1、线性代数模型,问题一交通网络模型,下图表明了d国3个城市，e国3个城市，f国2个城市相互间的交通情况。在d国和e国间，城市通路情况可用下列矩阵表示：,其中的数字1与0指相应城市间的通路数。试写出e国与f国的通路矩阵，并进一步写出d国与f国的通路矩阵。,一 模型的假设,假设用数字0，1，2.表示相应城市间的通路数 设d国和e国间的通路矩阵为A， e国与f国的通路矩阵为B d国与f过的通路矩阵为C,二 模型的建立,由图可知：e国与f国的通路矩阵可以表示为：,而d国和e国间的通路矩阵为：,利用矩阵的乘法运算，得d国与f国的通路矩阵为,三 模型求解,解法一：利用矩阵乘法的定义，得,解法二： 利用mat
2、lab的矩阵乘法命令求解。 a=1 1 0;1 0 1;1 1 0; b=1 0;1 1;0 1; c=a*b,模型的结果,d国与f国的通路矩阵为,问题二 机床订购模型,兴兴机械厂生产甲乙丙三种规格的机床，其价格和成本见下表：,1月份,工厂收到北京、上海与广东的订购数量见下表。请帮兴兴机械厂算一算各地订购三种机床的总价值、总成本和总利润各是多少？,一 模型的假设,假设不考虑订货费及运输费等。,二 变量说明,A 三种规格机床的价格和成本矩阵 B 北京,上海和广东三地三种机床的订购数量矩阵 C 各地订购三种机床的总价值，总成本矩阵 D 各地订购三种机床的总价值，总成本和总利润矩阵,三 模型的建立,
3、将以上两表转化为矩阵A,B为：,北京订购三种机床的数量分别乘以相应的单价7*4+6*5+5*3为北京订购三种机床的总价值以此类推，利用矩阵的乘法运算，得,四 模型求解,由于利润=收益-成本=机床的价值-成本，所以用矩阵C的第一行元素减去第二行的相应元素可以得到三地订购机床的总利润。,模型的结果,问题三 信息加密解密模型,在军事通讯中，常将字符（信号）与数字一一对应，如,例如，are对应矩阵B=（1 18 5），但如果按这种方式传输，则很容易被敌方破译。于是必须加密，即用一个约定的加密矩阵A乘以原信号矩阵B，传输信号矩阵为C=ABT，收到信号的一方再将信号还原。如果敌方不知道加密矩阵，则很难破译
4、。设收到的信号为C=（21 27 31）T，并已知加密矩阵为,问原信号B是什么？,一 模型的假设,假设信号在传输过程中使用相同的密钥,二 模型的建立,由加密原理知：A-1 *C=BT,模型的求解,a=-1 0 1;0 1 1;1 1 1; c=21 27 31; Inv(a)*c ans=4225,五 模型的结果,所以原信号矩阵B=(4 2 25) 信号为dby,模型的推广,若加密矩阵仍为A，要传输信息“you”，对方收到的信息是什么？,问题四 土地用途变更模型,假设某地区今年的土地分布情况为：商业用地为8000亩 （1亩=666.6m2），居住用地为16000亩，另外还有12000亩的闲置土
5、地。根据当地的土地规划，该地区今后两年内土地变更情况见下表，那么两年后，该地区各类土地各有多少亩？,一 模型的假设,假设该地区两年内严格按规划使用土地,二 变量说明,A 该城市土地使用及变更情况 B 今年该地区的土地情况,三 模型建立与求解,根据题意,利用矩阵的运算，可分析出一年后商业用地，居住用地，闲置土地为：同理两年后的商业用地，居住用地，闲置土地为：,模型的结果,问题5 转移模型,某租车公司有3个车库，顾客可以从某个车库租车后，还到3个车库中的任何一个。经调查得知状态转移矩阵为,其中aij表示顾客从第j个车库里租出的车归还到第i个车库的比例。例如矩阵的第一列表示顾客从第一个车库租出的车辆
6、分别有50%，30%，20%归还到第1、2、3个车库。现在公司有280辆车供出租，问如何设计这三个车库的容量.,一 模型的假设,假设开始时公司的车全部分散在各车库里，都没被租出去，各车库各有x0,y0,z0辆车。 假设某一时刻公司的全部车都被租出去，到某一时刻又全部归还回来，这时各车库有x1,y1,z1辆车。,二 模型的建立,在假设的情况下，汽车出租一次后，各车库的车辆数为公司的管理者希望各车库的车辆数大体保持稳定，以减少调动空车的成本，因此理想状态为,三 模型的求解,上面的矩阵方程可以转化为（I-A）X=0 这是一个齐次方程，用matlab求解如下： a=0.5 -0.2 -0.3;-0.3
7、 0.4 -0.3;-0.2 -0.2 0.6; rref(a) ans=1.0000 0 -1.28570 1.0000 -1.71430 0 0 即有一个多余的方程，用方程 替代上面第三个方程，即得如下方程组：,a=0.5 -0.2 -0.3 0;-0.3 0.4 -0.3 0;1 1 1 280; rref(a) ans=1 0 0 900 1 0 1200 0 1 70,模型的结果,三个车库分别容纳90，120和70辆车。 在实际考虑时，每个车库可增加10辆车的车位， 因此3个车库的设计容量分别为100，130和80辆,问题6 商品市场占有率模型,有两家公司R和S经营同类产品，他们相互
