1、分享 互助 传播解三角形一、基础知识在本章中约定用 A，B，C 分别表示ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2cbap为半周长。1正弦定理：cbsinisin=2R（R 为ABC 外接圆半径） 。推论 1：ABC 的面积为 SABC=.sin21sii21BcaAbCa推论 2：在ABC 中，有 bcosC+ccosB=a.推论 3：在ABC 中，A+B= ，解 a 满足 )sin(ia，则 a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论 1，由正弦函数定义，BC 边上的高为 bsinC，所以 SABC=Cbsi21；再证推论 2，因为
2、 B+C=-A，所以 sin(B+C)=sinA，即 sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a；再证推论 3，由正弦定理 BbAasini，所以 )sin(iAa，即 sinasin(-A)=sin( -a)sinA，等价于 21cos(-A+a)-cos( -A-a)= 21cos( -a+A)-cos( -a-A)，等价于cos(-A+a)=cos( -a+A)，因为 0|a-b|，从而4,0，所以 sin2|cos2cos2|.因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以 a2+b2+c2+4abc=1-
3、2(ab+bc+ca-2abc).又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)=sin2cos2+sin2cos2cos4cos2= 411-cos22+(1-cos22)cos4cos2= + cos2(cos4-cos22cos4-cos2) 41+ cos2(cos4-sin4-cos2)= 41.所以 a2+b2+c2+4abcb”是“sinAsinB”的_条件.6在ABC 中，sinA+cosA0, tanA-sinA1，则ABC 为_角三角形.11三角形有一个角是 600，夹这个角的两边之比是 8：5，内切圆的面积是 12，求这个三角形的面积。12已知锐角ABC
4、的外心为 D，过 A，B，D 三点作圆，分别与 AC，BC 相交于 M，N 两点。求证：MNC 的外接圆半径等于ABD 的外接圆半径。13已知ABC 中，sinC= cosin，试判断其形状。四、高考水平训练题1在ABC 中，若 tanA= 21, tanB=3，且最长边长为 1，则最短边长为_.2已知 nN+，则以 3，5，n 为三边长的钝角三角形有_个.3已知 p, qR+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B_pqsin2C.4在ABC 中，若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则ABC 为_角三角形.5若 A 为ABC 的内角，比较大小：Ac
5、ot8t_3.6若ABC 满足 acosA=bcosB，则ABC 的形状为_.7满足 A=600，a= 6, b=4 的三角形有_个.8设 为三角形最小内角，且 acos2 2+sin2 -cos2 2-asin2 =a+1，则 a 的取值范围是_.9A，B，C 是一段笔直公路上的三点，分别在塔 D 的西南方向，正西方向，西偏北 300 方向，且 AB=BC=1km，求塔与公路 AC 段的最近距离。10求方程 xyyx1的实数解。11求证：.207sin31五、联赛一试水平训练题1在ABC 中，b2=ac，则 sinB+cosB 的取值范围是_.2在ABC 中，若 BACBcos2sin，则A
6、BC 的形状为_.3对任意的ABC，tttT-(cotA+cotB+cotC)，则 T 的最大值为_.4在ABC 中，CBAsin2si的最大值为_分享 互助 传播5平面上有四个点 A，B，C，D，其中 A，B 为定点，|AB|= 3，C，D 为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记 SABD=S，SBCD=T，则 S2+T2 的取值范围是_.6在ABC 中，AC=BC， 08，O 为ABC 的一点， 01OAB， ABO=300，则ACO=_.7在ABC 中，ABC 6，则乘积 2cosinsCA的最大值为_，最小值为_.8在ABC 中，若 c-a 等于 AC 边上的高 h，则cssi
7、A=_.9如图所示，M，N 分别是ABC 外接圆的弧 AB，AC 中点，P 为 BC 上的动点，PM 交 AB 于Q，PN 交 AC 于 R，ABC 的内心为 I，求证：Q，I，R 三点共线。10如图所示，P，Q，R 分别是ABC 的边 BC，CA，AB 上一点，且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA2（PQ+QR+RP） 。11在ABC 外作三个等腰三角形BFC，ADC，AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB， ADC=2 BAC， AEB=2ABC， BFC=2 ACB，并且 AF，BD，CE交于一点，试判断ABC 的形状。六、联赛二试水平训练题1已知等腰AB
8、C，AB=AC，一半圆以 BC 的中点为圆心，且与两腰 AB 和 AC 分别相切于点 D和 G，EF 与半圆相切，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过 E 作 AB 的垂线，过 F 作 AC 的垂线，两垂线相交于 P，作 PQBC，Q 为垂足。求证： sin2PQ，此处 =B。2设四边形 ABCD 的对角线交于点 O，点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点，点 H1，H2（不重合）分别是AOB 与COD 的垂心，求证：H1H2 MN。3已知ABC，其中 BC 上有一点 M，且ABM 与ACM 的内切圆大小相等，求证：)(aPAM，此处 21(a+b+c), a, b, c 分别为
9、ABC 对应三边之长。4已知凸五边形 ABCDE，其中 ABC= AED=900， BAC=EAD，BD 与 CE 交于点 O，求证：AOBE。5已知等腰梯形 ABCD，G 是对角线 BD 与 AC 的交点，过点 G 作 EF 与上、下底平行，点 E 和F 分别在 AB 和 CD 上，求证： AFB=900 的充要条件是 AD+BC=CD。6AP，AQ，AR，AS 是同一个圆中的四条弦，已知 PAQ= QAR= RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS） 。7已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d，外接圆半径为 R，如果 a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？8设四边形 ABCD 内接于圆，BA 和 CD 延长后交于点 R，AD 和 BC 延长后交于点P， A， B， C 指的都是ABC 的内角，求证：若 AC 与 BD 交于点 Q，则分享 互助 传播.coscosBQCRAP9设 P 是ABC 内一点，点 P 至 BC，CA，AB 的垂线分别为 PD，PE，PF（D，E，F 是垂足） ，求证：PAPBPC(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。
