1、第 1 页 共 21 页高考仿真文科数学模拟测考卷 1(2)求 ABC 的面积的最大值.18某县共有 90 个农村淘宝服务网点,随机抽取 6 个网点统计其元旦期间的网购金额(单位 :万元) 的茎叶图如图所示 ,其中茎为十位数,叶为个位数.第 4 页 共 21 页(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元 )不小于 18 的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这 90 个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个作网购商品的调查,求恰有 1 个网点是优秀服务网点的概率.19在多面体 ABCDEF 中 ,底面
2、 ABCD 是梯形,四边形 ADEF 是正方形,ABDC,AB=AD =1,CD=2,AC=EC=.(1)求证:平面 EBC平面 EBD;(2)设 M 为线段 EC 上一点 ,且 3EM=EC,试问在线段 BC 上是否存在一点 T,使得MT平面 BDE,若存在,试指出点 T 的位置;若不存在,请说明理由.20设 F1、F 2 分别是椭圆 E:+=1(b0)的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点,且的最大值为 1.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设直线 l:x=ky-1 与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且AOB 为锐角(O 为坐标原点),求 k 的取值范围 .21已知函数 f(x)=ax
3、2-lnx+1(aR).第 5 页 共 21 页(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)求证:当 a=1 时,f(x)x 2+在(1,+ )上恒成立.22如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,延长 BA 和 CD 相交于点 P,BD 为O 的直径,过点 C 作 CEBD 于点 E,BE=,AD=,.(1)求 BC 的值 ;(2)求 sinBDC 的值.23在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为( 为参数),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (cos+ksin)=-2(k 为实数).(1)判断曲线 C1 与直线 l 的位置关系,并说
4、明理由;(2)若曲线 C1 和直线 l 相交于 A,B 两点,且|AB|=,求直线 l 的斜率.24设函数 f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)解不等式 f(x)0;(2)若 f(x)+2|x-1|m 对任意的实数 x 均成立,求 m 的取值范围.第 6 页 共 21 页参考答案一、选择题：共 12 题1已知集合 A=x|x2+x-2=0,B=x|-x2+x=0,则 AB=A.-1,0 B.0,1 C.1 D.0【答案】C【解析】本题考查一元二次方程的解、集合的交运算.先求出两个集合 A,B,再利用集合知识求解即可.因为 A=-2,1,B=0,1,所以 AB=1.选 C.2已知(a+b i
5、)(1-2i)=5(i 为虚数单位,a,bR),则 a+b 的值为A.-1 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】本题主要考查复数的乘法运算、复数相等的概念.解题时,先利用复数的乘法运算对已知条件进行运算,然后根据复数相等的概念求出 a,b 即可求解.因为(a+bi)(1-2i)=a+2b+(b-2a)i=5,故, 解得 a=1,b=2,故 a+b=3,选 D.3高三某班有学生 56 人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号、33 号、47 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为A.13 B.17 C.19 D.21【答案】C【解析】本题主要
6、考查系统抽样在实际问题中的应用,考查考生对基础知识的掌握情况.因为 47-33=14,所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5+14=19.4“x1” 是“log 2(x-1)1”是“log 2(x-1)0,-0,所以,又-0),若点 Q(m,n)在直线 y=2x+上,则(a-m) 2+(b-n)2的最小值为A. B. C.9 D.3【答案】A【解析】本题主要考查导数的几何意义、点到直线的距离公式,考查考生构造函数解决问题的意识、数据处理能力等,属于中上等难度题.将问题转化为函数图象上的动点与直线上的动点的距离问题,可用与已知直线平行的切线求解.由题意知,y=2x+ 表示斜率为 2
7、 的直线,变量 a,b 满足 b=-a2+3lna,设函数 f(x)=-x2+3lnx,则 f(x)=-x+,设当切线斜率为 2 时,函数 f(x)图象的切点的横坐标为 x0,则-x0+=2,x 0=1,此时切点坐标为 (1,-),切点到直线 y=2x+的距离 d=,(a-m) 2+(b-n)2 的最小值为 d2=.12已知双曲线 C:-4y2=1(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线E:y2=2px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 M 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为A.+2
