE k xE xF 2kxF xE 12即直线 EF 的斜率为定值，其值为 .12
