1、第一章 电磁现象的普遍规律Universal Law of Electromagnetic Phenomenon,本章重点、难点及主要内容简介,本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定律及一些假设总结出麦克斯韦方程。,主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程；讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程；给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能量、能流并讨论电磁能量的传输。,本章难点：电磁场的边值关系、电磁场能量。,本 章 主 要 内 容电荷与电场 电流和磁场 麦克斯韦方程组 介质的电磁性质 电磁场边值关系 电磁场的能量和能流 麦克斯韦方程组的自洽性和
2、完备性,1.1 电荷与电场,Electric Charge and Electric Field,1.库仑定律（Coulombs law),Coulombs law是描写真空中两个静止的点电荷q和q之间相互作用力的定律。,注意： 代表施力者的坐标， 代表受力者的坐标， 表示电荷q 受到q 的作用力。同理，q 受到q的作用力 是：,重要意义：标志电现象由定性研究过渡到定量研究，在电磁学发展史上占有重要的地位；特别是它的平方反比律性质，不仅是Gauss theorem的基础，而且隐含着光子质量为零。现代物理实验证明，如果把库仑力写成正比于,2、叠加原理（principle of superposi
3、tion),Coulombs law所说明的只是空间存在的两个点电荷之间的相互作用。对多个电荷体系， Coulombs law是否适用？每个电荷受到多大的作用力呢？实验表明：若空间存在n个电荷q1, q2qn，这时任意一个电荷qj，受到其它所有电荷对它的作用力为,此式称为线性叠加原理。,Remark：,1.实验性: 原理是假设性的，是理论的前提，而非结论，只可由实验来检验。迄今为止，在经典范围内和可以达到的场强下还没有找到一个反例。,2.作用方式: Couloms law 没有给出!,a.超距作用:直接施加于物体上 b.近距作用:(场传递),电荷是量子化的，任何物体所带的电荷总量是电子电荷的整
4、数倍。当考查物体的宏观性质时能观察到的总是大量微观粒子的平均效应，可以用电荷连续分布的概念来代替电荷的分立性.,体电荷密度:,3.介电常数0: dielectric constant,量纲: C2/m2/N:Coulomb,meter,Newton,当电荷的线度对研究对象的影响很小可以忽略时，我们认为该电荷没有体积-点电荷。可视为一个体积很小而体电荷密度很大的带电小球体的极限。若空间某点 上有电量为q 的点电荷的体电荷密度为,其中 是这空间任一体积元 中所逞的电量。,点电荷的体电荷密度 在源点 处为无限 大，而除源点 外处处为零。,若带电体某一维度远小于其它二维度,可引入面电荷密度来描述这种电
5、荷分布。,若电荷分布在表面薄层h内，用 代表表面上的任一小面积元，则体积元h 内的电量为,定义面电荷密度为,3、电场（electric field）,问题:在给定电荷分布空间内放置一个点电荷q的受力。 决定受力的因素： 1.点电荷本身的位置及其电量的大小； 2.给定电荷的分布和电量的大小。实验困难：放置点电荷q将会直接影响给定电荷的分布。假设在讨论放置电荷q的过程中，其余电荷看作保持原先的分布。,于是，作用在电荷q上的力仅与该电荷的电量q及其位置有关，即,式中 是点电荷q 所在的位置矢量， 是点 的某一矢量函数，与Coulombs law比较，可以看出,或者,电荷q所受到的作用力归结为求函数
6、，而它决定于空间除q以外其余电荷的分布，这个函数就称为电场强度。,式中 是场点P的位置矢量， 是源点 的位置矢量，,4、高斯定理（Gauss theorem),电荷是产生的电场源泉，电场是矢量，它对封闭曲面的积分反映电场的发散性。因此，该发散度应该与电荷有关-高斯定理,Remark：1.电场具有可叠加性。2.实验如何测量？ 3.试探电荷!,Gauss theorem主要是讨论电场强度 的面积分，在点电荷场中，设s 表示包围着点电荷q 的一个闭合面，为 s上的定向面元，以外法线方向为正。a) 如果点电荷q在s面内,对于空间任一封闭曲面S 作 的面积分，可得,b) 点电荷q在S面外,把S面分成两部