8、B.+1 C.-2 D.-1【答案】D【解析】本题综合考查双曲线的方程、渐近线,抛物线的定义、性质等,考查考生分析问题、解决问题的能力.-4y 2=1 的右顶点坐标为(a,0),一条渐近线为 x-2ay=0.由点到直线的距离公式得 d=,解得 a=或 a=-(舍去),故双曲线的方程为-4y 2=1.因为c=1,故双曲线的右焦点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),所以 p=2,x=-1 是抛物线的准线,因为点 M 到 y 轴的距离为 d1,所以到准线的距离为 d1+1,设抛物线的焦点为 F,则第 11 页 共 21 页d1+1=|MF|,所以 d1+d2=d1+1+d2-1=|MF|+d2
9、-1,焦点到直线 l 的距离 d3=,而|MF|+d2d3=,所以 d1+d2=|MF|+d2-1-1,选 D.二、填空题：共 4 题13设向量 a,b 的夹角为 60,|a|=1,|b|=2,则( -3a+b)(a+2b)= . 【答案】0【解析】本题主要考查向量的模与夹角、向量的数量积等,考查考生的运算能力.因为向量 a,b 的夹角为 60,|a|=1,|b|=2,所以 ab=|a|b|cos 60=12=1,则(-3a+b)(a+2b)=-3a2-6ab+ab+2b2=-3-5+8=0.14已知在平面直角坐标系中,O(0,0),A(2,4), B(6,2),则三角形 OAB 的外接圆的方
10、程是 . 【答案】x 2+y2-6x-2y=0【解析】本题主要考查三角形的外接圆等知识.有两种方法解决,一是待定系数法,设出圆的一般方程,求出 D,E,F 即可,二是先判断出三角形 OAB 为直角三角形,再利用直角三角形的性质求出其外接圆的方程.解法一 设三角形 OAB 的外接圆方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意可得,解得,故三角形 OAB 的外接圆的方程是 x2+y2-6x-2y=0.解法二 因为直线 OA 的斜率 kOA=2,直线 AB 的斜率 kAB=-,kABkOA=2(-)=-1,所以三角形 OAB 是直角三角形 ,点 A 为直角顶点,OB 为斜边,因为|OB|=,故外接
11、圆的半径 r=,又 OB 的中点坐标为 (3,1),故三角形 OAB 的外接圆的标准方程为( x-3)2+(y-1)2=10,即 x2+y2-6x-2y=0.15已知棱长均为 a 的正三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在半径为的球面上,则a 的值为 . 【答案】1第 12 页 共 21 页【解析】本题主要考查球的内接三棱柱等,考查考生的空间想象能力与运算能力.设 O 是球心,D 是等边三角形 A1B1C1 的中心,则 OA1=,因为正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为 a,所以 A1D=aa,OD=,故 A1D2+OD2=(a)2+()2=()2,得 a2=,即 a2=1,得
12、a=1.16已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=2,且 S1,S2+2,S3 成等差数列,记数列an(2n+1)的前 n 项和为 Tn,则 Tn= . 【答案】2-(1-2n)2 n+1【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求和.利用已知条件可以求出a n的通项公式 ,再利用错位相减法求和即可 .设数列 an的公比为 q,由可得 4+4q+4=2+2+2q+2q2,即 q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去 ),a n=2n(nN *),an(2n+1)=(2n+1)2n,故 Tn=32+522+(2n+1)2n,则2Tn=322+523+(2n+1)2
13、n+1,故-T n=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1=6+2-(2n+1)2n+1=-2+(1-2n)2n+1,故 Tn=2-(1-2n)2n+1.三、解答题：共 8 题17已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,.(1)求角 A 的大小;(2)求 ABC 的面积的最大值.【答案】(1)根据正弦定理,由可得,b 2-a2=bc-c2,即 b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得 cosA=,A(0, ),A=.(2)由 a=2 及余弦定理可得 cosA=,第 13 页 共 21 页故 b2+c2=bc+4.又 bc+4=b2+c22bc,bc 4
14、+2,当且仅当 b=c=时等号成立.故所求ABC 的面积的最大值为 (4+2)+1.【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,基本不等式及三角形的面积公式等,考查了考生的计算能力,属于中档题.(1)利用正弦定理与余弦定理即可得出;(2)先利用余弦定理、基本不等式求出 bc 的最大值,再利用三角形的面积计算公式即可得出.【备注】解三角形的常见类型和方法:(1)已知两角和一边,首先根据内角和求出第三角,再用正弦定理、余弦定理求解相关问题;(2)已知两边和夹角,先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理求另两角,必有一解;(3)已知三边可先应用余弦定理求对应的三个角,再求解相关问题.18某县共有 90
15、 个农村淘宝服务网点,随机抽取 6 个网点统计其元旦期间的网购金额(单位 :万元) 的茎叶图如图所示 ,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元 )不小于 18 的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这 90 个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个作网购商品的调查,求恰有 1 个网点是优秀服务网点的概率.【答案】(1)由题意知 ,样本数据的平均数=12.(2)样本中优秀服务网点有 2 个,频率为,由此估计这 90 个服务网点中有 90=30 个优秀服务网点.(3)由于样
