1、教学设计ylog 2x 的图像和性质对数函数的图像和性质(1)导入新课 思路 1.复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的反函数这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题推进新课 Error!下面研究对数函数 ylog 2x 的图像和性质可以用两种不同方法画出函数 ylog 2x 的图像方法一：描点法先列出 x，y 的对应值表如下：x 14 12 1 2 4 8 ylog 2x 2 1 0 1 2 3 再用描点法画出图像如图 2.图 2方法二：画出函数 xlog 2y 的图像，再变换为 ylog 2x 的图像由于指数函数 ya x和对数函数 xlog ay
2、 所表示的 x 和 y 这两个变量间的关系是一样的，因而函数 xlog 2y 和 y2 x的图像是一样的( 如图 3(1)用 x 表示自变量，把 x 轴、y 轴的位置互换，就得到 ylog 2x 的图像( 如图 3(2)(1) (2)图 3 图 4习惯上，x 轴在水平位置，y 轴在竖直位置，把图 3(2)翻转，使 x 轴在水平位置，得到通常的 ylog 2x 的图像(如图 4)观察对数函数 ylog 2x 的图像，过点(1,0)，即 x1 时，y0；函数图像都在 y 轴右边，表示了零和负数没有对数；当 x1 时，ylog 2x 的图像位于 x 轴上方，即 x1 时，y0；函数 ylog 2x
3、在(0，)上是增函数对数函数 ylog ax(a0，a 1)，在其底数 a1 及 0a 1 这两种情况下的图像和性质可以总结如下表a1 0a1图像(1)定义域：(0 ， ) (1)定义域：(0 ， )(2)值域：R (2)值域：R(3)过点(1,0)，即 x1 时，y0 (3)过点(1,0)，即 x1 时，y0(4)当 x1 时，y0；当 0x1 时，y 0(4)当 x1 时，y0；当 0x1 时，y 0性质(5)是(0， )上的增函数 (5)是(0， )上的减函数Error!1根据你掌握的知识目前比较数的大小有什么方法？2判断函数的单调性有哪些方法和步骤？3判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？
4、活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨问题(1)学生回顾数的大小的比较的方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，就用到某些函数的图像和性质，要分别对待，具体问题具体分析问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定讨论结果：(1)比较数的大小：作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大作商，但必须是同号数，看商与 1 的大小，再决定两个数的大小计算出每个数的值，再比较大小是两个以上的数，有时采用中间量比较利用图像法利用函数的单调性(2)常用的方法有定义法
5、、图像法、复合函数的单调性的判断利用定义证明单调性的步骤：在给定的区间上任取两个自变量的值 x1，x 2，且 x1x 2.作差或作商(同号数)，注意变形判断差的符号，商与 1 的大小确定增减性对于复合函数 yf g(x)可以总结为：当函数 f(x)和 g(x)的单调性相同时，复合函数 yfg( x)是增函数；当函数 f(x)和 g(x)的单调性相异即不同时，复合函数 yfg( x)是减函数又简称为口诀“同增异减” (3)有两种方法：定义法和图像法利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f(x) 与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f(x
6、)f(x) 或 f(x) f(x) 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x )f(x )或 f(x) f(x)0，则 f(x)是奇函数图像法：偶函数的图像关于 y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称这也可以作为判断函数奇偶性的依据下面看它们的应用Error!思路 1例 1 比较下列各组数中的两个值的大小：(1)log25.3，log 24.7；(2)log 0.27，log 0.29；(3)log 3，log 3； (4)loga3.1，log a5.2(a0，a1)活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价对(1)与(2)由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成，直接利用对