7、分，照明部分S2和阴影部分S1,再补一个S0,由此可得到结论：,根据叠加原理，点电荷系,S is the boundary of V,1.电场由全空间的电荷确定，不是仅由闭曲面内的电荷确定。 2.通过某曲面的通量仅与曲面内的电荷有关。,3.若 ，则流经曲面的通量为零，而不是电场 为零。,Remark:,5、静电场的散度(divergence of electrostatic field),将此与Gauss定理比较，得到,方法一：,即有,故,从而得到,严格说来：,方法二：已知 ， 对该式两边求散度，即,a) 空间任一点 的散度仅仅决定于该点的电荷密度，而 描述场源的性质。,讨论：,b) Gaus
8、s theorem 是由Coulombs law导出的，前者高于后者。,c) Gauss theorem反映了电荷激发电场通量的基本规律， 是因， 是果，是前者的表现形式。,6、静电场的旋度（rotation of electrostatic field）Gauss theorem只确定了电场的发散和会聚性，还必须讨论电场的空间的线积分性质。,方法一：,由L的任意性，我们可以获得,根据Stokes theorem,得到,方法二：由静电场的表达式出发，即,所以,由于,这里,由于任意标量的梯度的旋度恒为零，故有,从而得到,总结：,方法三：,For Electrostatics,a) 静电场是有源无
9、旋场，电力线不闭合，从正电荷出发到负电荷终止，有头有尾。b) 静电场的场强表示为标量函数的负梯度，即 。因此，它是保守场，电荷在场中沿闭合曲线运动一周电场力做功为零。,Poisson Equation,1.2 电流和磁场Electric Current and Magnetic Field,本节主要讨论磁场的基本规律，因为磁场是与电流相互作用的，而Amperes law在静磁学中的地位同Coulombs law 在静电学中的地位相当，所以，这节中的电流元相当于上节中的点电荷，在讨论磁场规律之前，先讨论电流分布的基本规律。,a) 电流密度（Current density)电荷的运动形成电流，通常
10、用 来描述，其定义为,b) 电流强度(Current intensity)单位时间内垂直穿过导线横截面的电量称为电流强度，用I 表示，显然I 与 的关系为,1、电流、电荷守恒定律 (electric current, conservation law of electric charge),c) 电荷守恒(Conservation of Charge)对于封闭系统，总电荷保持不变。实验表明电荷是守恒的。即一处电荷增加了，另一处的电荷必然减少，而且增加和减少的量值相等。若在通有电流的导体内部，任意找出一个小体积V，包围这个体积的闭合 曲面为S，并且假定电流的 体积V的一面流入，从另一 面流出。,
11、单位时间内穿过S曲面流出去的电量为,而流出去的电量应该等于封闭曲面S内总电荷在单位时间内的减少量，即,所以,根据Gauss theorem，有,若所选取的封闭曲面S不随时间变化，则,由于曲面S是任意选取的，所以被积函数恒为零，即,这就是电荷守恒定律的数学表达式,也称连续性方程。,b) 对于全空间V，S为无穷远界面，由于S面上没 有电流流出，即 ,从而得到 =0，表示全空间的总电荷守恒。,注意：a) 在稳定电流的情况下，由于 ，所以这表示稳定电流线是闭合的。,2、安培定律(Amperes law) Ampere最先研究电流与电流之间相互作用力的关系。,同理 受到 的作用力为,若真空中有两个稳定的