16、本中优秀服务网点有 2 个,分别记为 a1,a2,非优秀服务网点有 4 个,分别记为 b1,b2,b3,b4,从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个的可能情况有:(a 1,a2),(a1,b1),第 14 页 共 21 页(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共 15 种,记“恰有 1 个是优秀服务网点” 为事件 M,则事件 M 包含的可能情况有:(a 1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,
17、b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共 8 种,故所求概率 P(M)=.【解析】本题主要考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识.(1)先根据茎叶图读出数据,再利用公式求解即可;(2)利用样本估计总体的知识即可得出;(3) 先利用列举法将满足条件的情况逐一列出来,再利用古典概型的概率计算公式解答.【备注】概率与统计解答题是近几年新课标高考的热点考题,利用茎叶图解答实际问题是当今命题的热点与亮点.这类题往往借助于熟悉的知识点,结合实际生活中比较新颖的问题进行命题,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,往往对分层抽样、系统抽样比较偏重,考生只有正确处
18、理茎叶图,读准数据,掌握古典概型的概率的计算,考试时才不会失分.19在多面体 ABCDEF 中 ,底面 ABCD 是梯形,四边形 ADEF 是正方形,ABDC,AB=AD =1,CD=2,AC=EC=.(1)求证:平面 EBC平面 EBD;(2)设 M 为线段 EC 上一点 ,且 3EM=EC,试问在线段 BC 上是否存在一点 T,使得MT平面 BDE,若存在,试指出点 T 的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)因为 AD=1,CD=2,AC=,所以 AD2+CD2=AC2,所以ADC 为直角三角形 ,且 ADDC.同理,因为 ED=1,CD=2,EC=,所以 ED2+CD2=EC2,所
19、以EDC 为直角三角形 ,且 EDDC .第 15 页 共 21 页又四边形 ADEF 是正方形,所以 ADDE,又 ADDC=D,所以 ED平面 ABCD.又 BC平面 ABCD,所以 EDBC.在梯形 ABCD 中,过点 B 作 BHCD 于点 H,故四边形 ABHD 是正方形,所以ADB =45,BD=.在 RtBCH 中,BH =CH=1,所以 BC=,故 BD2+BC2=DC2,所以 BCBD.因为 BDED=D,BD平面 EBD,ED平面 EBD,所以 BC平面 EBD,又 BC平面 EBC,所以平面 EBC平面 EBD.(2)在线段 BC 上存在一点 T,使得 MT平面 BDE,
20、此时 3BT=BC.连接 MT,在EBC 中,因为,所以 MTEB.又 MT平面 BDE,EB平面 BDE,所以 MT平面 BDE.第 16 页 共 21 页【解析】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系等,考查考生的推理论证能力、空间想象能力及运算求解能力.(1)先利用勾股定理证明ADC、EDC 是直角三角形,最后证明平面 EBC平面 EBD;(2)是探究性问题,先利用分析法找到点 T,再进行证明.【备注】与平行、垂直有关的探究性问题是高考常考题型之一,解答的基本思路是先根据条件猜测点的位置,再给出证明.在探究点的存在性问题时,点多为中点、三等分点等特殊点,有时也
21、需结合平面几何知识找点.20设 F1、F 2 分别是椭圆 E:+=1(b0)的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点,且的最大值为 1.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设直线 l:x=ky-1 与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且AOB 为锐角(O 为坐标原点),求 k 的取值范围 .【答案】(1)解法一 易知 a=2,c=,b20,故 y1+y2=,y1y2=.第 17 页 共 21 页又AOB 为锐角 ,故=x 1x2+y1y20,又 x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=k2y1y2-k(y1+y2)+1,所以 x1x2+y1y2=(1+k2)y1y2-k(y1+y2)+1=(1+
22、k2)-+1=0,所以 k20,将 x1=ky1-1,x2=ky2-1 代入求得 x1x2+y1y2 关于 k 的表达式,解不等式求出k 的取值范围 .【备注】每年高考试题都有一道解析几何的解答题,此题难度中等偏上,综合考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题和直线与圆锥曲线的位置关系等知识.由于解析几何解答题的综合性较强,对考生的能力要求较高,所以解答这类问题时,要注意观察问题的个性特征,熟练运用圆锥曲线的几何性质,以减少解题过程中的运算量.21已知函数 f(x)=ax2-lnx+1(aR).(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)求证:当 a=1
