1、15 简单的幂函数(二)学习目标 1.理解函数奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题预习教材 P4950 完成下列问题：知识点一 函数奇偶性的几何特征一般地，图像关于 y 轴对称的函数称为偶 函数，图像关于原点对称的函数称为奇 函数【预习评价】观察下列函数图像，判断函数的奇偶性答案 关于 y 轴对称，所以对应函数为偶函数关于原点对称，所以对应函数为奇函数知识点二 函数的奇偶性1奇函数的定义一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数 f(x)中， f(x)和 f( x)的绝对值相等，符号相反，即 f( x) f(x) .反之，满足
2、f( x) f(x)的函数 y f(x)一定是奇函数注意：奇函数的定义域一定关于原点 对称2偶函数的定义一般地，图像关于 y 轴对称，像这样的函数叫作偶函数在偶函数 f(x)中， f(x)和f( x)的值相等，即 f(x) f( x)；反之，满足 f(x) f( x)的函数 y f(x)一定是偶函数注意：偶函数的定义域一定关于原点 对称23当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性 【预习评价】1若对定义域内的任意 x 都有 f( x) f(x)0 或 1( f(x)0)，则对应f xf x的函数是不是奇函数？提示 根据奇函数的定义知，满足这两种对应关系的函数都是奇函数2若函数图像关于原
3、点对称，则该函数是不是奇函数？提示 根据函数的图像特征，结合奇函数的定义知该函数是奇函数知识点三 奇偶性与单调性一般地，(1)若奇函数 f(x)在 a， b上是增函数，且有最大值 M，则 f(x)在 b， a上是增 函数，且有最小值 M (2)若偶函数 f(x)在(，0)上是减函数，则 f(x)在(0，)上是增函数 (3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量【预习评价】1判断函数 y x2和 y 在(，0)和(0，)上的单调性的特点1x提示 y x2是偶函数，在(0，)上是增函数， y x2在(，0)上是减函数， y x2在(，0)和(0，)上
4、单调性相反y 是奇函数，在(，0)和(0，)上单调性相同1x2结合教材 P50 例 2 你认为应怎样判断函数的奇偶性？提示 第一步：求定义域并判断是否关于原点对称第二步：若定义域关于原点对称则求 f( x)并判断是否等于 f(x)或 f(x)第三步：若 f( x) f(x)，则 f(x)是奇函数，若 f( x) f(x)，则 f(x)是偶函数，若定义域不关于原点对称或 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，则 f(x)不具有奇偶性题型一 函数奇偶性的判断【例 1】 判断下列函数的奇偶性(1)f(x) x2 ；x(2)f(x) ；1 x2 x2 1(3)f(x) ；1 x2|x 2| 2
5、(4)f(x)Error!解 (1)函数的定义域为0，)，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性3(2)由Error! x21 x1所以 f(x)0，又定义域关于原点对称，所以 f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数 f(x) 的定义域为1,0)(0,11 x2|x 2| 2由| x2|2 x，所以 f(x) ，1 x2x因为 f( x) f(x)，所以 f(x)为奇函数1 x2x(4)分段画出其图像如图所示，由于图像关于原点对称，所以函数 f(x)为奇函数规律方法 判断函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法确定函数的定义域看定义域是否关于原点对称，()不对称，则函数不具有奇偶性；()对称Error
6、!(2)图像法画出函数的图像，直接利用图像的对称性判断函数的奇偶性【训练 1】 判断下列函数的奇偶性(1)f(x) x2(x22)；(2) f(x) x|x|解 (1)函数的定义域为 R，又因为 f( x)( x)2( x)22 x2(x22) f(x)，所以 f(x)为偶函数(2)函数的定义域为 R，又因为 f( x) x| x| x|x| f(x)，所以 f(x)为奇函数题型二 利用奇偶性求解析式【例 2】 已知函数 f(x)是 定义域为 R 的奇函数，当 x0 时， f(x) x22 x(1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式(2)画出函数 f(x)的图像4解 (1)由于函数 f(x)