12、电流元 和 ，则电流元 受到电流元 的作用力为,对线电流,a) 电流元之间的相互作用力也服从平方反比律；b) 不具有有心力场的性质；c)电流元之间的相互作用力不满足Newton第三定律，但整体满足；d) 没有刻画如何作用。,Amperes law,这个矛盾之所以出现，是因为我们考虑了两个孤立的电流元之间的作用力，而孤立的电流元是不存在的。真实的电流总是构成闭合回路的，因而电流元相互作用力的公式应该进行回路积分。如果有两个闭合回路1和2，那么且有,用力和反作用力定律，即,利用公式 即得,该式第一项可写为：,因为,所以,因此则有：,类似地，,这说明只有两闭合回路电流之间的相互作用才满足Newton
13、作用与反作用定律。,由此可见 ：,故得,两个电流元之间的作用力则是通过所谓的磁场进行的。电流在磁场中受力为,3、磁场（magnetic field),恒定电流磁场，实验规律总结为磁场强度B为,毕奥-萨伐尔（Biot-Savart）定律。,对于线电流：,若有一电荷q以速度 运动，则它所产生的磁感,已知电流分布 在空间一点 处所激发的磁感应强度为,4、磁场的散度（divergence of magnetic field),令,且得,如果对 求散度，则得,稳恒电流所激发的磁感应强度是一个无源矢量场，即 线是一个闭合曲线。,因为 ,对 求旋度，即,step1,5、磁场的旋度(rotor of magn
14、etic field),对于稳恒电流 ， 故有,由于电流应全部包含在积分区域内，因而在边界面上电流密度的法向分量应为零。,step2,a) 磁场是无源有旋场，磁力线是闭合的。,b) 磁场是非保守场，电流激发的磁场是以涡旋形式出现的，与静电场截然不同；c) 一般情况下，公式一恒成立，公式二只在稳恒电流时才成立。,至此，我们得到了静磁场的两个基本方程：,作业：P33-341、3、4、6,1.3 麦克斯韦方程组Maxwells equations,First, we review some fundaments on which Maxwells equations based, including
15、 Coulombs law, Amperes law, Faradays electromagnetic induction law.,1、法拉弟定律（Faradays law)主要论述：变化磁场产生电场。实验总结：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比，感应电流总是阻碍原来磁通的变化。,而感应电动势又可以用感应电场描述,所以,即,由于S曲面是任意的，要使上式成立，除非是,闭合回路中总电荷为零,满足的普遍方程式为,一般说来，空间任一点的电场总是由两部分组成，即,2、位移电流（displacement current),主要论述：变化电场产生磁场。,由电磁现象的基本实验定律，
16、我们有如下关系式,而根据电荷守恒定律，则要求,如果承认电荷守恒定律是普遍成立的, 那么Amperes law必须作修改。Maxwell首先看到了这个问题，并从理论上巧妙地解决了，若将,代入连续性方程，则,由此可见，只要把Amperes law中的 用 代替，矛盾就迎刃而解，所以在一般情况下Amperes law修改为,位移电流,位移电流揭示：变化着的电场激发磁场。因此，变化着的电场、磁场相互激发，两者都以涡旋形式激发，并且左右手旋转对称。 电磁规律的普通形式：,3、洛仑兹力（Lorentz force),一个点电荷q 在电场 中所受的力为,如果这个点电荷是运动的，并且空间还有磁场存在，则该电荷
17、既受到电场力的作用，还要受到磁场力的作用（即Amperes force),Lorentz force,如果把它写成力密度的形式，则有,从而得到,2、最重要的特点是它揭示了电磁场的内在矛盾和运动，不仅 可激发电磁场，而且,1、反映一般情况下电流电荷激发的电磁场以及电磁场内部矛盾运动的规律，在 、 的区域， 通过自身相互激发而运动传播。电磁场的内部矛盾是它存在和运动的主要因素，而 则以一定形式作用于电磁场。,总结：Maxwells equation 的特点,也可相互激发，因此只要某处发生电磁扰动，电磁场就互相激发，就会在空间传播，形成电磁波。3、不仅揭示了电磁场的运动规律，更加揭示了电磁场可以独立
