1、实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,11.3 条件极值拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,求解方程组,解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.,解,则,例1 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,即,由(
2、2), (1)及(3), (2)得,由(2), (1)及(3), (2)得,于是，,代入条件，得,解得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，,所以，,最大值就在此点处取得。,故，最大值,最大值一定存在，,解,则,由 (1)，(2) 得,由 (1)，(3) 得,将 (5)，(6) 代入 (4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，最大值一定存在，,所以，,最大值就在这个可能的极值点处取得。,故，最大值,解,则,解,可得,即,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,小结,11.4 微分法在几何上的应用,一 问题的提出,二 空间曲
3、线的切线与法平面,(Applications of differential calculus in geometry),一 问题的提出,我们可以利用偏导数来确定空间曲线的 切向量和空间曲面的法向量,推导过程,二 空间曲线的切线与法平面,1 空间曲线,切向量：,切线方程：,法平面方程：,(Tangent and normal plane of space curve),解：,在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1,切线方程：,例1 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。,2,切线方程：,法平面方程：,切线方程：,法平面方程：,例2、求曲线 在点（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程
4、。,法平面方程： x - z = 0,切线方程：,1 设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,三 曲面的切平面与法线,(Tangent plane and normal line of surface),令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,2 空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,其中,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,1 空间曲线的切线与法平面,2 曲面的切平面与法线,四 小结,
