1、平 面 几 何 新 思 索 【0 0 0 5 1 4 】OP Q 是一个给定三角形M N 是 P Q 的三等分点。在任意AB C 周围作 F B A MOP E AC NQO 。G 是AB C 的重心。求证GE F OP Q 。 OP QAB CM NFEG上题是在研究拿破仑定理时经过一番探索而编造出来的。结果发觉其难度并不大。 当P 和Q 都等于30 时立即就得到拿破仑定理不过要将它重复两次。 【0 2 0 5 2 7 】黄路川问如下题 “已知I 是内心D 是 A 的对径点且 B E C F 的长均为半周长。求证DI 垂直于 E F 。” 经探索当 A 在外接圆上运动时E F 之包络是圆若
2、B E C F 长不等于半周长时E F 之包络是圆锥曲线。 EF 包络所形成的圆具体位置还值得继续探索预感还会产生一些新的东西。 【0 4 0 2 2 7 】当天晚上收到钟建国的一封E- ma i l 使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。 结 论 1 三 角 形 的 F e r m a t 点 与 它 的 等 角 共 轭 点 的 连 线 必 平 行 于 E u l e r 线 。 AB COGHFJEFDICBA注图中 F 是 F e r ma t 点又称“等角中心” 它对于AB C 三边的视角都是 1 2 0 其等角共轭点 J 是AB C 的“等力点”i s o d y n a mi c
3、 p o i n t 其特性如下它的垂足三角形 是 正 它 对 于 AB C 三 边 的 视 角 分 别 是 6 0 A 6 0 B 6 0 C 它 是 三 个Ap o l l o n i u s 圆所共之点它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比它在外心 O 和类似重心 K 的连线上B r o c a r d 轴。 结 论 2 三 角 形 的 每 个 旁 心 和 相 应 边 的 中 点 连 线 一 定 共 点 所 共 点 位 于 重心 及 G e r g o n n e 点 的 连 线 上 三 角 形 的 每 个 旁 心 和 相 应 边 上 的 内 切 圆 切 点 连 线 也一 定 共
4、点 所 共 点 既 位 于 内 、 外 心 的 连 线 上 又 位 于 重 心 及 G e r g o n n e 点 的 连 线上 。 而 且 上 述 两 个 所 共 点 是 原 三 角 形 的 一 对 等 角 共 轭 点 。 AB CINL DOI 2I 1I 3MF EQP GGe注图中 I 1 I 2 I 3 是AB C 的旁心L M N 是各边中点D E F 是内切圆的切点。I 1L I 2M I 3N 所共之点记为 P 在文献中称作“Mi t t o n p u n k t ”由 Na g e l 于 1 8 3 6 年引进I 1D I 2E I 3 F 所共之点记为 Q 可称作“
5、切聚点”它是位于内、外心连线 I O 上的一个特殊点。AD B E C F 所共之点称为 Ge r g o n n e 点在 图中标为 Ge 。则 P Q 都在重心 G 和Ge r g o n n e 点的连线上而且 P Q 关于AB C 恰好等角共轭 结 论 3 过 完 全 四 边 形 的 六 个 交 点 各 作 一 条 N e w t o n 线 的 平 行 线 则 每 条 平行 线 都 是 满 足 如 下 特 性 的 轨 迹 其 上 任 意 一 点 与 相 应 交 点 所 在 直 线 上 的 两 条线 段 所 张 成 的 三 角 形 面 积 相 等 这 两 条 线 段 不 以 该 交 点
6、 为 端 点 。 牛顿线 DCBANMFELP注图中 P 是过 A 所作的平行线上任意一点则 P 点满足 S PBE S PFD 。 其中线段 BE 和 F D 称为完全四边形的一组“对节”完全四边形共有六组对节。 结 论 4 三 角 形 的 两 个 F e r m a t 点 连 线 和 两 个 N a p o l e o n 点 连 线 的 交 点 是 类 似 重 心 。 AB CFEDOO3O2O1FNFN O K注 1 以AB C 的三边向形外作三个正三角形DC B E AC F B A 其中心记为 O1 O2 O3 。则 AD B E C F 所共之点称作AB C 的 F e r m
