1、习题课 矩阵,P99,第10题 设A为n阶方阵,并且Ak=O,试证E-A可逆,并且,证明: 若n阶方阵A满足AB=E,则A可逆.,所以A-E可逆,并且(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1,第11题 设A为n阶方阵,且满足A2+2A-3E=O, 证明(1) A可逆,并求A的逆. (2)A-2E可逆,并求(A-2E)的逆.,证明: (1),所以A可逆,并且,所以(A-2E)可逆,并且,(2),第15题 已知为方阵B满足AB=A+B,求矩阵B,其中,解: AB=A+B, (A-E)B=A. 可以用矩阵方程的行初等变换方法计算B.,所以,第16题 已知,且矩阵B满足A2-AB=E,求矩阵B.,解
2、法一: 因为A2-E=AB 所以B=A-1(A2-E). 解法二: 因为AB=A2-E 可以用矩阵方程的初等变换方法计算B.,(A A2-E) 行初等变换 (E B),第17题 设A是n阶方阵,B是nr 矩阵,且r(B)=n.,试证:(1)如果AB=O,那么A=O; (2)AB=B,那么A=E.,解: (1) 因为AB=O, (AB)T=BTAT=O,又r(B)=n,所以r(BT)=n.因此矩阵方程BTAT=O(齐次线性方程组的矩阵形式),AT仅有零解.即AT的所有元素为零.即AT=O,所以A=O.,(2) 因为AB=B, (A-E)B=O,根据(1)则A-E=O,即 A=E.,第18题 设A
3、,B是两个n阶反对称矩阵,则,(1)A2是对称矩阵.,(2)AB=BA时,AB是对称矩阵.,解:(1) (A2)T=ATAT=(-A)(-A)=A2 所以A2是对称矩阵.,（2）（AB）T=BTAT=（-B)(-A)=BA=AB. 所以AB是对称矩阵,例题:设n阶方阵A的伴随矩阵为A*,证明：（1）若|A|0，则| A*|0。（2）| A*|A|n1。 证明：由伴随矩阵的定义显然有AA*= A*A=|A|En, 两边取行列式即得 |A|A*|=det(|A|En)|A|n, 故当|A|不等于0时，（2）是显然的。 而只要我们证明了（1），则（2）对于 |A|0 的矩阵A也是成立的。下面我们证明
4、（1）。,(反证法）假设则| A*|0，则A*可逆，于是在AA*=|A|En两边右乘(A*)1,有A |A|En (A*)1O（因为|A|0）， 因此A的伴随矩阵A*应该为O。与假设矛盾！,例 设A为n阶方阵满足A2A2EO， 证明A和A2E均可逆，求它们的逆矩阵。解: 由A2A2EO易得(AE)A=2E, 即 (AE)A=E.故由逆矩阵的定义可得A可逆，且类似可求得(A2E)(A3E)=4E. 即,第19 证明: (1)非奇异对称(反对称)矩阵A的逆仍然是对称(反对称)矩阵; (2)奇数阶反对称矩阵必不可逆.,解: (1) 因为A是非奇异,并对称矩阵.A可逆,且 (A-1)T =（AT)-1
5、=A-1,由定义可知A-1也是对称矩阵. 同理可证反对称句阵的情况. (2)设A为反对称矩阵,则AT=-A, AT=-A=(-1)n A= A(行列式性质1), 当n为奇数时, - A= A 则2 A=0, 所以A=0,即A不可逆.,第20题 设n阶方阵A可逆,将A的第i行与第j行元素交换后得到B.(1)证明B可逆; (2)求AB-1.,解:(1) 根据已知条件,有E(i,j)A=B (*) (E(i,j)是初等矩阵) . 又A可逆, 所以A 行初等变换 E 即 PsP2P1=A, 代入 (*)式: E(i,j)PsP2P1=B, 即 P1-1P2-1Ps-1E(i,j)-1B=E, B行初等
6、变换 E 所以B可逆. (2) E(i,j)A=B, E(i,j)AB-1=E , AB-1=E(i,j) -1=E(i,j),第22题,为n阶非零实矩阵,若aij=Aij,其中 Aij的元素aij的代数余子式(i、j=1，2,n)，证明AO。 证明：用反证法。假设A=O，即,这与A为n阶非零实矩阵矛盾， 所以AO。,证明: 因为r(A)=r,矩阵A=(aij)mn,则,第23题 设A是秩为 r 的mXn矩阵,证明A必可表示 成秩为1的mXn 矩阵之和.,即存在m阶的可逆矩阵P1及n阶可逆矩阵Q1,使,所以,其中,由于P,Q均可逆,所以,第24题 设实对称矩阵A满足A2=O,证明A=O.,证明
7、: 用数学归纳法证明,当n=2时, 因为A是实对称矩阵,假设n-1时结论成立,即,所以n=2时结论成立.,n时,所以n时, 矩阵A=O.因而结论成立.,第25题 设A为二阶矩阵,A2=E,AE,证明,r(A+E)=r(A-E)=1.,证明: A为二阶矩阵, 并A2=E 所以,A2-E=O,即(A+E)(A-E)=O,又A+E O,A-E O,所以r(A+E) O, r(A-E) O.以下用反证法 假设r(A+E) 1(或r(A-E) 1),只有r(A+E) =2(或 r(A-E)=2) (A+E)(A-E)=O (看成矩阵方程AX=O) 中A+EO, 则(A-E)=O 与A+E 矛盾.所以r(A+E) =1. 同理r(A-E) =1.,第26题 设A为mXn矩阵,且mn,证明ATA=O,证明: AmXn且mn, AT A=Bnn r（） min(r(AT), r(A), (根据定理2.6) r(AT) m, r(A) m, 又mn,因而 r（） mn,所以=Bnn=0,例题 设3阶方阵A= 满足,解: (1)设,