7、是定义域为 R 的奇函数，则 f(0)0；当 x0，因为f(x)是奇函数，所以 f( x) f(x)，所以 f(x) f( x)( x)22( x) x22 x，综上， f(x)Error!(2)图像如图规律方法 根据函数奇偶性求解析式的三个步骤(1)设：要求哪个区间的解析式， x 就设在哪个区间里(2)代：利用已知区间的解析式代入进行推导(3)转：根据 f(x)的奇偶性把 f( x)写成 f(x)或 f(x)，从而解出 f(x)提醒 利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是 x0 的情况【训练 2】 (1) f(x)为 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)2 x23 x1，求 f(x)
8、的解析式(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， f(x) x3 x1，求 f(x)的解析式解 (1)当 x0，则 f( x)2( x)23( x)12 x23 x1，由于f(x)是奇函数，故 f( x) f(x)，所以 f(x)2 x23 x1，即当 x0，则 x0 的 x 的取值集合解 因为偶函数的图像关于 y 轴对称，所以可得到此函数在 y 轴左侧的图像如图所示，6由图像可知当 x(，0)时， f(x)0；当 x(0，)时， f(x)0；故使 f(x)0的 x 的取值集合为(，0)(0，).互动探究题型四 利用函数奇偶性求值或求函数【探究 1】 已知 y f(x)是奇
9、函数，当 x0 时， f(x) x2 ax，且 f(3)6，则 a 的值为_解析 因为 f(x)是奇函数，所以 f(3) f(3)6，所以(3) 2 a(3)6，解得 a5答案 5【探究 2】 已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 xf(x1)(1 x)f(x)，则 f 的值是_(52)解析 若 x0，则有 f(x1) f(x)，1 xx取 x ，12则有： f f(12) ( 12 1) f f ，1 12 12 ( 12) ( 12)因为 f(x)是偶函数，则 f f ，(12) (12)由此得 f 0，(12)于是， f f f f f f 5
10、 f 0(52) (32 1)1 3232 (32) 53(32) 53(12 1) 53(1 1212 ) (12) (12)答案 0【探究 3】 已知函数 f(x) 是奇函数，且 f(2) ，则函数 f(x)的解析式px2 2q 3x 537f(x)_解析 f(x)的定义域为 ，若 f(x)是奇函数，则 0，得 q0.故( ，q3) (q3， ) q3f(x) ，px2 2 3x又 f(2) ，得 ，得 p2，因此 f(x) 53 p4 2 6 53 2x2 2 3x 2x2 23x答案 2x2 23x规律方法 利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数 f(x)的定义
11、域为 a， b，根据定义域关于原点对称，利用 a b0 求参数(2)解析式含参数：根据 f( x) f(x)或 f( x) f(x)列式，比较系数即可求解课堂达标1函数 f(x) x ( )2xA是奇函数，但不是偶函数B是偶函数，但不是奇函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数解析 f(x) x 的定义域为 x|x0，关于原点对称，且 f( x) x 2x 2x f(x)所以 f(x)为奇函数，但不是偶函数(x2x)答案 A2下列函数中，是奇函数的为( )A y x1 B y2 x2C y x51 D y x3解析 f( x) x1( x1) f(x)，所以 y x1 不是奇函
12、数，故 A 不正确B： y2 x2是偶函数，故 B 不正确C： y x51 是非奇非偶函数，故 C 不正确D：函数 y x3定义域为 R，且 f( x)( x)3 x3 f(x)，所以 y x3为奇函数答案 D83如果定义在区间2 a,4上的函数 f(x)为偶函数，那么 a_解析 由 2 a4，得 a6答案 64已知函数 y f(x)为奇函数，若 f(3) f(2)1，则 f(2) f(3)_解析 函数 y f(x)为奇函数，故 f( x) f(x)，则 f(2) f(3) f(2) f(3)1答案 15判断下列函数的奇偶性(1)f(x) x3 x；(2)f(x) x21解 (1)对于函数 f
13、(x) x3 x，其定义域为 R.因为对定义域内的每一个 x，都有f( x)( x)3( x)( x3 x) f(x)，所以，函数 f(x) x3 x 为奇函数(2)对于函数 f(x) x21，其定义域为 R.因为对定义域内的每一个 x，都有 f( x)( x)21 x21 f(x)，所以，函数 f(x) x21 为偶函数课堂小结1两个定义：对于 f(x)定义域内的任意一个 x，如果都有 f( x) f(x)f( x) f(x)0 f(x)为奇函数；如果都有 f( x) f(x)f( x) f(x)0 f(x)为偶函数2两个性质：函数为奇函数它的图像关于原点对称；函数为偶函数 它的图像关于 y 轴对称3证明一个函数是奇函数，必须对 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了4已知函数奇偶性，在研究函数的图像与性质时，可先研究一半，再用对称性研究另一半