7、数函数的单调性；作出图像，利用图像法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质对(4)因为底数的大小不确定，因此要分别讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小对(3)两个对数式的底数和真数均不相同设法找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小，题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数 ylog 2x 的图像，如图 5.图 5在图像上，横坐标为 4.7 的点
8、在横坐标为 5.3 的点的下方，所以 log24.7log 25.3.解法二：由函数 ylog 2x 在 R 上是单调增函数，且 4.75.3，所以 log24.7log 25.3.(2)因为 0.21，函数 ylog 0.2x 是减函数，79，所以 log0.27log 0.29.(3)解法一：因为函数 ylog 3x 和函数 ylog x 都是定义域上的增函数，所以 log3log 1log 33log 3.所以 log3log 3.解法二：直接利用对数的性质，log 31，而 log31，因此 log3log 3.(4)解法一：当 a1 时，ylog ax 在(0 ，)上是增函数，且 3
9、.15.2，所以loga3.1log a5.2.当 0a1 时，ylog ax 在(0，) 上是减函数，且 3.15.2，所以 loga3.1log a5.2.点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于 1 还是小于 1.而已知条件并未指明时，需要对底数 a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.变式训练比较 log20.7 与 log0.8 两值的大小解：考查函数 ylog 2x.因为 21，所以函数 ylog 2x 在(0，) 上是增函数又 0.71，所以 log20.7log 210.再考查函数 ylo
10、g x，因为 0 1，所以函数 ylogx 在(0，) 上是减函数13又 10.8，所以 log0.8log10.所以 log20.70log0.8.点评：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1” 作为中间量进行比较，这里的中间量是 0.例 2 求下列函数的定义域：(1)ylog ax2；(2)y log a(4x)活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生此题主要利用对数及对数函数的定义及 ylog ax 的定义域(0， ) 求解教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先
11、考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；零和负数没有对数等；转化为不等式来解解：(1)要使函数有意义，则需 x20，即 x0，所以定义域为x|x0；(2)因为 4x0，即 x4，所以函数定义域为x|x 4 点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可思路 2例 1 已知 f(x)1log x3，g(x)2log x2，试比较 f(x)与 g(x)的大小活动：学生先思考讨论，再交流回答，教师要求学生展示自己的思维过程，教师根据实际，可以提示引导学生回忆数的大小的比较方法，选择合
12、适的要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小因为本题中的 f(x)与 g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法解：f(x )，g(x) 的定义域都是(0,1)(1，) f(x)g(x) 1log x32log x2 1log x3log x4log x x.34(1)当 0x1 时，若 0 x1，即 0x ，此时 logx x0，即 0x 1 时，f (x)34 43 34g( x)；若 x 1，即 x ，这与 0x1 相矛盾34 43(2)当 x1 时，若 x1，即 x ，此时 logx x0，即 x 时，f
13、 (x)g(x) ；34 43 34 43若 x1，即 x ，此时 logx x0，即 x 时，f (x)g(x)；34 43 34 43若 0 x1，即 0x ，此时 logx x0，即 1x 时，f(x) g(x)34 43 34 43综上所述，当 x(0,1) 时，f(x)g( x)；(43， )当 x 时，f(x)g( x)；当 x 时，f(x)g( x)43 (1，43)点评：对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系而已知条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用.变式训练已知 logm5log n5，比较 m，n 的大小活动：学
