1、几何探究试题1.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比面积比就有一些“漂亮” 结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若 O 是ABC 的重心（如图 1） ，连结 AO 并延长交 BC 于 D，证明：；（2）若 AD 是ABC 的一条中线（如图 2） ，O 是 AD 上一点，且满足 ，试判断 O 是ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；解答： （1）证明：如答图 1 所示，连接 CO 并延长，交 AB 于点 E点 O 是 ABC 的重心，CE 是中线，点 E 是 AB 的中
2、点DE 是中位线， DEAC，且 DE= ACDEAC，AOCDOE， =2，AD=AO+OD， （2）答：点 O 是ABC 的重心证明：如答图 2，作ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q，则点 Q 为ABC 的重心由（1）可知， = ，而 ，点 Q 与点 O 重合（是同一个点） ，点 O 是 ABC 的重心2.（自贡市）将两块全等的三角板如图摆放，其中 190ACB，130A（1）将图中的 1ABC顺时针旋转 45得图，点 1P是 与 A的交点，点 Q 是 1AB与 BC 的交点，求证： 1CPQ；（2）在图中，若 12P，则 Q等于多少？（3）如图，在 BC上取一点 E，连接 B、
3、1PE，设 1BC，当 1EPB时，求 1EA面积的最大值（1）证明： 145BC， 190BCA 1145BCQP (1)又 ， 1QP（ ASA） (2) 1C (3)（2）作 1PDA于 ， 3， 12DA (4)145PCD 1sin45PC 2 (5) 12CPD (6)又 Q， 2 (7)（3）解： 190BE， 60AB 30ABE 3AB (8)由旋转的性质可知 1PE 1P (9)1:APC设 x 3x (10)在 RtB中， 30A 2BC 1(2)PESx23(1)636 (11)x时 1()Bmax (12)3.（2013衢州） 【提出问题】（1）如图 1，在等边ABC
4、 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C） ，连结 AM，以 AM 为边作等边AMN，连结 CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图 2，在等边ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C） ，其它条件不变， （1）中结论ABC= ACN 还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图 3，在等腰ABC 中，BA=BC，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C） ，连结 AM，以 AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结 CN试探究ABC 与ACN 的数量关系，并说明理由（1）证明：ABC、AMN 是等边三角形，AB=AC，AM=AN， BAC=
5、MAN=60，BAM=CAN，在 BAM 和CAN 中，BAMCAN（SAS） ，ABC=ACN（2）解：结论ABC= ACN 仍成立理由如下：ABC、AMN 是等边三角形，AB=AC，AM=AN， BAC=MAN=60，BAM=CAN，在 BAM 和CAN 中，BAMCAN（SAS） ，ABC=ACN（3）解：ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN ，顶角ABC=AMN，底角 BAC=MAN，ABCAMN， = ，又BAM= BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN，BAMCAN，ABC=ACN4.（2013烟台）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不
6、与 A，B 重合） ，分别过 A，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点（1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 AEBF ，QE 与 QF 的数量关系式 QE=QF ；（2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明解：（1）AE BF，QE=QF，理由是：如图 1，Q 为 AB 中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ ，在BFQ 和
7、AEQ 中BFQAEQ（AAS） ，QE=QF，故答案为：AEBF，QE=QF （2）QE=QF，证明：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D，AE BF， QAD=FBQ，在FBQ 和 DAQ 中FBQDAQ（ASA） ， QF=QD，AECP，EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线，QE=QF=QD，即 QE=QF（3） （2）中的结论仍然成立，证明：如图 3，延长 EQ、FB 交于 D，AEBF，1= D，在AQE 和 BQD 中，AQEBQD（AAS ） ，QE=QD， BFCP，FQ 是斜边 DE 上的中线，QE=QF点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性
8、质的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等5.（潍坊市）如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 拼在一起，ABCDCEFD构成一个大的长方形 .现将小长方形 绕点 顺时针旋转至 ,旋转角为 .ABEFEFFE（1）当点 恰好落在 边上时，求旋转角 的值；D（2）如图 2， 为 的中点，且 0 90，求证： ；GCG（3）小长方形 绕点 顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出EFDCB旋转角 的值；若不能，说明理由.答案：(1) DC/EF,DCD=CDE=
