1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【全国卷 3】适应地区：（重庆、四川、广西、陕西） ；考试时间：120 分钟；编辑：韦绵辉第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）1设集合 , ,则 （ ） 。0)3(2xS0xTTSA B C D32， ,，)3， ),320(，2若 ,则 （ ）iz14ziA B C D1ii3已知向量 则 （ ）， )23()2(ABA B C D 045601204某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的
2、雷达图。图中 点表示十月的平均最高气温约为 ， 点表示四月的平均最低A5B气温约为 。下面叙述不正确的是 ( )C5A.各月的平均最低气温都在 以上 0B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.平均最高气温高于 的月份有 个 25D.三月和十一月的平均最高气温基本相同5若 ，则 （ ）43tan2sinco2A B C D 2658125166已知 （ ） 。42133,abcA B C Daacbbac7执行右面的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 ( )6,4banA B C D3456（第 7 题图） （第 10 题图）8在 中， ， 边上的高等于 ，则 （ ）ABC4BBC31Acos
3、A. B. C. D.1031001039如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A. B. C. D.53685849810在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球。若 ， ，1CBAVBCA6， ，则 的最大值是（ ）BC1AVA B C D 42963211.已知 为坐标原点， 是椭圆 ： 的左焦点， ， 分别为OF)0(12bayxAB的左，右顶点。 为 上一点，且 轴。过点 的直线 与线段 交于点 ，CPCPAlPFM与 轴交于点 。若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ）yEBMOECA B C D3121324312.定义“规范
4、 数列” 如下： 共有 项，其中 项为 ， 项为 ，且对任意0nanm0m1， 中 的个数不少于 的个数。若 ，则不同的“规范 数列”mk2k.,321010共有（ ）A B C D个8个16个4个12第 II 卷（非选择题）二、填空题（每空 5 分，共 20 分,只要求在每道题相应的横线上填写最后结果。仔细审题。）13若 满足约束条件 ， 则 的最大值为_yx,021yxyxz14函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移cos3sin xcos3sin_个单位长度得到。15已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点)(xf0xxf)l()(xfy处的切线方程式是 31(，16已知直线 ： 与圆
5、 交于 两点，过 分别作l3myx122yxBA,的垂线与 轴交于 两点，若 ，则 lDC,ABCD评卷人 得分三、解答题本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。（17 ） （本小题满分 12 分）已知数列 前 项和 ,其中nannaS10（）证明 是等比数列，并求其通项公式； （）若 ，求 。na 325（18 ） （本小题满分 12 分）下图是我国 年至 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图。20814注：年份代码 分别对应年份 。7120148（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；yt（）建立 关于 的回归方程
6、（系数精确到 ） ，预测 年我国生活垃圾无害化处yt .2016理量.附注：参考数据： ， ， ， 。32.971ni 17.4071niyt 5.)(1niy64.27参考公式：相关系数 回归方程 中斜率和截距的niniiiytr1122)()( tbay最小二乘估计公式分别为： ， 。niiitb12)(tbya（19 ） （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中， 底面 ， ，ABCDPABCD3,/ACDB。 为线段 上一点， ， 为 的中点。4BPAMM2NP（）证明 平面 ；/N（）求直线 与平面 所成角的正弦值。（20 ） （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行
7、于 轴的两条直线 分别交 于 ，Cxy2Fx21,lCA两点，交 的准线于 两点。BQP,（）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；FABRFQAR/（）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程。FB（21 ） （本小题满分 12 分）设函数 ，其中 ，记 的最大值为 。)1)(cos2cos)( xaxf a)(xfA（）求 ； （）求 ； （）证明 。xAAf2(请考生在 2224 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。（22 ） （本小题满分 10 分）选修 ：几何证明选讲14如图， 中弧 的中点为 ，弦 ， 分别交 于 两点。OABPCDABFE,（）若 ，求 的大小
8、；CDPF2（）若 的垂直平分线与 的垂直平分线交于点 ，证明 。EGCDO（23 ） （本小题满分 10 分）选修 ：坐标系与参数方程4在直线坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） 。以坐标xoy1Csinco3yx原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为2C。2)4sin(（）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；1C2（）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值及此时 的直角坐标。PQCPP（24 ） （本小题满分 10 分） ，选修 ：不等式选讲54已知函数 axf2)(（）当 时，求不等式 的解集；a6)(f（）设函数 ，当 时， ，求 的取值范围。1)(
