1、 1 / 10有关二次函数考题解析(1) (本小题 10 分)已知二次函数 yax 2bx c . （）若 a 2，c 3，且二次函数的图象经过点（1，2），求 b的值（）若 a 2，bc 2，bc，且二次函数的图象经过点（p，2），求证：b0；（）若 a bc 0，abc，且二次函数的图象经过点（ q，a ），试问自变量 xq4 时，二次函数 yax 2bxc 所对应的函数值 y 是否大于 0？并证明你的结论。解析：（1）当 2a， 3c时，二次函数为 32bx 该函数的图象经过点 )2,1( )1(2b 解得 1 2 分（2）当 a， c时，二次函数为 bxy 该函数的图象经过点 )2,(
2、p 2bp，即 0b于是，p 为方程 02x的根 判别式 )8(又 cb， c 2，即 1，有 0b 0 5 分（3） 二次函数 cxay2的图象经过点 ),(aq 02cbqa 为方程 2的根于是，判别式 0)(4ca又 0cba 0)3()4(2 cabab又 ，且 b，知 ， c 2 / 10 0b q 为方程 02acbxa的根 24或b42当 qx时 cbay)4()(2 cbqaaq41682b545若 aq2则 abbaby 41548 2 0a 222， 5ab5442 0)415(415aay若 q2则 04154282 abbabay 当 4qx时，二次函数 cxy2所对应
3、的函数值 y 大于0 10 分(2) (本小题 10 分)已知抛物线 yax 2bx c 的定点坐标为(2,4). （）试用含 a 的代数式分别表示 b，c ；（）若直线 ykx4（k0）与 y 轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且 ，其中 O 为坐标原点，试用含 a 的代数式13ODEFSA表示 k；（）在（）的条件下，若线段 EF 的长 m 满足 ，试确325定 a 的取值范围。解：（I）由已知，可设抛物线的顶点式为 )0(4)(2axay3 / 10即 42axay2 分4cb，（II）设 E（ ）、F（ ）1y， yx，由方程组 42aaxk消去 y，得 （*）0)4(akx21又
4、413ODFEOEFDSS，。 。即4121x|12x由，知 x1 与 x2 同号，x 2=4x1 5 分由、，得 x1=1，x 2=4；x 1=1，x 2=4将上面数值代入，得 54ak解得 k=a 或 k=9a经验证，方程（*）的判别式0 成立。k=a 或 k=9a 7 分（III ）由勾股定理，得 21212 )()(yxm而 9)(21x由 ，得442kxyky， 212219)()( kxky，即 8 分)(22m23m由已知 53，即122k412k或 4 / 10当 k=a 时，有 1a2 或 2a1当 k= 9a 时，有 192 或29a1即 或 10 分912a2a3. （本
5、小题10分）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，且满足 ，xcbx2 21,x01x。12（1）试证明 ；0c（2）证明 ；)2(2b（3）对于二次函数 ，若自变量取值为 ，其对应的函数值cxy0x为 ，则当 时，试比较 与 的大小。0y10x01解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即 )(2cbx 是该方程的两个实数根21, ， （1 分）)1(xcx2而 （2 分）0,021（2） （3 分）12114)()( xxx 1424)(2cbcb （4 分）2于是 ，即42cb0c （5 分）)(（3）当 时，有10x10xy ，cby202cb （7 分）)(101 xx )(1
6、010bx 0x5 / 10又 ，12x12x12x )(1b)(b于是 （9 分）0x10x010bx由于 ，101x ，即)(bx10xy 当 时，有 （10 分）10104（本小题 10 分）已知抛物线 cbxay23，（）若 1， ，求该抛物线与 x轴公共点的坐标；（）若 ，且当 1x时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，求 c的取值范围；（）若 0cba，且 1x时，对应的 01y； 12x时，对应的 02y，试判断当 10x时，抛物线与 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由解：（）当 ba， 1c时，抛物线为 123xy，方程 0123x的两个根为 x， 12 该抛
