1、第 1 页 共 22 页高考仿真文科数学模拟测考卷 2第 4 页 共 22 页(2)若 a2-c2=2b,且 sinB=4cosAsinC,求 b 的值.18对甲、乙两名同学的 8 次数学测试的成绩(满分 60 分)进行统计分析,记录的成绩如下:甲:52,51,49,48,54,48,49,49乙:60,53,50,45,56,48,43,45(1)画出两名同学成绩的茎叶图,并分别求两名同学成绩的平均值和方差,对两名同学的成绩进行统计分析;(2)现从甲同学的成绩中抽取一数据 x(x50),从乙同学的成绩中抽取一数据 y(y0,则 00,b0)的两条渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则双曲线的
2、离心率为A. B. C.2 D.第 8 页 共 22 页【答案】A【解析】本题考查双曲线的基础知识,考查运算求解能力及灵活变通能力.解析几何是高考的重点,而双曲线在选择、填空题中是必考内容之一,双曲线的复习以基础为主,但要注意其综合性.双曲线的渐近线为 y=x,代入抛物线方程得,x 2x+1=0, =-4=0,故 e2=+1=5,e =,故选 A.6在长度为 10 的线段 AB 上任取一点 C(异于 A,B),则以 AC,BC 为半径的两圆面积之和小于 58 的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查几何概型、一元二次不等式的解法等基础知识,考查考生的运算求解能力.设 AC=x,
3、则 BC=10-x,0b0)及圆 O:x2+y2=a2,如图过点 B(0,a)与椭圆相切的直线 l 交圆 O 于点 A,若AOB =60,则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的基础知识,考查直线与圆、椭圆的位置关系等,突出对转化能力、运算能力等的考查.求解时将直线方程与椭圆方程联立,确定相切时直线的斜率,进而求出直线与圆的交点坐标,利用向量求角的余弦值,得出离心率,也可利用直线 l 的斜率与离心率 e 的关系数形结合求解.由已知,显然直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y=kx+a,则由 得(b 2+a2k2)x2+2a3kx+a2c2=0,第
4、12 页 共 22 页=4 a6k2-4a2c2(b2+a2k2)=0,结合图形解得 k=,即直线 l 的方程为 y=x+a.通解 y=x+a 与 x2+y2=a2 联立得xA=,yA=,由于 AOB=60,因而 cosAOB=,即,得 e=,故选 A.优解 故直线 l 的斜率为=e ,由于AOB=60,设 AB 与 x 轴交于点 C,则在 RtOBC中,OCB=30,因而 e=tanOCB=,故选 A.12已知 f(x)是定义在(0,)上的函数,其导函数为 f(x),若恒有 f(x)f() B.f(1)f() D.f()0,g(x)在(0,)上为增函数,g()g(),也就是 ,f()x2),
5、使得 f(x1)-f(x2)4(x1-x2)成立,则实数 a 的取值范围为 . 【答案】(- , 【解析】本题考查运用导数知识解决函数问题,考查考生的基本运算能力与分析、解决问题的能力.求解时构造函数,求得函数 g(x)的最大值,即可求得 a 的取值范围.由题意可得,f(x )=alnx+x2+2x+1,f(x)=+2(x+1),由题意知,存在 x0,使得 f(x)4 成立,即存在 x0,使得 a-2x2+2x 成立,设 g(x)=-2x2+2x=-2(x-)2+,其最大值为,因而 a.15已知过球面上三点 A,B,C 的平面与球心的距离为球半径的一半,且ABC 的三边长分别为 3,4,5,则
6、该球的表面积为 .【答案】【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算能力,高考中对于与球相关知识的考查,往往结合球的内接柱、锥等几何体,考查球的表面积或体积的求解.设球的半径为 R,由题意可知,R 2=+,解得 R2=,则球的表面积为 4R2=.第 14 页 共 22 页16已知数列a n的前 n 项和为 Sn=n2,若 a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+a2n-1a2n-a2na2n+1tn2 对任意的 nN *恒成立,则 t 的最大值为 .【答案】-12【解析】本题考查数列的知识,立意新颖,突出对考生综合能力的考查.由已知 Sn=n2 可得,n=1 时 ,a1=
7、1,n2 时,a n=Sn-Sn-1=2n-1,a1=1 适合上式,因而数列 an是公差为 2 的等差数列,a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+a2n-1a2n-a2na2n+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+a2n(a2n-1-a2n+1)=-4(a2+a4+a2n)=-4=-8n2-4n.若对任意的 nN *不等式-8n 2-4ntn2 恒成立,则 t-8 恒成立,因而 t-12,t 的最大值为-12.三、解答题：共 8 题17已知在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 c 为最长边.(1)若 sin2A+sin2B=1,试判断ABC 的形状;(2)