9、xgR3)(xgfa2016 年全国统一高考数学试卷（新课标） （理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 S=x|（x2） （x 3）0 ，T=x|x 0 ，则 ST=（ ）A2，3 B （ ，23，+ ） C3，+） D （0，23 ，+）【考点】交集及其运算菁优网版权所有【分析】求出 S 中不等式的解集确定出 S，找出 S 与 T 的交集即可【解答】解：由 S 中不等式解得：x2 或 x3，即 S=（ ，23 ，+） ，T=（0，+） ，ST=（0，23，+） ，故选：D【点评】此题
10、考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）若 z=1+2i，则 =（ ）A1 B1 Ci Di【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可【解答】解：z=1+2i，则 = = =i故选：C【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力3 （5 分）已知向量 =（ ， ） ， =（ ， ） ，则ABC=（ ）A30 B45 C60 D120【考点】数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出 cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 的值【
11、解答】解： ， ； ；又 0ABC180；ABC=30故选 A【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角4 （5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15，B 点表示四月的平均最低气温约为 5，下面叙述不正确的是（ ）A各月的平均最低气温都在 0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于 20的月份有 5 个【考点】进行简单的合情推理菁优网版权所有【分析】根据平均最高气
12、温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可【解答】解：A由雷达图知各月的平均最低气温都在 0以上，正确B七月的平均温差大约在 10左右，一月的平均温差在 5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为 10，正确D平均最高气温高于 20的月份有 7，8 两个月，故 D 错误，故选：D【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键5 （5 分）若 tan= ，则 cos2+2sin2=（ ）A B C1 D【考点】三角函数的化简求值菁优网版权所有【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（co
13、s 2+sin2） ，再将“ 弦”化“切” 即可得到答案【解答】解：tan= ，cos2+2sin2= = = = 故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值， “弦”化“ 切”是关键，是基础题6 （5 分）已知 a=2 ，b=3 ，c=25 ，则（ ）Abac Ba bc Cbc a Dcab【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用菁优网版权所有【分析】b=4 = ，c=25 = ，结合幂函数的单调性，可比较 a，b，c，进而得到答案【解答】解：a=2 = ，b=3 ，c=25 = ，综上可得：bac ，故选 A【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调
14、性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档7 （5 分）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（ ）A3 B4 C5 D6【考点】程序框图菁优网版权所有【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a，b，s，n 的值，当 s=20 时满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10， n=2不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满
15、足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=20， n=4满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s 的值是解题的关键，属于基础题8 （5 分）在ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 cosA=（ ）A B C D【考点】三角形中的几何计算菁优网版权所有【分析】作出图形，令DAC= ，依题意，可求得cos= = = ，sin= ，利用两角和的余弦即可求得答案【解答】解：设ABC 中角 A、B、C 、对应的边分别为 a、b、c ，ADBC 于 D，令DAC=，在 ABC 中，
16、B= ，BC 边上的高 AD=h= BC= a，BD=AD= a，CD= a，在 RtADC 中，cos = = = ，故 sin= ，cosA=cos（ +）=cos cossin sin= = 故选：C【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC= ，利用两角和的余弦求 cosA 是关键，也是亮点，属于中档题9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A18+36 B54+18 C90 D81【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答案【解答】解：
17、由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，其底面面积为：3 6=18，前后侧面的面积为：3 62=36，左右侧面的面积为：3 2=18 ，故棱柱的表面积为：18+36+9 =54+18 故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键10 （5 分）在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若ABBC，AB=6，BC=8 ，AA 1=3，则 V 的最大值是（ ）A4 B C6 D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【分析】根据已知可得直三棱柱 ABCA1B1C1 的内切球半径为 ，代入球的