8、竞争。每年R公司保有1/4的顾客,而3/4转移向S公司；每年S公司保有2/3的顾客,而1/3转移向R公司.当产品开始制造时R公司战友3/5市场份额,而S公司占有2/5的市场份额.问2年后,两家公司所占的市场份额怎样变化?5年以后又怎样?是否有一组初始市场份额分配数据是以后每年的市场分配稳定不变?,一 模型的假设,假设转换的数量不变,二变量说明,A 转移矩阵 X0 市场初始分配数据矩阵 Xn n年后市场分配份额矩阵为Xn,二 模型的建立,根据题意,一年后，市场分配为：两年后，市场分配为以此类推，n年后市场分配份额为,设有数据a和b作为R和S公司的初始市场份额，则有： a+b=1 为了使以后每年的
9、市场分配不变，根据顾客数量转移的规律，有,三 模型求解,A=1/4 1/3;3/4 2/3; x0=3/5;2/5; x2=A2*x0 x5=A4*x0,为了求a和b作为R和S公司稳定的初始市场份额，需要求齐次方程组 format rat rref(A-eye(2),由此得化建后的方程a-4/9b=0 结合约束条件a+b=1 得： a=4/13=31% b=9/13=69%,模型的结果,使得每年市场份额不变的初始市场份额分配为R公司31%，S公司69%,问题7 T恤销售量模型,小明百货商店销售四种型号的T衫：小号、中号、大号和加大号。各种型号的T衫的销售价格分别为：22元/件、24元/件、26
10、元/件、30元/件。某日盘点时，小明把各种型号的T衫销售数量弄混了，但他知道共售出了13件T衫，收入为320元，且大号的销售量为小号与加大号销售之和，大号的销售收入也为小号与加大号销售收入之和。问小明当日销售了各种型号的T衫各多少件？,一 模型的假设,假设各种型号的T衫均按销售价格出售 假设收入是毛收入，不是纯利润,二变量说明,xi 小号，中号，大号与加大号的销售量,三 模型的建立,由问题知，xi满足以下方程组,四模型的求解,a=1,1,1,1,13;22,24,26,30,320;1,0,-1,1,0;22,0,-26,30,0; rref(a),模型的结果,小号，中号，大号，加大号T衫的销
11、售量分别为1件，9件，2件和1件,问题8 交通管理模型,如图所示是某地区的交通网络图，设所有道路均为单行道，且路边不能停车，图中的箭头标识了交通的方向。标识的数据为高峰期每小时进出道路网络的车辆数。若进入每个交叉点的车辆数等于离开该点的车辆数，则交通流量平衡的条件得以满足，交通就不出现堵塞。问各支路交通流量各为多少时此交通流量达到平衡。,一 模型的假设,假设一个交通网络的交通流量达到平衡是指在该交通网络中每个交通借点上进，出该借点的车辆数相等。,二 模型的建立,要各支路交通流量达到平衡，则每个道路交叉点应满足交通流量平衡的条件，即可建立每个道路交叉点进，出车辆相等的方程。 设每小时进，出交叉点
12、的车辆数如图所示，根据题意，可建立如下方程,A点：200+s=t（进入该点的车辆数=离开该点的车辆数） B点：200+100=s+v C点：v+x=300+w D点：u+t=300+w E点：300+w=200+x 从而得到一个描述交通网络流量平衡的线性方程组,三模型求解,a=1,-1,0,0,0,0,-200;1,0,0,1,0,0,300;0,0,-1,1,0,1,300;0,1,1,0,-1,0,300;0,0,0,0,-1,1,100; rref(a),模型结果,问题9 投入产出模型,某地区有三个重要企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采1元的煤，煤矿要支付0.25元的电费和0
13、.25元的运输费。生产1元的电力，发电厂要支付0.65元的煤费、0.05元的电费及0.05元的运输费。创收1元运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.1元的电费。在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的订货，发电厂接到外地金额为2500元的订货，外界对地方铁路没有需求。问三企业在这一周内的总产值各为多少？三个企业相互支付多少金额？,一 模型的假设,假设该地区三个产业间需要的资源完全由该地区提供,二 模型的建立,x1 本周内煤矿的总产值 x2 电厂的总产值 x3 铁路的总产值,三 模型的建立,每个问题中出现了三个自身相互关联同时又与外界发生关联的变量：煤费，电费和运输费。 这里，费用可转化为相应的产值。 煤的产值=订货值+（发电+运输）所需煤的费用 电厂的产值=订货值+（开采煤+运输+发电） 铁路的产值=订货值+（开采煤+发电）所需的运输费用,四模型的求解,a=1,-0.65,-0.55,50000;-0.25,0.95,-0.1,2500;-0.25,-0.05,1,0; rref(a),模型结果,
