1、3函数的单调性(一),学习目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法(重点)；2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点(重、难点),知识点一增函数与减函数的定义1增函数定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有_，那么，就称函数yf(x)在区间A上是增加的；有时也称函数yf(x)在区间A上是递增的图示：如图所示,f(x1)f(x2),2减函数定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1f(x2),【预习评价】1已知(a，b)是函数yf
2、(x)的单调增区间，且x1，x2(a，b)，若x1f(x2) D以上都正确解析根据函数单调性的定义可得正确答案答案A,2函数yf(x)的图像如图，根据图像函数yf(x)的增区间为_，_；减区间为_，_解析由图像可知函数yf(x)的增区间为1,0)，1,2，减区间为2，1)，0,1)答案1,0)1,22，1)0,1),知识点二函数的单调区间与单调性(1)如果yf(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为_(2)定义：如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是_或_，那么就称yf(x)在这个子集上具有单调性如果函数yf(x)在_是增加的或减少的，分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数,单调
3、区间,增加的,减少的,整个定义域内,【预习评价】1若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x)的减区间能写成D1D2吗？,2任何函数在定义域上都具有单调性吗？,【例1】(1)如图所示的是定义在区间5,5上的函数yf(x)的图像，则函数的单调递减区间是_、_ _，在区间_、_上是增函数,题型一确定(求)函数的单调区间,解析(1)观察图像可知，yf(x)的单调区间有5，2，2,1，1,3，3,5其中yf(x)在区间5，2，1,3上是增函数，在区间2,1，3,5上是减函数答案(1)2,13,55，21,3(2)(，1)，(1，),【例2】画出函数yx22|x|1的图像并写出
4、函数的单调区间,规律方法1.作出函数的图像，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图像一定要画准确2函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域3一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接,题型二函数单调性的判定与证明,规律方法利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)f(x2)的
5、符号及定义判断单调性,【探究1】已知函数f(x)ax22x2.若f(x)在区间(，4)上为减函数，求a的取值范围,答案3，2,【探究3】已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)0，y0，都有f(xy)f(x)f(y)，且满足f(2)1(1)求f(1)，f(4)的值；(2)求满足f(2)f(x3)2的x的取值范围,规律方法利用函数单调性求参数范围的类型及相应的技巧(1)已知函数解析式求参数,(2)抽象函数求参数只需利用单调增函数f(x)中f(a)f(b)ab，单调减函数f(x)中f(a)f(b)ab，去掉符号“f”，此时特别注意a，b要在给定的单调区间内,课堂达标,答案C,2若函
6、数f(x)在R上单调递增，且f(m)n Bmn Cmn Dmn解析因为f(x)在R上单调递增，且f(m)f(n)，所以mf(2m1)，则实数m的取值范围是_解析由f(m1)f(2m1)且f(x)是R上的减函数，得m10答案m|m0,1对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间,课堂小结,(3)单调性能使
7、自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)(4)并不是所有函数都具有单调性若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性,2单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1、x2D且x1x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号,3单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断(2)图像法：作出函数的图像，用数形结合的方法确定函数的单调区间(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增增增”，“减减减”，“增减增”，“减增减”,