18、体积公式，可得答案【解答】解：AB BC，AB=6，BC=8，AC=10故三角形 ABC 的内切圆半径 r= =2，又由 AA1=3，故直三棱柱 ABCA1B1C1 的内切球半径为 ，此时 V 的最大值 = ，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键11 （5 分）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： + =1（ab0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点M，与 y 轴交于点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）A B C D【考点】椭圆的
19、简单性质菁优网版权所有【分析】由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 y=k（x+a） ，分别令x=c，x=0 ，可得 M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设 F（c，0） ，A（a，0） ，B （a，0） ，令 x=c，代入椭圆方程可得 y=b = ，可得 P（c， ） ，设直线 AE 的方程为 y=k（x+a ） ，令 x=c，可得 M（ c，k（ac） ） ，令 x=0，可得 E（0，ka ） ，设 OE 的中点为 H，可得 H（0， ） ，由 B，H，M 三点共线，可得 kB
20、H=kBM，即为 = ，化简可得 = ，即为 a=3c，可得 e= = 故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题12 （5 分）定义“规范 01 数列”a n如下：a n共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k2m， a1，a 2，a k 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有（ ）A18 个 B16 个 C14 个 D12 个【考点】数列的应用菁优网版权所有【分析】由新定义可得， “规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且
21、所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，当 m=4 时，数列中有四个 0 和四个 1，然后一一列举得答案【解答】解：由题意可知， “规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1
22、，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共 14 个故选：C【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分） （2015 新课标 II）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 【考点】简单线性规划菁优网版权所有【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在 y 轴的截距最大值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时
23、，z 最大，由 得 D（1， ） ，所以 z=x+y 的最大值为 1+ ；故答案为： 【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：画出平面区域；分析目标函数，确定求最值的条件14 （5 分）函数 y=sinx cosx 的图象可由函数 y=sinx+ cosx 的图象至少向右平移 个单位长度得到【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【分析】令 f（x）=sinx+ cosx=2in（x+ ） ，则 f（x）=2in（x+ ） ，依题意可得2in（x+ ）=2in（x ） ，由 =2k （k Z） ，可得答案【解答】解：y=f（x）=sinx+ cosx=2in（x+ ） ，
24、y=sinx cosx=2in（x ） ，f（ x）=2in （x+ ） （0） ，令 2in（x+ ）=2in（x ） ，则 =2k （kZ） ，即 = 2k（kZ） ，当 k=0 时，正数 min= ，故答案为： 【点评】本题考查函数 y=sinx 的图象变换得到 y=Asin（ x+） （A0， 0）的图象，得到 =2k （kZ）是关键，也是难点，属于中档题15 （5 分）已知 f（x）为偶函数，当 x0 时，f （x）=ln（x）+3x，则曲线 y=f（x）在点（1，3 ）处的切线方程是 2x+y+1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【分析】由偶函数的定义，可得
25、 f（x）=f（x） ，即有 x0 时，f（x）=lnx3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）为偶函数，可得 f（ x）=f （x） ，当 x0 时，f（x）=ln（ x）+3x，即有x0 时，f（x）=lnx 3x，f （x）= 3，可得 f（1）=ln1 3=3，f（1）=13=2，则曲线 y=f（x）在点（1，3 ）处的切线方程为 y（3）=2（x 1） ，即为 2x+y+1=0故答案为：2x+y+1=0【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题16 （5 分）已知直线 l：mx+y+3m
26、=0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若 |AB|=2 ，则|CD|= 4 【考点】直线与圆相交的性质菁优网版权所有【分析】先求出 m，可得直线 l 的倾斜角为 30，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：由题意，|AB|=2 ，圆心到直线的距离 d=3， =3，m=直线 l 的倾斜角为 30，过 A， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，|CD|= =4故答案为：4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （
27、12 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn=1+an，其中 0（1）证明a n是等比数列，并求其通项公式；（2）若 S5= ，求 【考点】数列递推式；等比关系的确定菁优网版权所有【分析】 （1）根据数列通项公式与前 n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可（2）根据条件建立方程关系进行求解就可【解答】解：（1）S n=1+an，0an0当 n2 时，a n=SnSn1=1+an1an1=anan1，即（1 ）a n=an1，0，a n01 0即 1，即 = ， （n2） ，an是等比数列，公比 q= ，当 n=1 时，S 1=1+a1=a1，即 a1= ，an= （
