1、1信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性.（1） （2）;xfdg;dxfxg（3） （4）;f ;2hf（5） djf2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变；（4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。1.2 证明 )()exp()2xcombjcombxc证明：左边 nnn x)2()2(12nn nnxxj jxxcob)(1)(ep )(ep)()()(右 边当 n 为奇数时，右边0，当 n 为偶数时，右边 nx)2(所以当 n 为偶数时，左右两边相等。1.3 证明 )()(sixcomb证明：
2、根据复合函数形式的 函数公式0)(,)()(1iniixhh式中 是 h(x)=0 的根， 表示 在 处的导数。于是ixix ix)()()(sinxcombnn21.4 计算图题 1.1 所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为 g(x)。当-1x0 时，如图题 1.1(a)所示， x xdg10 3612)()( 图题 1.1当 0 0，则物平面上的透射光场为 sin2exp1sin2exp1sin2exp),(,(),( ooooo fjfjjAytkyxU9其频谱为 sin21sin21sin2),(),( ooo ffAyxU由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿 轴整体平移了 sin/
3、 距离。（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率，于是要求fDc4/fDfDfo4sin4,sin由此得（1）ffosin 角的最大值为（2）fD4arcsimx此时像面上复振幅分布和强度分布为xfAyxI fxjjUoii oiiii 2cs45),( )ep(1ep,2（3）照明光束的倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得fDfo即 (3)ffffoo 22max或0 时，系统的截止频率为 ，因此光栅的最大频率Dc4/(4)ffco2max比较(3)和(4)式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度
4、不变。3.3 光学传递函数在 处都等于 1，这是为什么？光学传递函数的值可能大0于 1 吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？解：在10（1）iiI iiiII dyxhjyxH),(),2ep),()0,(),( 式中，令 iiIiIi yxyxh),(),(为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成iii dyxjyxh),(2ep),(),( 而 ii),(1)0,(即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义。（2）不能大于 1。（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是 函数，其频谱为常数 1，即系统对任
5、何频率的传递都是无损的。3.4 当非相干成像系统的点扩散函数 成点对称时，则其光学传递函数是实iIyxh,函数.解：由于 是实函数并且是中心对称的，即有 ，),(iIyxh ),(),(iIiI yxhyx，应用光学传递函数的定义式),(iiIiIyxiiI iiiII dyxhjyxH),(),2ep),()0,(),( 易于证明 ，即 为实函数),(),(),(3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为 2a，出瞳到像面的距离为 di，光波长为 ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？解：用公式 来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排
6、列的，因0),(),(S此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。这时 N 个小孔的重叠面积除以 N 个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况11是一样的，即截至频率约为 ，由于 2a 很小，所以系统实现了低通滤波。ida/2第四章 部分相干理论4.1 若光波的波长宽度为 ，频率宽度为 ，试证明： 。设光波波长v为 ，试计算它的频宽 = ? 若把光谱分布看成是矩形线nmn8102,8.63型，则相干长度 cl证明：因为频率与波长的关系为 (其中 c 为光速 )v对上式两边