7、a t 点( 正等角中心) 记作 F AO1 B O2 C O3 所共之点称作AB C 的 Na p o l e o n 点 记作 N 。 若三个正三角形改为向形内作D B C E C A F AB 其中心记为 O1 O2 O3 。则 AD B E C F 所共之点称作AB C 的第二 F e r ma t 点( 负等角中心) 记作 F AO1 B O2 C O3 所共之点称作AB C 的第二 Na p o l e o n 点记作 N 。 在蚁迹寻踪一书P. 4 6 提到C l a r k Ki mb e r l i n g 的一个结果“三角形的F e r ma t 点、Na p o l e
8、o n点、外心三点共线三角形的 F e r ma t 点、第二 Na p o l e o n 点、九点圆心三点也共线。”即图中 F N O 共线F N O 共线O 表示九点圆心。 事实上三角形的第二 F e r ma t 点 F 第二 Na p o l e o n 点 N 外心 O 三点也共线 三角形的第二 F e r ma t 点 F Na p o l e o n 点 N 九点圆心 O 三点也共线 而且F F 与NN 的交点正是AB C 的类似重心 K 见上图 注 2 深入的探索表明结论 4 与结论 1 有密切联系。下图中同时画出了 F e r ma t 点 F 第二 F e r ma t
9、点 F 等力点 J 第二等力点 J 。此图给出了如下结论 1 G F J 共线G F J 共线。 2 GK O F 交于 J F 中点GK O F 交于 J F 中点。 3 OK O F HF 共点OK O F HF 共点。 由 S c h o u t e 共轴圆系知以 OK 为直径的圆Br o c a r d 圆与过 J J 两点的圆正交由此易说明 O K J J 四点构成调和点列即 G O K J J 构成调和线束。 因此要证明结论 1 改为证明1 G F J 共线以及2 GK 平分 J F 就可以了。 Euler线ABCHFGOFJMJOMK下图中又画出了 Na p o l e o n
10、点 N 、第二 Na p o l e o n 点 N 。与结论 4 相结合可推得如下进一步结论 “N H J 共线N H J 也共线。” AB CHFFOGOKJJNN结 论 5 三 角 形 的 M i t t o n p u n k t 与 S p i e k e r 点 、 垂 心 H 三 点 共 线 。 CBADEFHSpiekerMittonpunkt204年2月27日晚探索得三角形的Mittonpunkt与Spieker点、垂心H三点共线。结 论 6 垂 三 角 形 D E F 的 垂 心 P 与 S p i e k e r 点 Q 都 在 原 三 角 形 A B C 的 外心 与
11、类 似 重 心 的 连 线 B r o c a r d 轴 上 。 CBADEFOPKQ204年2月27日晚探索得垂三角形DEF的垂心P与Spieker点Q都在原三角形ABC的外心与类似重心的连线Brocard轴上。 结 论 7 切 点 三 角 形 D E F 的 九 点 圆 心 图 中 标 为 P 与 垂 心 H 及 G e r g o n n e点 G e 三 点 共 线 。 CBAIHFEDGeP204年2月27日晚探索得切点三角形DEF的九点圆心图中标为P与垂心H及Gergone点Ge三点共线。【0 4 0 3 1 0 】今在几何画板 4 . 0 4 版中创建了 2 0 个工具。但不知