18、于电荷，电流之外单独存在。这就加深了我们对电磁场物质性的认识。,1.4 介质的电磁性质Electromagnetic Property in Medium,从微观上看,所有介质都由带正、负电的粒子组成，在宏观电磁场的作用下，将导致电荷的重新分布和分子磁矩的改变，从而产生极化和磁化，出现宏观的电荷和电流，这些附加的电荷和电流也要激发电磁场，从而使原来的宏观电磁场有所改变。电荷和电场、电流和磁场是互相制约，介质的内部（外部）宏观电磁现象就是这些电荷、电流分布和电磁场之间相互作用的结果。,研究要点：介质在外场作用下可能出现哪些附加电荷和电流。,1、介质的极化（polarization of diel
19、ectric),在外电场的作用下，介质中正负电荷受到方向相反的作用力，因此正负电荷间的距离拉开了。,a. 无极性分子 b.极性分子,极性分子,产生了一个电偶极矩,极化强度矢量：,a) 极化电荷体密度与极化强度的关系,由于极化，正负电荷间发生了相对位移，产生宏观电荷分别-极化电荷.,设介质分子密度为n，则通过 面跑出去的正电荷数目为,于是通过任一封闭曲面跑出去的总电荷为,若正负电荷拉开的位移为 ，设介质分子密度为n，则通过 面跑出去的正电荷数目为,留在V内净余的负电荷,引入极化电荷密度,于是通过任一封闭曲面跑出去的总电荷为,b) 极化电流密度与极化强度的关系,当外电场随时间改变时，极化过程中正负
20、电荷的相对位移也将随时间改变，由此产生的电流称为极化电流。极化电流和极化电荷也满足连续性方程：,因为在非均匀介质内部，极化后一般出现极化电荷。在均匀介质中，极化电荷只出现在介质界面上。在介质1和介质2分界面上取一个面元为 ，在分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包围在薄层内。,c) 极化电荷面密度与极化强度的关系,通过薄层进入介质2的正电荷为 ，由介质1通过薄层下侧面进入薄层的正电荷为 因此薄层出现的净余电荷为,以 为极化电荷面密度，则有,得到,介质内部分的电子运动构成微观环形电流，相当于一个磁偶极子。大量磁矩取向无规则，整体不呈现宏观电流效应，在施加外磁场后，环形电流出现有规则取向，形成宏观
21、电流效应，就是磁化现象。在电磁学中，引入了磁化强度矢量 ，其定义为单位体积内的磁偶极子数，即,其中 是第i 个环形电流的磁偶极子，即,2、介质的磁化（magnetization of dielectric),由于磁化，引起介质内部环形电流有规则取向，呈现宏观电流效应，这种由磁化引起的电流称为磁化电流。设S为介质内部的一个曲 面，其边界线为L，环形电流 通过S面有两种情况:,a) 磁化电流密度与磁化强度的关系,一种是在S面中间通过两次的环形电流，为1、2、3，这种电流环对总电流没有贡献；而另一种是在S,在边界线L上取一线元 ，设环 形电流圈 的面积为 ，则由图可见，若分子中心位于体积元 的柱体内
22、，则该环形电流就被 所穿过。因此，若单位体积,面中间通过一次的环流，如4、5、7，这种电流环对总电流有贡献，但这种情形只能发生在边界上。当然，在S面外的电流环8，对总电流同样无贡献。每一个环形电流贡献为i 或-i，在S面上一共有多少这种电流呢？,内分子数为n，则被边界线L穿过的环形电流数目为,此数目乘上每个环形电流i ，即得从S背面流向前面的总磁化电流：,以 表示磁化电流密度，有,对于均匀磁化介质，内部的 为一常矢量。可见 ，即介质内部 。,所以,故得,对 两边取散度，得,磁化电流不引起电荷的积累，磁化电流为环流。,b) 磁化电流面密度与磁化强度的关系,但表面上却有电流分布。,为此，要引入面电
23、流的密度概念。面电流实际上是靠近表面的相当多分子层内的平均宏观效应，对于宏观来说薄层的厚度趋于零，则通过电流的横截面变为横截线。面电流的密度定义为垂直通过单位横截线的大小，叫线电流密度,其方向即为该点电流的方向。,现在来看两介质交界面上的磁化电流分布情况。如图所示的回路中，有,即,根据矢量分析,则得到,又因为,故得到,3、介质中的方程组（equations in medium),由于介质极化、磁化，空间存在的电荷包括自由电荷和极化电荷，即,同时介质中的电流包含传导电流、极化电流、磁化电流。,即,因此，在介质存在的情况下，Maxwells equations应修改为：,若令,介质中Maxwell