23、时,f(x)x 2+在(1,+ )上恒成立.【答案】(1)由于 f(x)=ax2-lnx+1(aR),故 f(x)=2ax-(x0).当 a0 时,f(x)0 时,令 f(x)=0,得 x=.当 x 变化时,f(x ),f(x)随 x 的变化情况如下表:x (0,) (,+)f(x) - 0 +f(x) 极小值 第 18 页 共 21 页由表可知,f( x)在(0,)上是单调递减函数,在(,+)上是单调递增函数.综上所述,当 a0 时,f(x )的单调递减区间为(0, +),无单调递增区间;当 a0 时,f(x )的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+ ).(2)当 a=1 时, f(
24、x)=x2-lnx+1,设 F(x)=x2-lnx+1-x2-x2-lnx-,则 F(x)=x-0 在(1,+)上恒成立 ,F(x)在(1, +)上为增函数,且 F(1)=0,即 F(x)0 在(1,+) 上恒成立,当 a=1 时,f (x)x2+在(1,+) 上恒成立.【解析】本题考查运用导数知识求函数的单调区间及不等式的恒成立问题,涉及分类讨论、构造法等思想方法.第(1)问是求函数的单调区间问题,对 f(x)求导,分 a0和 a0 进行讨论 ,进而求出单调区间;第(2) 问通过构造函数,利用函数的单调性进行证明.【备注】函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点与热点,函数与不等式等结合的题
25、目往往成为考卷的压轴题,因而预计 2016 年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查,但已知条件中函数表达式的结构形式不会太复杂,因而本题试图在函数表达式较简单的基础上加大问题设置上的难度,在不增加考生题意理解难度的基础上,力争考查更多的知识.22如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,延长 BA 和 CD 相交于点 P,BD 为O 的直径,过点 C 作 CEBD 于点 E,BE=,AD=,.(1)求 BC 的值 ;第 19 页 共 21 页(2)求 sinBDC 的值.【答案】(1)因为四边形 ABCD 是O 的内接四边形,所以PAD=PCB,又P=P,所以 PADPCB.设
26、PA=a,PD=b,则有,即,故 b=a,所以.又 AD=,所以 BC=4.(2)由 BD 为O 的直径可知 ,BCCD,又 CEBD,所以在 RtBCD 中,由射影定理知,BC 2=BEBD,故 42=BD,解得 BD=3.故 sin BDC=.【解析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形相似、射影定理等.对于第(1)问要先得到PAD 与PCB 相似,再利用已知条件得到比例关系式,即可求出 BC 的值;对于第(2)问要充分利用射影定理求出 BD 的值,进而求解 sinBDC 的值.【备注】与圆有关的证明或计算问题是高考考查的重点内容,它主要以圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等作为证明角相等的
27、依据,以圆的切割线定理、相交弦定理作为证明线段成比例的依据,以圆内接四边形的有关性质作为证明四点共圆的依据.求解时要依据图形,合理推理,准确转化,必要时需要借助辅助线将问题转化.23在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为( 为参数),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (cos+ksin)=-2(k 为实数).(1)判断曲线 C1 与直线 l 的位置关系,并说明理由;(2)若曲线 C1 和直线 l 相交于 A,B 两点,且|AB|=,求直线 l 的斜率.【答案】(1)由曲线 C1 的参数方程可得其普通方程为(x+ 1)2+y2=1.由 (
28、cos+ksin)=-2 可得直线 l 的直角坐标方程为 x+ky+2=0.因为圆心(- 1,0)到直线 l 的距离 d=1,所以直线与圆相交或相切,当 k=0 时,直线 l 与曲线 C1 相切;第 20 页 共 21 页当 k0 时,直线 l 与曲线 C1 相交.(2)由于曲线 C1 和直线 l 相交于 A,B 两点,且|AB|=,故圆心到直线 l 的距离 d=,解得 k=1,所以直线 l 的斜率为1.【解析】本题考查曲线的参数方程及直线的极坐标方程,考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等.【备注】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式
29、(三角的或代数的)消元法; 极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是用好公式:.24设函数 f(x)=|x+3|-|x-1|.(1)解不等式 f(x)0;(2)若 f(x)+2|x-1|m 对任意的实数 x 均成立,求 m 的取值范围.【答案】(1)通解 f(x)0 等价于|x+3|x-1|,当 x1 时,|x+3| |x-1|等价于 x+3x-1,即 3-1,不等式恒成立,故 x1;当-3x1 时,|x+3| |x-1|等价于 x+31-x,解得 x-1,故-1x 1;当 x-3 时,|x+3| |x-1|等价于-x- 31-x,即-31,无解.综上,原不等式的解集为x|x-1.优解 f(x)0 等价于|x+3|x-1| ,即( x+3)2(x-1)2,化简得 8x-8,解得 x-1,即原不等式的解集为x|x-1.(2)f(x)+2|x-1|=|x+3|-|x-1|+2|x-1|=|x+3|+|x-1|x+3-(x-1)|=4,要使 f(x)+2|x-1|m 对任意的实数 x 均成立 ,则f(x)+ 2|x-1|minm,所以 m4.【解析】第(1)问主要考查绝对值不等式的解法,可以利用分类讨论思想进行解答,也可以两边先平方然后化简求解;第(2)问主要考查绝对值不等式的恒成立问题,利用绝对值不等式的意义求出最小值即可解决.第 21 页 共 21 页