28、 ） n1（2）若 S5= ，则若 S5=1+（ （ ） 4= ，即（ ） 5= 1= ，则 = ，得 =1【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据 n2 时，a n=SnSn1 的关系进行递推是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力18 （12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码 17 分别对应年份 20082014（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据： yi
29、=9.32， tiyi=40.17， =0.55， 2.646参考公式：r= ，回归方程 = + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：= ， = 【考点】线性回归方程菁优网版权所有【分析】 （1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的 t 值为 9，代入可预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量【解答】解：（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：r= = 0.996，0.996 0.75，故 y 与 t 之间存在较强的正相关关系；（2）
30、= = 0.10，= 1.3310.1040.93，y 关于 t 的回归方程 =0.103+0.93，2016 年对应的 t 值为 9，故 =0.109+0.93=1.83，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量为 1.83 亿吨【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC的中点（1）证明：MN平面 PAB；（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面
31、平行的判定菁优网版权所有【分析】 （1）法一、取 PB 中点 G，连接 AG，NG，由三角形的中位线定理可得 NGBC，且 NG= ，再由已知得 AMBC，且 AM= BC，得到 NGAM，且 NG=AM，说明四边形 AMNG 为平行四边形，可得 NMAG，由线面平行的判定得到 MN平面 PAB；法二、证明 MN平面 PAB，转化为证明平面 NEM平面 PAB，在PAC 中，过 N 作NEAC，垂足为 E，连接 ME，由已知 PA底面 ABCD，可得 PANE，通过求解直角三角形得到 MEAB，由面面平行的判定可得平面 NEM平面 PAB，则结论得证；（2）连接 CM，证得 CMAD，进一步得
32、到平面 PNM平面 PAD，在平面 PAD 内，过 A作 AFPM，交 PM 于 F，连接 NF，则ANF 为直线 AN 与平面 PMN 所成角然后求解直角三角形可得直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值【解答】 （1）证明：法一、如图，取 PB 中点 G，连接 AG，NG，N 为 PC 的中点，NGBC，且 NG= ，又 AM= ，BC=4 ，且 ADBC，AMBC，且 AM= BC，则 NGAM，且 NG=AM，四边形 AMNG 为平行四边形，则 NMAG，AG平面 PAB，NM平面 PAB，MN平面 PAB；法二、在PAC 中，过 N 作 NEAC，垂足为 E，连接 ME，在ABC
33、中，由已知 AB=AC=3，BC=4 ，得 cosACB= ，ADBC，cos ，则 sinEAM= ，在EAM 中，AM= ，AE= ，由余弦定理得：EM= = ，cosAEM= ，而在ABC 中，cos BAC= ，cosAEM=cosBAC，即 AEM=BAC，ABEM，则 EM平面 PAB由 PA底面 ABCD，得 PAAC，又 NEAC，NEPA，则 NE平面 PABNEEM=E，平面 NEM平面 PAB，则 MN平面 PAB；（2）解：在AMC 中，由 AM=2，AC=3 ，cosMAC= ，得CM2=AC2+AM22ACAMcosMAC= AM2+MC2=AC2，则 AMMC，P
34、A底面 ABCD，PA 平面 PAD，平面 ABCD平面 PAD，且平面 ABCD平面 PAD=AD，CM平面 PAD，则平面 PNM平面 PAD在平面 PAD 内，过 A 作 AFPM，交 PM 于 F，连接 NF，则ANF 为直线 AN 与平面PMN 所成角在 RtPAC 中，由 N 是 PC 的中点，得 AN= = ，在 RtPAM 中，由 PAAM=PMAF，得 AF= ，sin 直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题20 （12 分）已知抛物线 C：
35、y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l 2 分别交 C 于A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点（）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程菁优网版权所有【分析】 （）连接 RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA= PRF，即可证明ARFQ；（）利用PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求出 N 的坐标，利用点差法求 AB 中点的轨迹方程【解答】 （）证明：连接 RF，PF，由 AP=AF，BQ=BF 及 APBQ，得AFP+BFQ=1
36、80，PFQ=90，R 是 PQ 的中点，RF=RP=RQ，PARFAR，PAR=FAR，PRA= FRA，BQF+BFQ=180QBF=PAF=2PAR，FQB=PAR，PRA=PRF，ARFQ（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，F（ ，0） ，准线为 x= ，SPQF= |PQ|= |y1y2|，设直线 AB 与 x 轴交点为 N，SABF= |FN|y1y2|，PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，2|FN|=1， xN=1，即 N（1，0） 设 AB 中点为 M（x，y） ，由 得 =2（x 1x2） ，又 = ， = ，即 y2=x1AB 中点轨迹方程为 y2=x