7、求导得 0dc所以 vvd因 nmn8102,8.63 cvvc2所以 赫4105.有因为相干长度 ctl)(.24mvc4.2 设迈克耳孙干涉仪所用光源为 的钠双线，每一谱线nmn6.589,21的宽度为 0.01nm .（1）试求光场的复相干度的模；（2）当移动一臂时，可见到条纹总数大约是多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？解：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为vrectvrectv2121)(（1）光场的复相干度为)2exp(1)2exp()(sin21)(0 vjvjvcd式中 ，复相干度的模为12v12)cos)(sin)(v由于，故第一个因子是 的慢
8、变化非周期函数，第二个因子是 的快变化周期函数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在 的地方， c 即为相干时间，故相c/1干长度2vclc(2) 可见到的条纹总数 589301.clN（3）复相干度的模中第二个因子的变化周期 ，故v/可见度的变化周期 6.0vnc每个周期内的条纹数 982653N4.3 假定气体激光器以 N 个等强度的纵模振荡。其归一化功率谱密度可表示为2/1/nvnv式中， 是纵模间隔， 为中心频率。为简单起见，假定 N 为奇数。（1）证明复相干度的模为)sin()(v（2）若 N3，且 01/v ，画出 与 的关系曲线。（1）证明：复相干度函数为得0)2exp
9、()(dvjv)2exp(sin)(e(1)2/1/vjNvnjj vjNnn所以复相干度得模为 )i()(13（2）当 N=3 时，复相干度的模为)sin(3)(v4.4 在例 4.7.1 所示的杨氏干涉实验中，若缝光源用两个相距为 a，强度相等的准单色点光源代替，试计算此时的复相干系数。解：应用范西泰特策尼克定理得zdadaI zjacos2exp2)(004.5 利用傍轴条件计算被一准单色点光源照明，距离光源为 z 的平面上任意两点 P1和 P2 之间的复相干系数 (P 1 ,P2) .解：设光源所在平面的坐标为 ，；孔平面的坐标为 x ,y。点 P1 和 P2 的坐标为(x 1 ,y1
10、)和(x 2 ,y2)。对于准单色点光源，其强度可表为),(),(10II在傍轴近似下，由范西泰特策尼克定理得 )(2exp)(2exp),( )(2exp),()exp(),( 1212101021 yxzjyzj dI dyxzjIjP因为 ,由点光源发出的准单色光是完全相干的，或者说 x,y 面上的相干面1),(21P积趋于无限大。第六章 计算全息6.1 一个二维物函数 f ( x, y)，在空域尺寸为 1010mm，最高空间频率为 5 线/mm，为14了制作一张傅里叶变换全息图：(1) 确定物面抽样点总数.(2) 若采用罗曼型迂回相位编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？(3) 若
11、采用修正离轴参考光编码方法，计算全息图上抽样单元总数是多少？(4) 两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？解：(1)假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。设物面的空间尺寸为 x,y；频宽为2Bx,2By.根据抽样定理，抽样间距 x,y 必须满足 x1/2B x, y1/2B y才能使物复原。故抽样点总 N(即空间带宽积 SW)为 410)52(10)2( SWByxNyx(2)罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔的大小和开孔的位置来编码物光波在该点的振幅和相位。根据抽样定理，在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即 。要制作傅里叶变换全息图，为了不丢失信息，空间
12、带宽410SW积应保持不变，故在谱面上的抽样点数仍应为 .410N(3)对于修正离轴参考光的编码方法，为满足离轴的要求，载频 应满足 B x为满足制作全息图的要求，其抽样间隔必须满足 x1/2B x, y1/2B y。因此其抽样点数为410210)2(4yxByxN(4)两种编码方法的抽样点总数为 2 倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中，每一抽样单元编码一实数。修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数，每个抽样单元都是实的非负值，因此不存在位置编码问题，比同时对振幅和相位进行编码的方法简便。但由于加了偏置分量，增加了记录全息图的空间带宽积，因