12、如何调整工具的次序。 现象 设AB C 中外心为 O 垂聚点为 X 切聚点为 Y 。发现OYX 总是钝角。 现象 考虑Euler 线的三线极点 P 。当 A 在外接圆上运动时其轨迹是奇怪而漂 亮 的 曲 线 像 拿 破 仑 的 帽 子 轴 对称 。 这 曲线 不 久 前似 曾 相 识 但 却 想不起来了。 现象 当一条直线绕定点 P 旋转其垂极点的轨迹是椭圆。考虑定点 P 和该椭圆 的 依 赖 关 系 前 年 在 钦 州南 路 时 曾 考虑过但未获实质性结论。当 P 取外心时椭圆成为九点圆当 P 在外接圆上时椭圆变成Simson 线借此而得到一个三线共点的结论曾给田廷彦做。后发现在梁绍鸿习题中
13、有一个相关的题 “设 H 是AB C 的垂心M N 是外接圆上两点P 是这两点的西摩松线的交点K 是 H 关于 P 的对称点。求证KMN 的垂心L 在的外接圆上且 L 对于AB C 的西摩松线垂直于MN 而通过 P 点。”复习题三53 。 今发觉当且仅当 P 在形内外时P 在椭圆形内外。问P 取什么点时成为三角形的内切椭圆有无可能性可退而考虑何时和三角形一边相切。 猜想 当 P 和 P 关于外接圆互为反演点时所对应的椭圆离心率是一样的甚至是位似的 【0 4 0 3 1 2 】2 月 2 6 日考虑了如下图形 现象 同时作已知AB C 的内接、外接三角形使它们位似于所给三角形 DE F 。 当D
14、E F 旋转时内、外接的两个位似三角形的位似中心聚点P 的轨迹是二次曲线。 而当 E F 不动仅仅 D 点运动时P 点的轨迹是一条直线。 DEF用来控制形状PF2E2D2F1 E1D1DDEFFAB C拖动点EAB C PEuler线0403102POABCO YI XAB C现象 考虑如下习题“过三角形 AB C 平面上某点 P 作 PA P B P C 的垂线分别与对边 B C C A AB 交于 X Y Z 点则 X Y Z 三点一定共线。”今探索得当 P 在外接圆上时所共线过外心。由此编成如下题目 题目 设 P 是AB C 外接圆上任一点作 PA P B P C 的垂线分别与对边 B
15、C C A AB 交于 D E F 点则 D E F 和外心 O 四点共线。 此题看来并非显然今上午给田廷彦做田看出这实际上是 P a s c a l 定理对自交型圆内接六边形而言。 田说他近日得到如下简单结论 结论 设 B E C F 是AB C 的角平分线则 E F 过重心 G 的充要条件是 1 1 1b c a 。 特别地当A B C 1 2 3 时即A 7 B 27 C 37 求证G E F 共线。 这个结论用重心坐标很容易解释。 现象 考虑三角形 AB C 当底边 B C 及外接圆固定而 A 点在圆上移动时各种特殊点的轨迹。其中类似重心 K 、垂聚点 X 、切聚点 Y 都为椭圆S p
16、 i e k e r 点Mi t t o n p u n k t 为两个 8 字曲线当中那点恰重合B r o c a r d 点像水珠形而 Na p o l e o n 点很复杂就像拿破仑的帽子。 类似重心垂聚点切聚点YXKAB CSpieker点MitonpunktSpMiCABBrocardAB C Napoleon点NNB CAFEDOAB CP04031203G EFAB C【0 4 0 3 1 4 】今用几何画板画“迭代”、“科赫雪花”及旋转的“正六面体” 【0 4 0 3 1 9 】前天晚上给出“非钝角三角形的外心至三边的距离和等于外接圆与内切圆的半径和”梁绍鸿复习题三1 4 一题
17、的另外一种纯几何证法。只需证Rt B F D Rt DJ I 。再注意 MF方向即可。在E B C 中MF 平行于E 的平分线根据阿基米德的结论B F 就等于 E B E C 之半而 E B E C 正等于 HB HC 即O 到相应两边距离之和的两倍。由此 DJ 等于 O 到 AB AC 两边距离之和。 现象 记得 9 0 年代中期陈计问我 AB C 中各边上长度分别为 p p a p p b p p c 的三条 C e v a 线是否共点 陈 计 说 用 不 等 式 易 证 a at p p a m 。 而 长 度 为 p p a 的 C e v a 线有两条上述 C e v a 线指的正是