9、CDE=. sin= ,=30 12CED(2) G 为 BC 中点，GC=CE=CE=1 ，DCG=DCG+ DCD=90+ , DCE=D CE+DCD=90+,DCG=DCE又CD=CD, GCDECD, GD =E D(3) 能. =135或 =315 考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力6.（黑龙江龙东地区）正方形 ABCD 的顶点 A 在直线 MN 上
10、，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，过点 O 作OEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F（1）如图 1，当 O、B 两点均在直线 MN 上方时，易证：AF+BF=2OE （不需证明）（2）当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，线段 AF、BF、OE 之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明分析： （1）过点 B 作 BGOE 于 G，可得四边形 BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB， AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE= OBG，然后利用
11、“角角边”证明AOE 和OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据 AFEF=AE，整理即可得证；（2）选择图 2，过点 B 作 BGOE 交 OE 的延长线于 G，可得四边形 BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB， AOB=90，再根据同角的余角相等求出AOE= OBG，然后利用“角角边”证明AOE 和OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据 AFEF=AE，整理即可得证；选择图 3 同理可证解答： （1）证明：如图，过点 B 作 BGOE 于 G，
12、则四边形 BGEF 是矩形，EF=BG，BF=GE，在正方形 ABCD 中，OA=OB，AOB=90， BGOE，OBG+ BOE=90，又AOE+BOE=90，AOE= OBG，在 AOE 和OBG 中，AOEOBG（AAS） ， OG=AE，OE=BG ，AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OEGE=OEBF，AFOE=OEBF，AF+BF=2OE；（2）图 2 结论：AF BF=2OE，图 3 结论：AFBF=2OE对图 2 证明：过点 B 作 BGOE 交 OE 的延长线于 G，则四边形 BGEF 是矩形， EF=BG，BF=GE，在正方形 ABCD 中，OA=OB，AOB=
13、90，BGOE，OBG+ BOE=90，又AOE+BOE=90，AOE= OBG，在 AOE 和OBG 中，AOEOBG（AAS） ， OG=AE，OE=BG ，AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，AFOE=OE+BF，AF BF=2OE；若选图 3，其证明方法同上点评： 本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点7.（绥化）已知，在 ABC 中，BAC=90，ABC=45，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与点 B，C 重合） 以 AD 为边做正方
14、形 ADEF，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时求证 CF+CD=BC；（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出 CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A，F 分别在直线 BC 的两侧，其他条件不变；请直接写出 CF，BC，CD 三条线段之间的关系；若正方形 ADEF 的边长为 2 ，对角线 AE，DF 相交于点 O，连接 OC求 OC 的长度证明：（1）BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45 ，AB=AC，四边形 ADEF 是正方形，AD=AF，DAF=90 ，
15、BAD=90DAC， CAF=90DAC，BAD=CAF ，则在BAD 和CAF 中，BAD CAF（SAS） ，BD=CF，BD+CD=BC，CF+CD=BC；（2）CF CD=BC；（3）CDCF=BCBAC=90 ，ABC=45，ACB= ABC=45，AB=AC，四边形 ADEF 是正方形， AD=AF，DAF=90，BAD=90BAF，CAF=90BAF，BAD=CAF，在 BAD 和CAF 中，BADCAF（SAS） ， ACF=ABD，ABC=45，ABD=135，ACF=ABD=135，FCD=90，FCD 是直角三角形正方形 ADEF 的边长为 2 且对角线 AE、DF 相交
16、于点 ODF= AD=4，O 为 DF 中点OC= DF=2点评： 本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键8.（2013本溪）在 ABC 中， ACB=90，A 45，点 O 为 AB 中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点 O 重合，一边 OE 经过点 C，另一边 OD 与 AC 交于点 M（1）如图 1，当A=30时，求证： MC2=AM2+BC2；（2）如图 2，当A 30时， （1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形 ODE 绕点 O 旋转，若直线 OD 与直线 AC 相交于点 M，直