13、而增加了抽样点数。避免了相位编码是以增加抽样点数为代价的。6.2 对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息图的抽样频率.解：设物的频宽为 )2,(yxB(1)对于频宽 的选择 光学离轴，由图 6.2.5(b)可知， xB3修正离轴，由图 6.2.5(d)可知，载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。15(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择光学离轴全息，由图 6.2.5(c)可知：在 x 方向的抽样频率应 ，即 x 方向的抽样间距 。B8xB8/1在 y 方向的抽样频率应 ，即 x 方向的抽样间距 。y4y4修正离轴全息，由图 6.2.5(e)可
14、知：在 x 方向的抽样频率应 ，即 x 方向的抽样间距 。x/1在 y 方向的抽样频率应 ，即 x 方向的抽样间距 。yB2yB26.3 一种类似傅奇型计算全息图的方法，称为黄氏(Huang)法，这种方法在偏置项中加入物函数本身，所构成的全息函数为),(2cos1),(2),( yxayxAh(1) 画出该全息函数的空间频率结构，说明如何选择载频.(2) 画出黄氏计算全息图的空间频率结构，说明如何选择抽样载频.解：把全息函数重写为16)2exp(),(exp),(41)(,2),( jyjyAxjyxh 物函数为 ,jf并且归一化的，即 ，参考光波 R 1。经过处理后的振幅透过率为1)(max
15、y )2exp(),(exp),(4,2),( jyjyAtyxto )2exp(),(41)2exp(),(41),(21,exp,4 jyfjyfytjAo 其频谱为 ),(),(),(),(),( FFtTo(1)设物的带宽为 ，如图题 6.3(a)所示。全息函数的空间频谱结构如图题yxB26.3(b)所示，载频 。(2)黄氏全息图的空间频率结构如图题 6.3(c)所示，由此可得出：在 x 方向的抽样频率应 ，即 x 方向的抽样间距 。B6xB6/1在 y 方向的抽样频率应 ，即 x 方向的抽样间距 。y2y2抽样点数即空间带宽积为 .yxSWN12黄氏计算全息图的特点：(1)占用了更大
16、的空间带宽积(博奇全息图的空间带宽积 )，不具有降yxBSW8低空间带宽积的优点。(2)黄氏全息图具有更高的对比度，可以放松对显示器和胶片曝光显影精度的要求。176.4 罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式，如图题 6.1 所示.利用复平面上矢量合成的方法解释，在这三种孔径形式中，是如何对振幅和相位进行编码的.解：对于型和型，是用 来编码振幅 A(x,y)，用 来编码相位 ，在xAxd),(yx复平面上用一个相幅矢量来表示，如图题 6.4(a).18对于罗曼型是用两个相同宽度的矩孔来代替，型中的一个矩孔。两矩孔之间的距离 是变化的，用这个变化来编码振幅 A(x,y)。在复平面上反映为两个矢量
17、夹角的变xA化。两个矩孔中心距离抽样单元中心的位移量 用作相位 的编码。在复平面上两xd),(yx矢量的合成方向即表示了 的大小，如图题 6.4(b)所示。),(yx第八章 空间滤波8.1 利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干照明下的最小分辨距离公式比较。解：显微镜是用于观察微笑物体的，可近似看作一个点，物近似位于物镜的前焦点上。设物镜直径为 D，焦距为 f，如图8.1 所示。对于相干照明，系统的截止频率由物镜孔径的最大孔径角 o决定，截止频率为 。从几何上看，近似有/sino。截止频率的倒数的倒数f2即为分辨距，即Dfoc2sin对于非相干照明，由几何光学可
18、知其分辨距为 osin61.0非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明时的两倍。8.2 在 4f 系统输入平面放置 40mm-1 的光栅，入射光波长 632.8nm。为了使频谱面上至少能够获得5 级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于 2mm，求透镜的焦距和直径。解：设光栅宽度比较大，可近似看成无穷，设周期为 d，透光部分为 a，则其透过率函数可表为dxcombaxret mdxarettfm1)( 11 其频谱为19 mmdacd dacobxobdxrectxfF)(sin)(sini 1)()( 11即谱点的位置由 决定，即 m 级衍射在后焦面上的位置由下式确定：fx/2fx/相邻衍射斑之间