24、s equations是包含有 这四个场量（12个参量），而方程数为8个，无法确定求方程组的解，需要更多的方程或约束关系。,4、电磁性质方程（electromagnetic property equs),自由电荷密度 自由电流密度,一般说来 ， ，其函数关系视介质的性质而定，因此必须引入一些关系来反映介质电磁性质，这些关系称为介质的电磁性质方程。,大多数物质在场强不是很强的情况下，介质对场的反应是线性的。尤其在各向同性的物质内，线性关系写成简单的比例关系：,各向同性 线性介质,式中 称为相对介电常数， 称为相对导磁系数。在导电物质中，有,其中 都是比例常数，通常分别被称为介质的极化率、介电常数
25、、磁化率和导磁系数。,将电磁性质方程与 的定义式比较，有,称为电导率，因此，电磁性质方程的,Remark:1.在高频情况下，场的变化很快，极化电荷和磁化电流跟不上场的变化，所以极化率和磁化率都将是场变化频率的函数， 。2.在铁电和铁磁物质或强场情况下， 之间将不再是齐次线性关系。,对于导电介质来说，有推广的欧姆定定律：因此，要注意电磁性质方程的适用范围。 非线性介质很有用，尤其是现在。,对于各向异性的线性介质来说，介电常数和导磁系数都是张量，场强和感应场强之间的关系推广为,1.5 电磁场边值关系Boundary Conditions of Electromagnetic Field,电动力学的
26、目标：给定自由的电荷、电流分布，如何确定特定区域V中的 和 。事实上， 满足Maxwells equations，求解上述问题需要知道 其边界行为。本节主要讨论两种不同介质的分界面上的形式，亦即电磁场边值关系，从而推广到一般边界。在外场作用下，介质分界面上一般出现一层束缚电荷和电流分布，这些电荷、电流的存在又使得界面两侧场量发生跃变，这种场量的,跃变与界面上电荷、电流的关系是本节的主要讨论内容。,匣的上底面ds2 在介质2中，下底面ds1 在介质1中，匣高为h，界面的法方向由介质1指向介质2。,1、法向分量的跃变 discontinuity of normal component,其中 是界面
27、上的自由电荷面密度。,a.计算D的通量（h0）,根据 的关系，不难得到,讨论：1) 对于两种电介质的分界面 ，则得,2) 只有导体与介质交界面上，存在 。 这时 、 在法线上都不连续，有跃变。,选择同样的曲面,即,由于 ，不难找到：,这就说明：在分界面上， 的法线分量是连续的， 的法线分量是不连续的，除非 。,b) 计算磁场B的通量,平行边界作一小扁回路，并令此回路与分界面正交且其长边与界面平行, 回路短边h0。,2、切向分量的跃变(discontinuity of tangential component),a）计算E的环量,而,故得,所以,t是分界面上 的单位矢量,在分界面上， 的切线分量
28、是连续的， 切线分量不连续。,亦即 但根据 ，有,B）计算磁场H的环量,只有在理想导体表面上， 才不为零。在一般介质界面上 矢量的切向分量是连续的。,适当选取t矢量，因此,综上所述，电磁场的边值关系为,由此可见，边值关系表示界面两侧的场与界面上电荷之间的制约关系，实质上，边值关系是边界上的场方程。由于实际问题往往含有几种介质以及导体等，因此，边值关系是十分重要的。,1.6 电磁场的能量和能流Energy and Energy Flow of Electromagnetic Field,电磁场是一种物质，具有一般物质运动的基本特征。本节先用电磁场运动的基本规律（Maxwells equation
29、s 和 Lorentz 力密度公式）讨论电磁现象中能量转换和守恒定律的表现形式，从而求出电磁场能量和能流。,1、电磁场的能量守恒和转化定律Laws of Conservation and Transform of Energy of Electromagnetic Field带电物体在外场中受电磁场的作用而引起的总机械能量的变化。这种能量的变化应该来源于电磁场的能量的变化，即通过电磁场对带电粒子做功而实现。假有一带电体，其电荷体密度为 ,在电磁场作用下运动。由于磁场作用在运动带电物体上的力总与带电物体位移的方向垂直，磁场对带电体不作功。所以只需求电场对带电体所做的功即可。,在dt 时间内，体积