18、夹在中线和角平分线之间的那条。 我通过较烦的计算算出它分相应边之比然后再用 C e v a 定理断定这三条 C e v a 线一般并不共点。而且还给出了一个有趣的几何解释上述 C e v a 线恰垂直于以 B C 为圆心过 A 点的两圆的外公切线 而这条垂线我在 9 0 年代初的笔记本上就已提到了。 补注昨晚用几何画板重新作图表明这三条 C e v a 线的确是共点的看来当时算错了见下图。0 4 . 3 . 2 1 0403201DAB C04031901FEJDMO IAB C今天重新考虑这个问题又得到了一个新的进展上述 C e v a 线将 AB C 分成两个小三角形的内切圆恰好相等 田廷
19、彦说这是 1 9 8 8 年 I MO 的预选题苏联提供 以前我们还曾讨论过而且他在阶梯奥数中也写到了这题。钟建国也在 E - ma i l 中告诉了这题的来源。 04031902M X TNMAB C中午又得到一个新结论但并不难证 现象 设 AP 是AB C 的任意一条 C e v a 线则AP B AP C 的内切圆的另外一条内公切线一定经过AB C 的内切圆和底边 B C 的切点 D 04031903I 2I1DIAB CP当AB C 是直角三角形C 90 且 C H AB 时此图有很多特殊的性质有两个常见题涉及此图一是说斜边上的高 C H 等于这三个圆的半径和此题曾作为1959 年的基
20、辅数学竞赛题七年级297 一是说 r12 r22 r 2 。前者只需利用直角三角形中 r p a 而后者相当于勾股定理。 作出I1I2 的另外一条外公切线 MN 。下图表明这时有很多相等的线段P Q DH E E1DD1 D2H F F1 DD2 D1H 并有六个三线共点 图中用虚线 显示。设高 C H 和外公 切线MN 的交点为 L 则 L 到 C I1 I2 三点等距而且这时 L I1 L I2 的方向也与直角边平行。 04031904LDNMD2F1Q I 2PE1D1I 1HFEICA B【0 4 0 3 2 1 】初中数学竞赛辅导讲座上海科技出版社 1 9 8 7 年版杜锡录的讲座中
21、有一道常见题“设 P 为正三角形 ABC 外接圆 B C 弧上的任意一点C P 的延长线交 AB 的延长线于 E 点B P 的延长线交 AC 的延长线于 F 点。求证B C2 B E C F 。思考题 9 3 ” 只需证明E B C B C F 即可。 此题可推广为昨天晚上得到 推广 设 P 为AB C 外接圆上任意一点C P 的延长线交 AB 的延长线于 E 点B P 的延长线交 AC 的延长线于 F 点。又设 AC 边的垂直平分线交 AB 于 J AB 边的垂直平分线交 AC 于 K 。求证J E KF 定值。 04032102KJFEOAB CP04032101FEAB CP同样可以证明
22、E J C B KF 。其中E J C B KF 2 A 另两组对应角亦不难说明其相等。由此 J E KF B K CJ AK AJ b c /(4cos2A) 。 利用上述两三角形相似还可编出如下一题“设 P 为AB C 外接圆上任意一点C P的延长线交 AB 的延长线于 E 点B P 的延长线交 AC 的延长线于 F 点。AC 的垂直平分线交 AB 于 J AB 的垂直平分线交 AC 于 K 。求证C E2 B F2 AJ J E AK KF 。” 事实上此图中还蕴含进一步信息如下左图设 D 是外接圆 B C 处切线的交点即旁类似重心 则 DJ AC DK AB 。且在 B J O K C
23、 D 六点所共圆中 注梁绍鸿中有一个习题提到 B J O K C 五点共圆见习题十六1 0 。J K B D C D 三条弦相等。记其圆心为 M 即 OD 的中点 则 M 对这三条弦的张角均为 2 A M 至这三条弦的距离均为 12 R 。 上述现象还有一个解释当 A 点在外接圆上移动时直线 J K 的包络是以 M 为心的圆其大小为外接圆之半。 04032103MDKJOB CA04032104J KD FEOAB P C由 P a s c a l 定理的特例不难说明图中的 D 点和上图中的 E F 三点共线。加上 DJ AC DK AB 就可给出上面推广的另外一种证法E J J A E D