19、的间距 d由此得焦距 f 为 )(791063284/mf物透明片位于透镜的前焦面，谱面为后焦面，谱面上的5 级衍射斑对应于能通过透镜的最大空间频率应满足dD5/sin于是求得透镜直径 )(2010mxf8.3 观察相位型物体的所谓中心暗场方法，是在成像透镜的后焦面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光。假定通过物体的相位延迟1 弧度，求所观察到的像强度(用物体的相位延迟表示出来)。解：相位物体的透过率为),(1),(exp),( 111 yxjyjyt 其频谱为 T若在谱平面上放置细小的不透明光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过的频谱为 ),(),(jTM再经过一次傅里叶变换(在反
20、演坐标系 )得 33yxyxt强度分布为因此在像面上得到了正比于物体相位平方分布的光强分布，实现了将相位转换为强度分布的目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来困难。8.4 当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透射率等于 (0 1)时，求观察到的像强度表示式。解：相位物体的频谱为现在用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个/2 的相移，即滤波器的透过率表达式为20其 它的 小 范 围 内在,10),(jH于是 ),(),(),(,)( jjTHTM像的复振幅分布为 33yxyxtM像强度分布为 ),(2),(,),(332233yxyxjyxI像强度分布与相位分布成线性关系，
21、易于分析。8.5 用 CRT(阴极射线管)记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为 0.2mm，图像最高空间频率为 10mm-1。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何(设傅立叶变换物镜的焦距 f1000mm ,=632.8nm)。解：扫描点的表达式为mnnyxyxf 01011,),(其频谱为mnn ynfxfyxjF),(1/,/)(2ep),( 02020 00在上式的化简中应用了公式 nn aaj)2ep(由此可见，点状结构的频谱仍然是点状结构，但点与点之间的距离不同。扫描点频谱出现的位置为0202,yfxmf点状结构是高
22、频，所以采用低通滤波将其滤掉。低通滤波器圆孔半径为)(164.32.1638702 mxfr 能传递的最高空间频率为xffr/5sin021即高于 5 1/mm 的空间频率将被滤掉，故输出图像的分辨率为 5 1/mm。8.6 某一相干处理系统的输入孔径为 30mm30mm 的方形，头一个变换透镜的焦距为100mm，波长是 632.8nm。假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平面上的定位必须精确到何种程度？解：考虑到系统孔径有限，一般用几何光学近似，引入光瞳函数 P(x,y), 根据题意其表达式为 30),(yrectxtyxP设系统的输入面位于透镜的前焦面，物透明片的
23、复振幅分布为 ，它的频谱分),(1yxf布为 ，透镜后焦面上的场分布),(F )(2exp)30(sin)(i),(90, 2111 yjcFCyrtxectyfUf 式中 。由 的表达式可见，频谱面上能分辨的细节由ffx/,/22 fU)30(sinc决定。取一个方向来看，将 sinc 函数由最大降为零的宽度取为最小分辨单元，)30(sinc即要求满足 ，于是有1/3012fx或mfx 1.2)(0.268372 因为频谱平面模片也有同样细节，所以对准误差最大也不允许超过它的一半，约 1m.第九章 相干光学处理9.1 参看图 9.1.1，在这种图像相减方法的编码过程中，如果使用的光栅透光部分
24、和不透光部分间距分别为 a 和 b，并且 ab。试证明图像和的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频的调制。22解：如图题 9.3 所示，先将 t (x)展开成傅立叶级数10 2sin2cos2)(n baxbaxax式中0,2cos)(2sin)(200nnbnbaaR偶奇所以2100 )(2cos)(sinco)(i)(Rbaxnxt第一次曝光得 210)(IIxt AA对于 是将光栅向 x 的负方向移动半个周期即(a+b) /2，将它展开成傅立叶级数得)(t23第二次曝光得12021)()( RIRIxt BABA总 曝 光 量 即图像和的信息受到光栅偶数倍频的调制，图像差