8、若 a2-c2=2b,且 sinB=4cosAsinC,求 b 的值.【答案】(1)由已知 ,sin2A+sin2B=1,sin 2A=1-sin2B=cos2B,由于 c 为最长边 ,A,B 均为锐角,则 sinA=cosB.sinA=sin( -B),A =-B,即 A+B=.故ABC 为直角三角形.(2)由已知 sinB=4cosAsinC,结合正弦定理和余弦定理得 b=c,即 b2=2(a2-c2),又 a2-c2=2b,b 2=4b,又 b0,b=4.第 15 页 共 22 页【解析】本题考查正、余弦定理,同角三角函数之间的关系等知识.第(1)问通过同角三角函数的关系式、诱导公式判断
9、三角形的形状;第(2) 问利用正、余弦定理求b 的值.【备注】正、余弦定理,三角形的面积公式是解三角形的必要工具,求解三角形问题时常常需要利用正、余弦定理实现边角转换,在边角转换过程中,一定不要省略步骤,否则容易造成不必要的错误.另一方面,要注意三角公式中的变式应用,如sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)等.18对甲、乙两名同学的 8 次数学测试的成绩(满分 60 分)进行统计分析,记录的成绩如下:甲:52,51,49,48,54,48,49,49乙:60,53
10、,50,45,56,48,43,45(1)画出两名同学成绩的茎叶图,并分别求两名同学成绩的平均值和方差,对两名同学的成绩进行统计分析;(2)现从甲同学的成绩中抽取一数据 x(x50),从乙同学的成绩中抽取一数据 y(y0,f(x )为增函数,当 x(e, +)时,f(x)0,所以 (t)=2lnt-+1 在其定义域上单调递增,即 h(t)=2lnt-+1 单调递增.又 h(1)=0,所以当 t(0,1) 时,h (t)0,h(t)单调递增,所以 h(t)的最小值为 h(1)=0,所以(2 t-1)lnt-t+1=0 仅有一解 t=1,此时 a=1,切点为 M(1,0).【解析】本题主要考查利用
11、导数研究曲线的切线,函数的单调性、极值等,考查考生的运算求解能力.第 20 页 共 22 页【备注】函数的单调性、极值、最值的应用是高考命题的重点与热点,导数与不等式等结合的题目成为整套试卷的压轴题,并且其难度不会再加大,会保持相对平稳,因此猜想 2016 年高考对函数单调性、极值、最值等仍会重点考查,而且已知条件中函数表达式的结构不会太复杂.22如图,在ABC 中,BAC 的平分线交 BC 于 D,交 ABC 的外接圆于 E,延长 AC交DCE 的外接圆于 F.(1)求证:BD=DF;(2)若 AD=3,AE=5,求 EF 的长.【答案】(1)在 ABC 的外接圆中,ABC=AEC,在DEC
12、 的外接圆中,DEC=DFC ,因而ABC =DFC.又 AD 是BAC 的平分线,BAD =CAD,又 AD=AD,ADBADF,DB=DF.(2)由(1),同理得BAD= BCE,DCE= DFE,BAD=CAD,CAD= DFE,FDEAFE,因而,即 EF2=AEDE=10,即 EF=.【解析】高考对本部分内容的考查主要围绕圆的切线问题进行,主要考查考生的推理能力、逻辑思维能力.灵活运用与圆有关的定理、几何性质是解题的关键.第 21 页 共 22 页23已知曲线 C 的极坐标方程为 2-2cos(+)-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴 ,建立平面直角坐标系
13、xOy.(1)若直线 l 过原点 ,且被曲线 C 截得的弦长最小,求直线 l 的直角坐标方程;(2)若 M 是曲线 C 上的动点,且点 M 的直角坐标为(x,y),求 x+y 的最大值.【答案】(1) 2-2cos(+)-2=0,即 2-2cos+2sin-2=0,将代入得曲线 C 的直角坐标方程为(x-1) 2+(y+1)2=4,圆心 C(1,-1),若直线 l 被曲线 C 截得的弦长最小,则直线 l 与 OC 垂直,即 klkOC=-1,因而 kl=1,故直线 l 的直角坐标方程为 y=x.(2)因为 M 是曲线 C 上的动点,因而利用圆的参数方程可设( 为参数), 则x+y=2sin+2
14、cos=2sin(+),当 sin(+)=1 时,x+y 取得最大值 2.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力.24已知函数 f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.(1)当 a=-1 时,解不等式 f(x)g(x);(2)若存在 x0R,使得 f(x0)g(x0),求实数 a 的取值范围 .【答案】(1)当 a=-1 时,不等式 f(x)g(x),即|x+1|2|x|-1,从而,即 x-1,或,即-1x- ,或,即 x2.从而不等式 f(x)g(x)的解集为x|x-或 x2.第 22 页 共 22 页(2)存在 x0R,使得 f(x0)g(x0),即存在 x0R,使得|x 0+1|x0|+,即存在 x0R ,使得 |x0+1|-|x0|.设 h(x)=|x+1|-|x|=,则 h(x)的最大值为 1,因而1,即 a2.【解析】本题考查绝对值不等式的求解,分类讨论很关键,第(2)问是本题的难点,是存在性问题,需要考生将该问题与恒成立问题加以区分,虽然都是转化为求最值问题,但有根本的区别.
