1、1 多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 多元函数 的极值与 拉格朗日乘数 法 2 一、多元函数的极值和最值 1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值 的定义 : 是在一点 附近 将函数值比大小 . 定义 点 P0为函数的 极大值点 . 类似可定义极小值点和极小值 . 设在点 P0的某个邻域 , 0( ) ( ) ,f P f P则称 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 3 注 函数的极大值与极小值统称为函数的 函数的极大值点与极小值点统称为函数的 多元函数的极值也是 局部的 , 一般来说 :极大值未必是函数的最大值 .极小值未必是函数的最小值 . 有时 , 极值 . 极值点 . 内的值
2、比较 . 是与 P0的邻域 极小值可能比极大值还大 . 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 4 xyzO例 22 43 yxz 函数 存在极值 , 在 (0,0)点取极小值 . 椭圆抛物面 在简单的情形下是 容易判断的 . 函数 (也是最小值 ). 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 5 2.极值的必要条件 证 定理 1 (必要条件 ) ),(),( 00 yxyxfz 在点设函数 具有 处且在点 ),( 00 yx 则它在该 点的偏导数必然为零 : ,0),( 00 yxf x .0),( 00 yxf y,偏导数 ,有极值处在点 ),(),( 00 yxyxfz 有极大值 , 不妨设 的某邻域内任
3、意则对于 ),( 00 yx ),(),( 00 yxyx 都有 ),(),( 00 yxfyxf 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 , 00 时故当 xxyy ),(),( 000 yxfyxf 有说明一元函数 处在 00 ),( xxyxf 有极大值 , 必有 ;0),( 00 yxf x .0),( 00 yxf y类似地可证 6 推广 如果三元函数 ),(),( 000 zyxPzyxfu 在点具有偏导数 , 则它在 ),( 000 zyxP 有极值的 必要条件 为 ,0),( 000 zyxf x ,0),( 000 zyxf y.0),( 000 zyxf z多元函数的极值与拉格朗日
4、乘数法 7 3.极值的充分条件 定理 2 (充分条件 ) ),(),( 00 yxyxfz 在点设函数 的某邻域内连续 , 有一阶及二阶连续偏导数 , ,0),( 00 yxf x又 ,0),( 00 yxf y,),( 00 Ayxf xx 令 ,),( 00 Cyxf yy ,),( 00 Byxf xy ),(),( 00 yxyxf 在点则 处是否取得极值的条件如下 : (1) 时02 BAC 有极值 , 时当 0A 有极大值 , 时当 0A 有极小值 ; (2) 时02 BAC 没有极值 ; (3) 时02 BAC 可能有极值 , 也可能无极值 . 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 8
5、 求函数 极值的一般步骤 : ),( yxfz 第一步 解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解 , 得驻点 . 第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx求出二阶偏导数的值 .CBA 、第三步 定出 2BAC 的符号 , 再判定是否是极值 . 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 9 例 解 又 在点 (0,0)处 , 在点 (a,a)处 , )0(3),( 33 ayxa x yyxf求函数03303322yaxfxayfyx ).,(),0,0( aa驻点xxf xyf yyf22 9 aBAC 故 ),( yxf22 27 aBAC aA 6且故 ),( yxf 即 .),( 3
6、aaaf 的极值 . 0在 (0,0)无极值 ; 0 在 (a,a)有极大值 , 0,6x ,3a .6y多元函数的极值与拉格朗日乘数法 10 求由方程 010422222 zyxzyx.),( 的极值确定的函数 yxfz 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 解 配方法 方程可变形为 16)2()1()1( 222 zyx于是 22 )1()1(162 yxz,1,1 时当 yx 显然 , 根号中的极大值为 4, 由 可知 , 42 z 为极值 . 即 6z 为极大值 , 2z 为极小值 . 11 对自变量有附加条件的极值 . 其他条件 . 无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外 , 并无 条件
7、极值 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 二、条件极值 拉格朗日乘数法 12 解 18x y z x yzV 例 已知长方体长宽高的和为 18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 设长方体的长、宽、高分别为 ,zyx 、由 题意 知，周长： 长方体的体积为 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 13 上例的极值问题也可以看成是求三元函数 zyx 、但的极值 , 要受到条件 的限制 , 这便是一个条件极值 问题 . 目标函数 约束条件 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 有时 条件极值 目标函数中化为 无条件极值 . 可通过将约束条件代入 但在一般情形 甚至是不可能的 . 下面要介绍解决 条件极值
8、 问题的一般 方法 : 下 ,这样做是有困难的 , 拉格朗日乘数法 x yzV 18x y z 14 拉格朗日乘数法 : 现要寻求目标函数 ),( yxfz 0),( yx在约束条件 下取得 利用隐函数的概念与求导法 如函数 (1)在 ),(00 yx0),( 00 yx由条件 0),( yx(1) (2) 极值的必要条件 . 取得所求的极值 , 那末首先有 (3) 确定 y是 x的隐函数 ).( xyy 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 不必将它真的解出来 ,则 于是函数 (1) ),( 00 yx在0xx 即 , 取得所 取得极值 . 求的极值 . ), ( , ( x y x f z 15
9、 其中 0ddxxxy 代入 (4)得 : )5(0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),( yx由 一元可导函数取得极值的必要条件 知 : 0ddxxxz00yyxxxf (4) 000 ddxxyy xx xyyf0),(),(0000yxyxyx多元函数的极值与拉格朗日乘数法 0xx 取得极值 . 在 (3) ,(5)两式 ),( 00 yx在取得极值的必要条件 . 就是函数 (1)在条件 (2)下的 )3(0),( 00 yx)1(),( yxfz )2(0),( yx) ( , ( x y x f z 16 设 ),( ),(0000yxyxf
10、yy上述必要条件变为 : (6)中的前两式的左边正是函数 : 0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),(),( 0000 yxyxf xx 0),( 00 yx0),(),( 0000 yxyxf yy (6) 多元函数的极值与拉格朗日乘数法 ,0),( 00 yx),(),(),( yxyxfyxL 的两个一阶偏导数在 ),( 00 yx 的值 . 参数函数 ),( yxL 称为 拉格朗日函数 , 称为 拉格朗日乘子 , 是一个待定常数 . 17 拉格朗日乘数法 : ),( yxfz 0),( yx极值的必要条件 在条件 要找函数 下的可能极值点 , 先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxL 为某一常数 , 其中 可由 解出 , yx 其中 就是 可能的 极值点的坐标 . yx,多元函数的极值与拉格朗日乘数法 ,0),(),( yxyxf xx ,0),(),( yxyxf yy .0),( yx18 解 18x y z x yzV 例 已知长方体长宽高的和为 18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 设长方体的长、宽、高分别为 ,zyx 、由 题意 知，周长： 长方体的体积为 多元函数的极值与拉格朗日乘数法
