1、1八年级数学（上册） 第一章 勾股定理 第一节 探索勾股定理第二节 能得到直角三角形吗第三节蚂蚁怎样走最近第一节问题 1：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？问题 2：如果用 a,b,c 分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理（gou-gu theorem ）如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c ，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 探究活动议一议：观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满
2、足 a2 +b2=c22? 225100简单应用 例 1 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 9 米处折断倒下，树顶落在离树根 12 米处. 大树在折断之前高多少米？解：设大树在折断之前高为 xm,由勾股定理得：(x-9)2=92+122 解得：x=24答：大树在折断之前高为 24 米。例 2 如图，一个 25m 长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时的 AO 距离为 24m，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 4m，那么梯子底端 B 也外移 4m 吗？解： 由勾股定理得：OB2=AB2-AO2=252-242解得：OB=7OD2=CD2-CO2=252-(24-4)2解得：OD2
3、=225所以 OD=15OD-OB=8m4m 答：梯子低端 B 外移大于 4m。巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度： x1517拓展练习1、 有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2、如图，在一个高为 3 米， 3长为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米。请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形. 方法一： a+b =caaaabbbbcccc方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题
4、与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理. 验证方法二 a+b =c你还有其他的方法吗？下来继续研究喔！？方法三美国第二十任总统伽菲尔德的证法：巩固练习1、判断（1）若直角三角形的两边长分别为 3cm、4cm，则第三边长为 5cm。 （ ）（2）在直角三角形 ABC 中，a 2+b2=c2。 （ ）2、选择（1）以面积为 9m2正方形的对角线为边作一个正方形，其面积为（ ）（A）9m 2 (B)13m2 (C)18m2 (D)24m2（2）在 RtABC 中，若斜边 ，则 （ ） AB2CAB（A）2 （B）4 （C）8 （D）16(3). 把直角三角形两条直角边同时扩大到原
5、来的 2 倍，则其斜边（ ）22)(41bacQ22)(41bacQ22)(41bac2)(421cabQa b a4A. 扩大到原来的 2 倍 B. 扩大到原来的 4 倍 C. 不变 D. 减少到原来的 2 倍3、解答：如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高 BC=4cm，CD=2cm ,求滑道 AD 的长第二节 能得到直角三角形吗同学你知道古埃及人用什么方法得到直角? 古埃及人曾用下面的方法得到直角:用 13 个等距的结,把一根绳子分成等长的 12 段,一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结,两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在
6、第 4 个结处.想一想：这个方法得到的是直角三角形吗？是不是只有勾三股四弦五才能得到直角三角形呢？巩固提高1.如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，AE=2 ， DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？易知:ABE，DEF，FCB 均为 Rt由勾股定理知BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25BE2+EF2=BF2 BEF 是 Rt 2/如图，已知等腰ABC 的底边 BC=20cm，D 是腰 AB 上一点，且 CD=16cm，BD=12cm，求ABC 的周长.CDB CA第三节蚂蚁怎样走最近在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，
7、恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？A BCDFE DAB C5怎样计算 AB？BA在 Rt AAB 中，利用勾股定理可得，其中 A是圆柱体的高 ,AB 是底面圆周长的一半(r)举一反三如图，在棱长为 10 厘米的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁，现要向顶点 B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 厘米 /秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在 20 秒内从 A 爬到 B？练习题1、若直角三角形两直角边长分别为 3、4，则以斜边为直径的圆的面积为 。2、若直角三角形的三边长是不大于 10 的三个连续偶数，则其周长为 。3、若三角形的三边
8、长分别为 9cm、12cm、15cm，则长为 15cm 的边上的高为 cm。4、在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=8，则 BC 边上的中线 AD 的长为 。5、A、B、C、D 四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短， 请在图上画出车站的位置，并说明为什么； 求这个最小的路程和。BAAr Oh 22BAB食物AA BD C66、如图，已知矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=8，将纸片折叠，使点 A 与点 C 重合，求折痕 EF 长。第一章测试题一、选择题：（每小题 4 分，共 32 分）1
9、、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A2，3，4 B10，8，4 C7，25，24 D7，15，122、已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）A25 B14 C7 D7 或 253、以面积为 9 cm2 的正方形对角线为边作正方形，其面积为（ ）A9 cm 2 B13 cm 2C18 cm 2 D24 cm 24、如图，直角ABC 的周长为 24，且 AB:AC=5:3，则 BC=（ ）A6 B8 C10 D125、如图，一架云梯长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，如果梯子的顶端下滑 4 米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ）A4 米
10、 B6 米 C8 米 D10 米6、将一根长 24 cm 的筷子，置于底面直径为 5cm、高为 12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则 h 的取值范围是（ ）A5h12 B5h24C11h12 D12h247、已知，如图，长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ）A6cm 2 B8cm 2AB CDEF7C10cm 2 D12cm 2二、填空题（每小题 3 分，共 21 分）9、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为 64 厘米 2，则 X 的长为 厘米。10、如图，从电线杆离
11、地面米处向地面拉一条长米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为 米。11、如图，在等腰直角ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，AB=8，则 AD 2= 。12、小华和小红都从同一点 O出发，小华向北走了 9米到 A点，小红向东走了 1米到了 B点，则 _A米。13、如图，在一个高为 3 米，长为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米。15、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 20、3、2，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 。三、解答题：（共 47 分）16、 （9 分）如图，某
12、人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B 200m，结果他在水中实际游了 520m，求该河流的宽度为多少.？18、 （9 分）有一只喜鹊在一棵高 3 米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24 米，高为 14 米的一棵大树上，且巢离大树顶部为 1 米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒 5 米，那么它几秒能赶回巢中？819、 （10 分） 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=18cm，BC=24cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,你能 求出 BD 的长吗？20、 （10 分）如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则E 站应建在离 A 站多少 km 处？第一章 勾股定理答案一、选择题：1、C；2、D；3、C；4、B；5、C；6、C；7、A；二、填空题：9、17；10、8；11、32；12、15；913、7； 15、25；三、解答题：16、480 米；18、5.2 秒；提示：如右图19、15； 20、10km 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图