24、DF AK KF 见上右图。 设 I 1 是 B C 边外的旁心。类似于 0 4 0 3 2 1 0 3 图过 I 1 作 I 1E AC 交 AB 于 E 作 I 1F AB 交 AC 于 F 。不难确定外心 O 到直线 E F 的距离为 B S / 2 其中S 是弧 B C 的中点。也即当 A 点在外接圆上移动时直线 E F 的包络也是圆以外心 O 为圆心其大小为 S I 之半。 其实这个结论近乎平凡它是“鸡爪定理”S I S I 1 S B S C 的直接推论。 04032105SFEI1OAB C04032107SIE FIOAB C类似地过内心 I 作平行线 I E 和 I F 则
25、O 到 E F 的距离仍是 S I 之半见上面右图。 但如过类似重心 K 作这样的两条平行线 KE 和 KF 则直线 E F 之包络就是像下面左图所示的馒头曲线了。 FEKAB C04032108OFEHOAB C当取垂心 H 时结论十分有趣E F 的包络是一个椭圆以底边 B C 为短轴以外心O 为一个焦点该椭圆的长轴等于外接圆的直径见上面右图。 而当取九点圆心时的情形则更为有趣E F 的包络是二次曲线以 B C 的垂直平分线为长轴以 OM 的中点为中心M 是 B C 中点 而且该二次曲线的长轴与外接圆的直径之比为 3 4 。 当A 等于 30 时此时椭圆恰以 O M 为焦点当A 在 40 左
26、右时二次曲线成为圆。注意这条二次曲线并不总是过 B C 两点的当A 小于某一临界角约 36 左右时该二次曲线过 B C 两点一旦大于临界角就不过 B C 两点了。 当A 大于120 时包络就变为双曲线。但它的离心率如何刻划呢 mBOC = 64.6804032109FENiMOAB C这个图形奥妙无穷还有待继续研究。 最为有趣的是九点圆心Ni 关于EF 的轴对称点的轨迹。它有时像一只苹果不知会否成为心脏线 有时像一只柠檬有时像一只芒果有时又像一只葫芦。真是变幻莫测 0403210F ENiOBCANiOBCANiOB CA0403210FENiOBCA【0 4 0 3 2 9 】3 月 2 6
27、 日五晚考虑了如下轨迹 设XOY 是定角P 是平面上动点P 在 OX OY 上的射影分别为 A B 。 最简单的情形是 模式0 使线段 AB 的长度为定值之 P 轨迹是以 O 为中心的圆。 备考梁绍鸿习题十6 “过圆上任意一点向固定的两直径作垂线。求证两垂足的距离为定长。” 模式1 使OAB 的面积为定值之 P 轨迹是以 O 为中心垂直于 OA OB 的两直线为渐近线的双曲线。 04032601P BOX YA模式2 使四边形 OAP B 面积为定值之 P 轨迹是以 O 为中心的等轴双曲线。 04032602A BXOYP3 月 2 8 日日又继续考虑如下轨迹 模式3 使OAB 的周长为定值之
28、 P 轨迹也是双曲线以顶点 O 为一个焦点。其中心是OAB 的曼海姆Ma n n h e i m 圆的圆心 M 。 注当OAB 的周长为定值时底边AB 的包络是一个圆即OAB 的旁切圆是个定圆 OAB的外接圆的包络也是一个圆称为Ma nnhe i m 圆记为M它也嵌于XOY 内其切点连线恰好经过OAB 的旁心。旁切圆I 与Ma nnhe i m 圆M 之比为 2c o s 2A 。 备考梁绍鸿总复习题39 “设A 是定圆I 外的定点过A 作I 的切线AXAY又任意作切线交AXAY 于BC。则ABC 的外接圆常切于某一定圆。”Ma nnhe i m 定理 04032801MPBAXOYI模式4