7、物线与 轴公共点的坐标是 0， 和 3， 2 分（）当 1ba时，抛物线为 cxy2，且与 x轴有公共点对于方程 023cx，判别式 140，有 31 3 分当 c时，由方程 032x，解得 2x此时抛物线为 13y与 轴只有一个公共点 103， 4 分当 1c时， 1x时， cy1231，6 / 1012x时， cy523由已知 x时，该抛物线与 x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为3x，应有 120.y ， 即 05.c ，解得 5c 综上， 31或 1 6 分（）对于二次函数 cbxay23，由已知 01x时， 01c； 1时， 023cbay，又 cba， cbaa)(23 于是 2
8、而 cb， 0，即 c 0c 7 分关于 x的一元二次方程 023cbxa的判别式 )(41)(41242 acab， 抛物线 bxy3与 轴有两个公共点，顶点在 x轴下方 8 分又该抛物线的对称轴 a3，由 0cba， ， 02b，得 2， 31a又由已知 01x时， 1y； 12x时， 02y，观察图象，可知在 范围内，该抛物线与 轴有两个公共点 10 分5（本小题 10 分）已知函数 21yxbxc， ， ， 为方程 120y的两个根，点MT，在函数 2的图象上Oyx17 / 10（）若 132， ，求函数 2y的解析式；（）在（）的条件下，若函数 1与 2的图象的两个交点为 AB， ，
9、当ABM的面积为 1时，求 t的值；（）若 0，当 0时，试确定 T， ， 三者之间的大小关系，并说明理由解（） 21 120yxbxcy， ， ，20xbc.1 分将 3， 分别代入 2xc，得211100bcb，解得 6， .函数 2y的解析式为 2y516x 3 分（）由已知，得 AB，设 ABM 的高为 h，3121ABMSh ，即 124.根据题意， tT，由 216t，得 25164t.当 254t时，解得 12t；当 216t时，解得 345521tt， .t的值为 52， ， .6 分（）由已知，得 222bcbcTtbc， ，.8 / 10Ttb， 22cc，化简得 10b.
10、01，得 0， .有 1bb， .又 1t，t， t，当 0a 时， T ；当 t 时， ；当 1t时， T.10 分 （6）（本小题 10 分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于点 、 （点2yxbcxAB在点 的左侧），与 轴的正半轴交于点 ，顶点为 .AByCE（）若 ， ，求此时抛物线顶点 的坐标；2b3c（ ） 将 （ ） 中 的 抛 物 线 向 下 平 移 ， 若 平 移 后 ， 在 四 边 形 ABEC中 满 足SBCE = SABC ，求此时直线 的解析式；BC（）将（）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形 ABEC 中满足SBCE = 2SAOC ，且顶点 恰
11、好落在直线 上，求此时抛物线的解析式.E43yx解：（）当 ， 时，抛物线的解析式为 ，即b3c 23x.2(1)4yx 抛物线顶点 的坐标为（1，4） E2 分（）将（）中的抛物线向下平移，则顶点 在对称轴 上，有 ，E1x2b 抛物线的解析式为 （ ）2yxc0 此时，抛物线与 轴的交点为 ，顶点为 ( )C，1( )c，9 / 10 方程 的两个根为 ， ，20xc1xc21xc 此时，抛物线与 轴的交点为 ， x0( )A0( )B如图，过点 作 EFCB 与 轴交于点 ，连接 ，则 SBCE = SEFCBCF S BCE = SABC ， S BCF = SABC 21BFAc设对
12、称轴 与 轴交于点 ，xD则 32Dc由 EFCB，得 EFCBO Rt EDFRtCOB有 D 结合题意，解得 131cc54c 点 ， 54(0 )C2( 0)B，设直线 的解析式为 ，则ymxn解得 5,40.2nm1,25.4n 直线 的解析式为 . BC12yx6 分（）根据题意，设抛物线的顶点为 ，（ ， ）则抛物线的( )Ehk，0k解析式为 ，2()yxhk此时，抛物线与 轴的交点为 ，y2(0 )Chk，与 轴的交点为 ， .（ ）x( )Ahk B0h过点 作 EFCB 与 轴交于点 ，连接 ，则 SBCE = SBCF .由 SExFBCE = 2SAOC ，EyxFBDA OC 1x10 / 10 S BCF = 2SAOC . 得 .设该抛物线的对称轴与 轴2()BFAOkhx交于点 .D则 .132FAkh于是，由 RtEDFRtCOB，有 EDCFOB ，即 23khk250hk结合题意，解得 1 点 在直线 上，有 ( )Ehk，43yx43kh 由，结合题意，解得 1有 ， 1k2h 抛物线的解析式为 10 分234yx