25、的信息受到光栅奇数信频的调制。9.2 用 Vander Lugt 方法来综合一个平年元平面滤波器，如图 9.1(左)所示，一个振幅透射率为 s(x,y)的“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜的前面，用照相底片记录后焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透射率正比于曝光量。这样制得的透明片放在图题9.1(右)的系统中，假定在下述每种情况下考查输出平面的适当部位，问输入平面和第一个透镜之间的距离 d 应为多少，才能综合出：（1）脉冲响应为 s(x,y)的滤波器？（2）脉冲响应为 s* (x,y)的“ 匹配”滤波器？解：（1）参看图题 9.1 左，设物面坐标为 x1, y1；胶片坐标为 x2, y2。则参
26、考光波在记录胶片上造成的场分布为（1）)2ep(),(2jAyxUr 式中 A 为常数， sin/ 为空间频率。物透明片在记录胶片上造成的场分布为),(),( 221 SyxfjC式中 S(,) 为 s(x1, y1)的频谱，且 x 2/f，=y 2/f。胶片上的光强分布为(2) 22 222212exp),( exp),(,(),( yfjCAS yfjCASyUxxIr 将曝过光的胶片显影后制成透明片，使它的复振幅透过率正比于照射光的强度，即（3）),(),(22xIt将制得的透明片作为频率平面模片，放在图题 9.1 右所示的滤波系统中。要综合出脉冲响应 s(x , y)或 s*(-x ,
27、 -y)，只要考察当输入信号为单位脉冲 (x , y) 时，在什么条件下系统的脉冲响应为 s(x , y)或 s*(-x , -y)。24参看右图，当输入信号为 (x1 , y1)时，在 L2 的后焦面上形成的光场复振幅分布，根据公式 oooooo dyxfdfqxjkyxtfdfqxjkcyxU )(ep),()(2ep),( 2得 )4(21exp (2e),(),( 112122 fyxfdj yxxfjyxffjy透过频率平面模片得光场分布，由(2)，(3)和(4) 式得)5(22exp),(, 21exp),(),(,),( 222* 2222 yfxfdjCASfj fyxfdjS
28、CAyxtUyx 如果要使系统是脉冲响应为 s(x , y)的滤波器，应当利用(5)式中含有 S(,)的第三项，应要求该项的二次相位因子为零，即有 d =2f (6)这时的输出为（在反演坐标系中）（7）),(),(33fyxSU（2）若要使系统的脉冲响应为 s*(-x , -y)的匹配滤波器，应当利用(5)式中的第二项，要求 d = 0，则在输出面上形成的光场复振幅分布为（在反演坐标系中）（8）)(,),(33fyxyx9.3 振幅透射率为 h(x,y)和 g(x,y)的两张输入透明片放在一个会聚透镜之前，其中心位于坐标（x = 0, y=Y/2）和 (x =0, y = -Y/2)上，如图题
29、 9.2 所示，把透镜后焦面上的强度分布记录下来，由此制得一张 为 2 的正透明片。把显影后的透明片放在同一透镜之前，再次进行变换。试证明透镜的后焦面上的光场振幅含有 h 和 g 的互相关，并说明在什么条件下，互相关可以从其它的输出分量中分离出来。25解：参见图题 9.2，设用单位振幅的平面波垂直照明两张振幅透过率为 和),(1yxh的输入透明片，则透过两张透明片的光场的复振幅分布在透镜 L2 的后焦面上形),(1yxg成的强度分布为(略去了二次相位因子 )2exp(),(, )2exp(),(,(,(),(2 2112 YjGHYjGHygyhyxI （1）式中 .fyfx/,/22用照相胶
30、片记录(1)式所表达的强度分布，从而可制得 2 的正透明片，它的复振幅透过率为),(),(22yxIyxt（2）将制得的正透明片置于透镜前再次进行傅里叶变换，若同样用单位振幅的单色平面波垂直照明，则透过透明片光场的复振幅分布在透镜后焦面形成的光场的复振幅分布，略去二次相位因子后，在反演坐标系中可表示为(3) 第三项和第四项是 h 和 g 的互相关，只是中心分别在(0, -Y)和(0, Y) 。设函数 h 在 y3 方向的宽度为 Wh，函数 g 在 y3 方向的宽度为 Wg，并且假定 ，gh26则由(3)式所表达的 U 中各项在 x3y3平面上所处的位置，要使自相关和互相关分开，显然应满足ghWY219.4 在照相时，若相片的模糊只是由于物体在曝光过程中的匀速直线运动，运动的结果使像点在底片上的位移为 0.5mm。试写出造成模糊的点扩展函数 h(x,y)；如果要对该相片进行消模糊处理，写出逆滤波器的透过率函数。解：由于匀速运动，一个点便模糊成了一条线段，并考虑到归一化，具有模糊缺陷的点扩散函数为5.0.11xrectaxrecthI带有模糊缺陷的传递函数为).(sin)(si)( caxrectHc滤波函数的透过率为)5.0(si/1)(/)(cc