29、为使连线 AB 经过定点 C 则 P 之轨迹是经过顶点 O 的双曲线其中心 D 可如下确定先作平行四边形 C E OF 再过 E F 分别作 OX OY 的垂线其交点即为 D 。 而且猜想该双曲线的对称轴恰与XOY 的角平分线平行这一点绝非是显然的 当 P 取双曲线顶点时直线 OC 好像穿过OAB 的 Mi t t o n p u n k t 。 04032802D FEPBXOYCA今天考虑最重要的情况 模式5 当 OA 和 OB 之间是线性关系时即动点 A 和动点 B 构成XOY 两边之间的仿射对应 这时OAB 的外接圆恒经过定点 MMi q u e l 点 直线 AB 的包络是以 M 为
30、焦点的抛物线此即 Ap o l l o n i u s 所发现的定理见一百个著名初等数学问题历史和解。 P 的轨迹是一条经过 M 点的直线l 它与 OM 垂直。设l 与XOY 两边的交点为 L N 再作它们在另一边上的射影 F E 则 E F 连线是该抛物线的准线。设该抛物线与XOY两边的切点为 C D 则 C D 满足MC O MON MDO MOL 即MC O MOD 而动三角形 MAB 的形状也始终保持与它们相似相对OC D 来说M 点是其第二 B r o c a r d 三角形的顶点而且 Ap o l l o n i u s 还告诉我们C A AO OB B D AG GB 其中 G
31、是 AB 对于抛物线的切点。 04032901GDCBAEFMOL NP当 A B 取 M 在XOY 两边的射影时线段 AB 的长度达到最小值此时它是抛物线过顶点的切线即抛物线的 S i ms o n 线它是夹在 Mi q u e l 点 M 及准线 E F 之间的中位线。 下图是研究上述抛物线的 S i ms o n 线 AB 和准线 E F 之间的关系时提出的。 04032902A2C2B2F 1F 2E 1E 2K C1B1A1D 2 D 1F2F1E2E1D2 D1F EDAB C图中AB C 是一个任意三角形AD B E C F 是三边上的高。 再作 D E F 在相邻两边上的射影
32、D1 D2 E1 E2 F1 F2 以及 D E F 关于相邻两边的轴对称点 D1 D2 E1 E2 F1 F2 。显然D1 E F D2 四点是共线的且所共直线与D1D2 连线关于 D 点是 1 2 的位似关系。设 D1D2 E1E2 F1F2 两两的相应交点为 A1 B1 C1 不难说明AB C 和A1B1C1 是透视关系且透视中心恰是AB C 的类似重心 K 。 可以说明D1D2 E1E2 F1F2 是三条长度相等的线段其长度为 2 R s i n As i n B s i n C 即/ R 且 D1 D2 E1 E2 F1 F2 六点共圆即著名的 Ta y l o r 圆。 备考梁绍鸿
33、习题十六28 “三角形每边上的高线足在他两边上的射影凡六点共圆。这圆叫做三角形的泰罗Ta yl or 圆系塔刻圆之一。”又总复习题47 “三角形的泰罗圆心是垂三角形的斯皮克圆心之一。” 48 “三角形的外心、泰罗圆心、垂三角形的垂心三者共线。” 另外还可注意到 D1 D2 E1 E2 F1 F2 六点位于同一圆锥曲线上。 再连接 F1 E2 D1 F2 E1 D2 以围成A2B2C2 。 首先可以注意到A2D1 D2 B2E1 E2 C2 F1 F2 都是等腰三角形这表明A2B2C2 位似于AB C的垂三角形的垂三角形所以它的形状不太稳定。其次几何画板表明AB C 和A2B2C2也是透视的问透
34、视中心是AB C 的什么特殊点呢它与类似重心 K 离得较近可能不是一个熟知的特殊点。 【0 4 0 3 3 0 】现将上面模式 5 中 OA 和 OB 之间的线性关系具体化。设 M 在角的两边上的射影为 A0 B0 。 由于 OA/ OC OB / OD 1 而 OC OM A0B0/ MB0 OD OM A0B0/ MA0 。将代入得 OA MB0 OB MA0 OM A0B0 。 就是 OA 和 OB 之间线性关系的具体表达式其系数MA0 MB0 是 Mi q u e l 点 M 至角的两边之距离。如等式两边除以OM 则式可改写为 040300BAB0A0MOL NPOA c o s N