30、元 中的电荷 发生的位移为 ， 为带电物体体积元 的运动速度。于是电磁场对 所做的功，根据Lorentz力密度公式，即,因此在dt时间内，电磁场对整个空间中传导电流（运动带电物体）所作的功为：,电磁场对带电物体做功增加了带电物体的机械能U机，故,现将式中的 用场量表示，根据Maxwells equations，可知,考虑对称性，因为 ，故,从而有,将此两式相减，从而得到,利用矢量场论公式,于是上式右边的第一、二项为,上式右边第三、四项为,从而得到,能流密度,取积分区域为整个空间，S在无穷远处，电荷、电流都集中在有限区域，无穷远处电磁场皆为零，故上式面积分项为零,令,则w为电磁能量密度，即有,该
31、式说明：体系的机械能不守恒，电磁能也不守恒，而两者之和才是一个守恒量。带电体和电磁场互相交换能量，它表示的是电磁场和带电体系的能量独立和转化定律。,线性各向同性介质,2、电磁场的能流密度Energy Flux Density of Electromagnetic Field当我们只考虑关系式,它的包面S也就不在无穷远处，S 上的电磁场皆不为零，所以,称为电磁场能流密度矢量，或玻印亭矢量,即(Poynting矢量）。,:表示体积V内带电体的机械能的增加;,:代表体积V内的电磁场能量的增加;,:解释为单位时间内经曲面S流出体积V中的电磁场能量。,由上述可以看到， 与w这两个量的存在，说明了电磁场不
32、仅有能量，还有能量在空间还在流动。,在电路中，通常人们注重电路方程（宏观量U，I）；没有从电磁场的观点看，忽视了电磁能量以场传播的实质。事实上，在稳恒电流或低频交流电的情况下，电磁能量也是以场传播的。,称为Poynting定理。,3、电磁场能量的传播Propagation of energy of electromagnetic field,先看电子运动的动能。导线内的电流密度为,电子运动速度之小，相应地动能也很小。因此电子运动的能量决不是供给负载上消耗的能量。,事实：通电瞬间完成。解释：不是电子的速度，而是电场建立的速度（光速）。,一般金属：,电磁能流是经由传输线附近的空间以光速流向用户；传
33、输线的作用是在电磁场的作用下产生较强的电流和电荷分布，从而使传输线附近的空间形成较强的电磁场和电磁能流的通道。,此外，电磁场在传输过程中，一部分能量进入导线内部变为焦耳热损耗。在负载上，能量流入电阻并被消耗。（见书本例题）,1.7 麦克斯韦方程组的自洽性和完备性 Self-Consistence and Completeness of Maxwells Equations,Maxwells equations作为讨论电磁场理论的出发点，它描述了电磁场这种物质运动形态的运动、变化的根本规律。现在，我们必须要知道，作为一组联立的方程，它们之间有无内在矛盾？在场的初始条件和边界条件下，这组方程的解答
34、是否唯一可靠？,1、麦克斯韦方程组的自洽性(Self-consistence of Maxwell s equations)所谓自洽性，就是要求从不同角度出发导出的四个方程彼此之间不相互矛盾。决定一个矢量，我们需要讨论他的散度和旋度。 Maxwell s equations涉及电场和磁场，我们选电场的方程，而认为磁场为已知量。,两边取散度，得到,若与 比较，可见它仅系前者的一个特例，因而不矛盾。,因左边要求为零，故,从连续性方程有,所以,验证了自洽性,所谓完备性，在给定电荷电流分布、初始条件、边界条件下，Maxwell s equations的解是唯一的。,2、麦克斯韦方程组的完备性 （completeness of Maxwell s equations),反证法：设在给定的条件下，方程组存在两组不等价的解，分别记为 、 和 、 。且令,显然，两组解都满足同一体系的Maxwells equations,两组方程的解都满足同样的初始条件和边界条件：,因此， 对应的电磁体系是无源、无初始扰动、边界上值恒为零的体系。,根据玻印亭定理：,再根据新的方程组和边界条件，则可见(对于真空情况),从而得到,由于初始条件t =0时， ，故积分常数为零。,由于被积函数是恒正的，要使上式成立，只能是,这样，我们就证明了Maxwell s equations解的唯一性，亦即完备性得证。,
