1、2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,全微分,全微分的定义 可微条件,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,一、全微分的定义,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,全增量的概念,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,4,全微分的定义,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,5,事实上,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,6,二、可微的条件,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,7,证,总成立,同理可得,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,8,一元函
2、数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,9,则,当 时，,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,10,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,证,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,11,（依偏导数的连续性）,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,12,同理,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,13,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,
3、叠加原理也适用于二元以上函数的情况,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,14,解,所求全微分,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,15,解,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,16,解,所求全微分,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,17,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,18,证,令,则,同理,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,19,不存在.,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,20,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,21,多元函数连续、可导、可微的关系,2007年8月,南京
4、航空航天大学 理学院 数学系,22,全微分在近似计算中的应用,也可写成,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,23,解,由公式得,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,24,、多元函数全微分的概念；,、多元函数全微分的求法；,、多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,三、小结,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,25,思考题,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,26,练 习 题,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,27,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,28,2007年8月,南京航空航天大学 理学院 数学系,29,练习题答案,