35、OB c o s L A0B0 。 由此改编为如下习题“在AB C 中D 是底边 B C 上的动点。过 D 作 DE AC DFAB 垂足为 E F 。求证AE c o s B AF c o s C 为定值。”定值为 2 R s i n As i n B s i n C 即/ R 。 0403301F EAB CD04033002EFX YAB CD证明过 A 作 AX AC AY AB 分别交 B C 于 X Y 。则 AE c o s B AE E C / C DXD AF c o s C AF F B / B D DY AE c o s B AF c o s C XY 为定长。 而 XY
36、 的长度表达式为 a t a n B t a n C 可巧用面积说明如下XY/ B C AXY/ AB CAX AY s i n 180 A / AB AC s i n A AX/ AC AY/ AB t a n B t a n C 。 课题 与完全四边形的四边同时相切的那条抛物线以 Mi q u e l 点为焦点以垂心线为准线的四个切点之研究。 根据 Ap o l l o n i u s 的定理这四个切点在各条直线上的位置是很容易确定的。但换个不同的角度去看待这些切点是颇有趣的如以某个基本三角形作为立足点则第四边上的切点就成了 Me n e l a u s 截线上面的某个特殊的点。现将问题具
37、体化 AB C 是一个给定的三角形DE F 是一条任意的 Me n e l a u s 截线。则 DE F 上存在一点T 同时满足 BD FTDC TE CE DTEA TF AF ETFB TD 。姑且将 T 称作截线 DE F 的“抛切点”。 关于“抛切点”今探索得两个结论 结论1 当截线 DE F 平行移动时“抛切点”T 的轨迹是同时经过三个顶点 A B C 的抛物线其对称轴与截线 DE F 平行。其焦点轨迹是三叶形高次曲线。 结论2 当截线 DE F 绕定点 P 旋转时“抛切点”T 的轨迹是经过三个顶点的三叶曲线每支有点像双曲线估计是三次的。当 P 跑到AB C 形外时其中两支便交汇于
38、 P 点见下面右图。 0403304TDEAB CPF0403304TDEAB CPF04033003TDEAB CF至于当截线 DE F 取外接圆的切线时“抛切点”的轨迹十分复杂无法加以考虑。 下 面同时 画出完 全四边 形的四 个“抛 切点”。这四 个“ 抛切点 ”所构 成的四 点 形与 原完全四边形具有共同的“对角三角形”。这实际上就是马克劳林定理。事实上将下述命题中的圆改为圆锥曲线结论也成立而抛物线正是特殊的圆锥曲线。 备考梁绍鸿复习题三110 “圆上四点两两相连组成一完全四角形即四点形 又过每点作圆的切线交成一完全四边形这两形必有共同的对角三角形。本题称马克劳林Ma c l a ur
39、 i n 1698 1746 定理。” 在 这个图 形中 进一步 画出“ 抛切点 ”所构 成的四 点形 之“九 点二次 曲线”探索 得到如下重要的结论 猜想 完全四边形的 Ne wt o n 线是由四个“抛切点”所构成的四点形的九点二次曲线的一条渐近线 由于抛物线上的四点所构成的四点形总是凸的故其九点二次曲线必是双曲线。 Newton线0403305核心T4T1Miquel点T2 T3 FEABC D对角三角形另外今天还顺便发现 猜想 四点形的“核心”也在其九点二次曲线上。 备考梁绍鸿48 例题51 “四点两两连成四个三角形它们的九点圆共点。” 全书最后的习题19 20 也与此有关。亦可参见近
40、代欧氏几何学第14 章“虽无疑有其更早的来源但却是由Ha ppa ch 于1912 年整理的”。但两本书中都未给出所共点的名称现约定将此点称作四点形的“核心”。 当四点共圆时的特例见梁绍鸿复习题三47 “在一圆内接完全四角形中求证下列十七条直线、四个圆会于一点 1 每顶点至他三顶点所连成三角形的垂心的连线凡四线 2 每顶点对于他三顶点所连成三角形的西摩松线凡四线 3 自每边中点所引对边的垂线凡六线 4 自每对角点所引过此点两边的中点连线的垂线凡三线 5 每三顶点所连成三角形的九点圆凡四圆。” 这样一来也许将九点二次曲线改名为“十点二次曲线”更为妥当。 下面考虑模式 5 中的两个面积极值问题。