17、线 OE 与直线 BC 相交于点 N，连接 MN，则 MN2=AM2+BN2 成立吗？答： （填“成立” 或“ 不成立”）分析： （1）过 A 作 AFAC 交 CO 延长线于 F，连接 MF，根据相似求出 AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；（2）过 A 作 AFAC 交 CO 延长线于 F，连接 MF，根据相似求出 AF=BC，CO=OF，求出 FM=CM，根据勾股定理求出即可；（3）结论依然成立解答： （1）证明：如图 1，过 A 作 AFAC 交 CO 延长线于 F，连接MF，ACB=90，BC AF，BOCAOF， = = ，O 为 AB 中点，OA=OB
18、，AF=BC，CO=OF，MOC=90，OM 是 CF 的垂直平分线，CM=MF，在 RtAMF 中，由勾股定理得：MF 2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（2）解：还成立，理由是：如图 2，过 A 作 AFAC 交 CO 延长线于 F，连接 MF，ACB=90，BC AF，BOCAOF， = = ，OA=OB， AF=BC，CO=OF，MOC=90 ，OM 是 CF 的垂直平分线，CM=MF，在 RtAMF 中，由勾股定理得：MF 2=AM2+AF2=AM2+BC2，即 MC2=AM2+BC2；（3）成立点评： 本题考查了直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定
19、理的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似（2013临沂）如图，矩形 ABCD 中，ACB=30，将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两对角线 AC，BD的交点处，以点 P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边 AB，BC 所在的直线相交，交点分别为 E，F（1）当 PEAB，PFBC 时，如图 1，则 的值为 ；（2）现将三角板绕点 P 逆时针旋转 （060）角，如图 2，求 的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当 60 90，且使 AP：PC=1：2 时，如图 3， 的值是否变化？证明你的结论分析： （1）证明APE PCF，得 PE
20、=CF；在 RtPCF 中，解直角三角形求得 的值；（2）如答图 1 所示，作辅助线，构造直角三角形，证明PMEPNF，并利用（1）的结论，求得 的值；（3）如答图 2 所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明APMPCN，求得 的值；然后证明PMEPNF，从而由 求得 的值与（1） （2）问相比较， 的值发生了变化解：（1）矩形 ABCD，AB BC，PA=PC；PEAB，BC AB，PE BC，APE=PCF； PFBC，AB BC，PFAB， PAE=CPF在 APE 与PCF 中，APEPCF（ASA） ，PE=CF在 RtPCF 中， =tan30= ， = （2）如答图 1，过点
21、P 作 PMAB 于点 M，PN BC 于点 N，则 PMPNPMPN，PEPF，EPM=FPN ，又PME=PNF=90 ，PMEPNF， 由（1）知， = ， = （3）答：变化证明：如答图 2，过点 P 作 PMAB 于点 M，PN BC 于点 N，则PMPN，PMBC，PN ABPMBC，PN AB，APM= PCN，PAM= CPN，APMPCN， ，得 CN=2PM在 RtPCN 中， =tan30= ， = PMPN，PEPF，EPM=FPN ，又PME=PNF=90 ，PMEPNF， = 的值发生变化9.（2013包头）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交
22、于点 O，点 E 是 BC 上的一个动点，连接 DE，交 AC 于点 F（1）如图，当 时，求 的值；（2）如图当 DE 平分CDB 时，求证：AF= OA；（3）如图，当点 E 是 BC 的中点时，过点 F 作 FGBC 于点 G，求证：CG= BG分析： （1）利用相似三角形的性质求得 EF 于 DF 的比值，依据CEF 和CDF 同高，则面积的比就是 EF与 DF 的比值，据此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理证得ADF=AFD，可以证得 AD=AF，在直角AOD 中，利用勾股定理可以证得；（3）连接 OE，易证 OE 是BCD 的中位线，然后根据FGC 是等腰直角三角形，易证EGF
23、ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得解答： （1）解： = ， = 四边形 ABCD 是正方形，ADBC，AD=BC，CEFADF， = ， = = ， = = ；（2）证明：DE 平分CDB，ODF=CDF，又AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线ADO=FCD=45，AOD=90，OA=OD，而ADF=ADO+ODF，AFD=FCD+CDF，ADF=AFD，AD=AF，在直角AOD 中，根据勾股定理得：AD= = OA，AF= OA（3）证明：连接 OE点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点点 O 是 BD 的中点又点 E 是 BC 的中点，OE 是BCD 的中位线，OECD，OE= CD，OFECFD = = ， = 又FGBC，CDBC，FGCD，EGFECD， = = 在直角FGC 中，GCF=45CG=GF，又CD=BC， = = ， = CG= BG