37、1【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题21 （12 分）设函数 f（x）=acos2x+ （a1） （cosx+1） ，其中 a0，记 f（x）的最大值为A（）求 f（x ） ；（）求 A；（）证明：|f（x）| 2A【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【分析】 （）根据复合函数的导数公式进行求解即可求 f（x） ；（）讨论 a 的取值，利用分类讨论的数学，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（）由（I） ，结合绝对值不等式的性质即可证明： |f（x）| 2A【解答】 （I）解：f （x）= 2asin2x（a1）sinx （
38、II）当 a1 时，|f（x）|=|acos2x+（a1） （cosx+1）| a+2（a 1）=3a2=f（0） ，因此A=3a2当 0a1 时，f （x）等价为 f（x）=acos2x+（a 1） （cosx+1 ）=2acos 2x+（a1）cosx 1，令 g（t）=2at 2+（a1）t 1，则 A 是|g（t） |在 1，1 上的最大值，g（ 1）=a，g（1）=3a2，且当 t= 时， g（t）取得极小值，极小值为 g（ ）= 1= ，令1 1，得 a （舍）或 a 因此 A=3a2g（1） =a，g（1）=3a+2 ，a3a+2 ， t=1 时，g（t）取得最大值， g（1）=
39、3a+2 ，即f（x）的最大值为 3a+2综上可得：t=1 时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即 f（x）的最大值为 3a+2A=3a+2当 0a 时，g（t）在（ 1，1）内无极值点，|g（1）|=a，|g（1）|=2 3a，|g（ 1）|g（1 ）|，A=23a，当 a1 时，由 g（1）g（1）=2（1 a）0，得 g（1）g（1）g（ ） ，又|g （ ） g（1）|= 0，A=|g（ ）|= ，综上，A= （III）证明：由（I）可得：|f（x）|=| 2asin2x（a 1）sinx|2a+|a1|，当 0a 时，|f（x）|1+a2 4a2（23a ）=2A ，当 a1
40、 时，A= = + + 1，|f（ x） |1+a2A，当 a1 时，|f（x）|3a 16a4=2A，综上：|f（x）| 2A【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系，以及换元法，转化法转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键综合性较强，难度较大请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，O 中 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点（1）若PFB=2PCD ，求PCD 的大小；（2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，
41、证明：OG CD【考点】与圆有关的比例线段菁优网版权所有【分析】 （1）连接 PA，PB，BC，设PEB=1，PCB= 2，ABC= 3，PBA=4， PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得 E，C，D，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求PCD 的度数；（2）运用圆的定义和 E，C， D，F 共圆，可得 G 为圆心，G 在 CD 的中垂线上，即可得证【解答】 （1）解：连接 PA，PB，BC，设PEB= 1，PCB= 2，ABC= 3，PBA=4， PAB=5，由 O 中 的中点为 P，可得 4=5，在EBC 中，1=2+3，又D= 3+4，2=5，即有2=4，则 D=1，
42、则四点 E，C，D，F 共圆，可得EFD+ PCD=180，由PFB=EFD=2PCD，即有 3PCD=180，可得PCD=60 ；（2）证明：由 C，D，E，F 共圆，由 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G可得 G 为圆心，即有 GC=GD，则 G 在 CD 的中垂线，又 CD 为圆 G 的弦，则 OGCD【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的
43、极坐标方程为sin（+ ）=2 （1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程菁优网版权所有【分析】 （1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1 的普通方程，运用x=cos，y= sin，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2 的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值设与直线x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公式，可
44、得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐标【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，移项后两边平方可得 +y2=cos2+sin2=1，即有椭圆 C1： +y2=1；曲线 C2 的极坐标方程为 sin（+ ）=2 ，即有 （ sin+ cos）=2 ，由 x=cos，y=sin，可得 x+y4=0，即有 C2 的直角坐标方程为直线 x+y4=0；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，联立 可得 4x2+6tx+3t23=0，由直线与椭圆相切，可得=36t 216（3t 23）=
45、0，解得 t=2，显然 t=2 时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|= = ，此时 4x212x+9=0，解得 x= ，即为 P（ ， ） 【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|2xa|+a（1）当 a=2 时，求不等式 f（ x）6 的解集；（2）设函数 g（x）=|2x1|，当 xR 时，f （x）+g（x）3，求 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法菁优网版权所有【分析】 （1）当 a=2 时，由已知得|2x 2|+26，由此能求出不等式 f（x）6 的解集（2）由 f（x）+g（x）=|2x1|+|2x a|+a3，得|x |+|x | ，由此能求