41、1 何时OAB 的面积最大 这个问题的答案是过顶点 O 作 OE OF 垂直于角的两边分别交直线 L N 于 E F 当 P 取 E F 的中点时OAB 的面积最大。此时 A B 分别是 OC OD 的中点故OAB的最大面积是OCD 面积的四分之一。 有趣的是当取极值时四边形 OAMB 恰好是“调和四边形”。即对边乘积相等的共圆四边形其两条对角线关于外接圆共轭。“调和四边形”指顶点是正方形的反演像。 04033006DCMBAPE FOL N2 何时四边形 OAP B 的面积最大 这个问题的答案是当直线 OP 经过OL N 的外心即 AB 平行于底边 L N 时四边形 OAP B 的面积最大。
42、 040307面积 OAPB = 16.64 厘米2外心BAOP至于和模式 4 有关的极值问题则大多为人熟知 当 AB 被 C 点平分时OAB 的面积最小。 040308BB0A0XOYCA作过 C 点且与角的两边相切的圆这样的圆共可作两个指的是其中较大的一个当 AB 是该圆切线时OAB 的周长最小。 注如果画其中较小的那个圆那么当 AB 是该圆切线时OA OB AB 达到最小。C l a r k Ki mb e r l i n g 在文献中将 OA OB AB 称为“迂回量”d e t o u r 。 040309B0A0BXOYCA过顶点 O 作 AB 的垂线 OH H 是垂足。当 AC
43、HB 时AB 的长度达到最小。此即斐洛P h i l o 问题它是尺规作图不能问题。 04033010HBOX YCA那么何时四边形 OAP B 的面积或周长取极值呢于此今晚还未探索出结果来估计也不会有太好的结果。 【0 4 0 3 3 1 】今探索了昨晚最后所提出的问题结果出乎意料的好与斐洛问题几乎异曲同工。 猜想 定角XOY 内有一定点 C AB 是过 C 的一条动截线A B 处的垂线交于 P 。设 OP 与 AB 的交点为 Q 。当 AQ 和 C B 相等时四边形 OAP B 的面积达到极大值。 0403101QB = 3.16025 厘米AC = 3.3859 厘米面积 OAPB =
44、15.68627 厘米2周长 OAPB = 16.67 厘米QPBOX YCA由此可编出如下题目“已知 PA OA P B OB OP 和 AB 交于 Q 点。在 AB 上取一点 C 满足 AQ C B 。过 C 任作一条直线 A B 过 A B 分别作 OA OB 的垂线设两垂线交于 P 。求证四边形 OA P B 的面积四边形 OAP B 的面积。 等号仅当A B 与 AB 重合时达到。” 04033102面积 PAOB = 42.05498 厘米2面积 OAPB = 41.16531 厘米2PBCQ BAOX YPA至于四边形 OAP B 的周长也有一个极好的猜想。 猜想 定角XOY 内
45、有一定点 C AB 是过 C 的一条动截线A B 处的垂线交于 P 。当四边形 OAP B 的周长达到极小值时P 恰是其轨迹所在双曲线的一个顶点 Mi 到 OC 的距离 = 0.091 厘米周长 OAPB = 2.95341 厘米0403103MiPBOX YCA 周长 O拖动APB = 23.7459 厘米m P = 8.31510 厘米04033104MiPDPBXOYC拖动A从上右图可以看出四边形 OAP B 的周长与线段 P P 的长度同时达到最小值。这时AB C 的 Mi t t o n p u n k t 与直线 OC 的距离很近但并不为 0 。 晚上又仔细考察了模式 3 中的双曲线。其实过 Ma n n h e i m 圆的圆心 M 所作的角两边的垂线就是该双曲线的两条渐近线而 Ma n n h e i m 圆的两个切点连线必经过 I 点 就是双曲线的一条准线。双曲线的离心率自然为定角XOY 之半的余割。 04033107MPBAOIC根据上面的事实
