1、1第三章 变化率与导数一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是( )A. 1 B(log 2x)(x1x) 1x2 1xln 2C(5 x)5 xlog5e D( x2cos x)2 xsin x解析： 1 ；(5 x)5 xln 5；(x1x) 1x2(x2cos x)( x2)cos x x2(cos x)2 xcos x x2sin xB 选项正确答案： B2已知函数 y x21 的图像上一点(1,2)及邻近一点(1 x,2 y)，则等于( )lim x 0 y xA2 B2 xC2 x D2
2、( x)2解析： y x f 1 x f 1 x 2 x 1 x 2 1 2 x (2 x)lim x 0 y x lim x 02.答案： A3已知函数 f(x) xsin xcos x，则 f 的值为( )( 2)A. B0 2C1 D1解析： f( x)sin x xcos xsin x xcos x. f cos 0.( 2) 2 2答案： B24一个物体的运动方程是 s1 t t2， s 的单位是米， t 的单位是秒，该物体在 3秒末的瞬时速度是( )A7 米/秒 B6 米/秒C5 米/秒 D8 米/秒解析： s12 t， s(3)5，故选 C.答案： C5若对于任意 x，有 f(
3、x)4 x3， f(1)1，则此函数为( )A f(x) x4 B f(x) x42C f(x) x41 D f(x) x42解析： A、B、C、D 满足 f( x)4 x3，只要验证 f(1)1 即可答案： B6已知直线 y kx 是 yln x 的切线，则 k 的值为( )Ae BeC. D1e 1e解析： y ，则 k.直线 x y 过 .1x 1x 1k (1k， 1)1ln ， k .1k 1e答案： C7曲线 ye x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( )A. e2 B2e 294Ce 2 De22解析： ye x， ye x， y| x2 e 2 k，切线为
4、 ye 2e 2(x2)，即ye 2xe 2.在切线方程中，令 x0，得 ye 2，令 y0，得 x1， S 三角形 |e 2| .12 e22答案： D8设曲线 y 在点(3,2)处的切线与直线 ax y10 垂直，则 a( )x 1x 1A2 B12C D2123解析： 由 y 1 ，x 1x 1 2x 1求导得 y ，2 x 1 2所以切线斜率 k y| x3 ，12则直线 ax y10 的斜率为 2，所以 a2，即 a2.答案： D9若 f(x) x22 ax 与 g(x) 在区间(1,2上切线的倾斜角都是钝角，则 a 的ax 1取值范围是( )A(1,0)(0,1) B(1,0)(0
5、,1C(0,1) D(0,1解析： g( x) ，要使 g(x)在(1,2上切线的倾斜角为钝角， a x 1 2则有 g( x) 0， a x 1 2所以 a0.而 f(x) x22 ax 的对称轴为 x a，由 f(x)在(1,2上切线的倾斜角为钝角知a1，故 0 a1.答案： D10若点 P 在曲线 y x33 x2(3 )x 上移动，点 P 处的切线的倾斜角为 ，334则角 的取值范围是( )A. B 0， 2) 0， 2) 23， )C. D 23， ) 0， 2) ( 2， 23解析： y3 x26 x3 3( x1) 2 ，即 tan ，所以 3 3 3 3 .0， 2) 23，
6、)答案： B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)11已知 a 为实数， f(x)( x24)( x a)，且 f(1)0，则 a_.解析： f( x)( x3 ax24 x4 a)3 x22 ax4，由 f(1)0，得 a .124答案： 1212设 f(x)为偶函数，若曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线的斜率为 1，则该曲线在点(1， f(1)处的切线的斜率为_解析： f(x)为偶函数， f( x)为奇函数又 f(1)1， f(1) f(1)1.答案： 113已知直线 y kx1 与曲线 y x3 ax b 切于点(1,3)，则 b
7、的值为_解析： 点(1,3)在直线 y kx1 上，则 k2.2 f(1)31 2 aa1， f(x) x3 x b.点(1,3)又在曲线上， b3.答案： 314若曲线 f(x) ax5ln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_解析： f( x)5 ax4 ， x(0，)，1x由题知 5ax4 0 在(0，)上有解1x即 a 在(0，)上有解15x5 x(0，)， (，0)15x5 a(，0)答案： (，0)三、解答题(本大题共 4 小题，满分 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12 分)求下列函数的导数：(1)y ；x5 x sin xx2(
8、2)f(x)( x31)(2 x28 x5)；(3)y .1 sin x1 cos x解析： (1) y x3 x x2 sin x.x5 x sin xx2 32 y3 x2 x 2 x3 sin x x2 cos x.32 52 5(2)f(x)( x31)(2 x28 x5)2 x58 x45 x32 x28 x5， f( x)10 x432 x315 x24 x8.(3)y (1 sin x1 cos x) 1 sin x 1 cos x 1 sin x 1 cos x 1 cos x 2 .sin x cos x 1 1 cos x 216(12 分)已知函数 f(x) ax2 ax
9、 b， f(1)2， f(1)1.43(1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)在(1,2)处的切线方程解析： (1) f( x)2 ax a43由已知得Error!解得Error! f(x) x22 x .32 52(2)函数 f(x)在(1,2)处的切线方程为y2 x1，即 x y10.17(12 分)已知函数 f(x)2 x3 ax 与 g(x) bx2 c 的图像都经过点 P(2,0)，且在点 P 处有公共的切线，求函数 f(x)和 g(x)的解析式解析： 由 f(x)的图像经过点 P(2,0)，得 a8，从而 f(x)2 x38 x， f( x)6 x28.由 g(x)的图像经过
10、点 P(2,0)，得 4b c0，又 g( x)2 bx，且 f(x)、 g(x)的图像在点 P 处有公共的切线，所以 g(2) f(2)，即 4b16， b4，所以 c16.综上 f(x)2 x38 x， g(x)4 x216.18(14 分)已知 f(x) x2 ax b， g(x) x2 cx d，又 f(2x1)4 g(x)，且f( x) g( x)， f(5)30，求 g(4)解析： 由 f(2x1)4 g(x)，得4x22( a2) x( a b1)4 x24 cx4 d.于是有Error!由 f( x) g( x)，得 2x a2 x c.6 a c. 由可得 a c2.由 f(5)30，得 2510 b30. 由得 b5.再由得 d .12 g(x) x22 x .12故 g(4)168 .12 472