14、生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道 log5m 和 logm5 的关系是倒数关系，有了这个关系，题中已知条件就变为 ，由已知条件知道 m、n 都大1log5m 1log5n于 0，且都不等于 1，据此确定 m，n 的大小关系解：因为 logm5log n5，所以 .1log5m 1log5n当 m1，n1 时，得 0 ，1log5m 1log5n所以 log5nlog 5m.所以 mn1.当 0m1,0n1 时，得 0，1log5m
15、 1log5n所以 log5nlog 5m.所以 0n m1.当 0m1，n1 时，得 log5m0，log 5n0，所以 0m1，n1.所以 0 m1n.综上所述，m，n 的大小关系为 mn1 或 0nm1 或 0m1n.点评：分类讨论是解题的关键.例 2 求函数 ylog 2(x2x6) 的单调区间，并证明活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单调性定义法求函数的单调区间，其步骤是：确定函数的定义域，在定义域内任取两个变量 x1 和 x2，通常令 x1x 2；通过作差比较f(x1)和 f(x2)的大小，来确定函数的单调递增
16、区间和单调递减区间(注意保持变量 x1 和 x2 的“任意性”)；再归纳结论解法一：由 x2x 60，得 x2 或 x3，不妨设 x1x 22，则 f(x1)f(x 2)log 2(x x 16)log 2(x x 26) log 2 log 2 .21 2x21 x1 6x2 x2 6 x1 3x1 2x2 3x2 2因为 x1x 22，所以 x1 3x 230，x 12x 22 0.所以 1.x1 3x1 2x2 3x2 2所以 log2 log 2 0，x21 x1 6x2 x2 6 x1 3x1 2x2 3x2 2即 f(x1)f(x 2)0，f(x 1)f(x 2)所以函数 f(x)
17、log 2(x2x 6)在区间(，2) 上是减函数同理，函数 f(x)log 2(x2x 6) 在区间(3，) 上是增函数解法二：令 ux 2x 6，则 ylog 2u.因为 ylog 2u 为 u 的增函数，所以当 u 为 x 的增函数时，y 为 x 的增函数；当 u 为 x 的减函数时，y 为 x 的减函数由 x2x60，得 x2 或 x3，借助于二次函数的图像，可知当 x( ，2)时，u 是 x 的减函数，当 x(3 ，)时，u 是 x 的增函数所以原函数的单调减区间是(，2) ，单调增区间是(3，)点评：本题考查复合函数单调性的判定方法一般地，设函数 yf(u)，ug( x)都是给定区
18、间上的单调函数若 yf (u)，ug(x) 在给定区间上的单调性相同，则函数 yfg( x)是增函数；若 y f(u)，ug(x) 在给定区间上的单调性相反，则函数 yfg( x)是减函数Error!1函数 y 的定义域是( )log2x 2A(3，) B3，)C(4，) D4 ，)2求 ylog 0.3(x22x)的单调递减区间3求函数 ylog 2(x24x)的单调递增区间答案：1.要使函数有意义，需 log2x20，log 2x2，x 4，因此函数的定义域是4， )，选 D.2先求定义域：由 x22x 0，得 x(x2) 0，所以 x0 或 x2.因为函数 ylog 0.3t 是减函数，
19、故所求单调减区间即为 tx 22x 在定义域内的增区间又 tx 22x 的对称轴为 x1，所以所求单调递减区间为(2，) 3先求定义域：由 x24x 0 得 x(x4) 0，所以 x0 或 x4.又函数 ylog 2t 是增函数，故所求单调递增区间即为 tx 24x 在定义域内的单调递增区间因为 tx 24x 的对称轴为 x2，所以所求单调递增区间为(4， ) Error!探究 ylog ax 的图像随 a 的变化而变化的情况用计算机先画出 ylog 2x，ylog 3x，ylog 5x，ylog x，ylogx 的图像，如图 6.12图 6通过观察图像可总结如下规律：当 a1 时，a 值越大
20、，ylog ax 的图像越靠近 x 轴；当 0a1 时，a 值越大，ylog ax 的图像越远离 x 轴Error!本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度Error!1求函数 y lg(52x)的定义域lg x解：要使函数有意义，只需Error!即Error!解得 1x .52所以函数的定义域是 .1，52)2求函数 ylog (x22x3) 的单调区间，并用单调定义给予证明解：x 22x30，x 3 或 x1.单调减区间是
21、(3，)，单调增区间是(，1) 证明：设 x1，x 2(3，)且 x1x 2，则 y1log (x 2 x13) ，y 2log (x 2x 23) ，21 12(x 2x 13) (x 2x 23) (x2x 1)2(x 1x 2)21 2x 2x 13，x 2x 10,2(x 1x 2)0.(x 2x13)( x 2x 23) 又底数 0 1，21 212y 1y 20，即 y1y 2.y 在(3，) 上是减函数同理可证 y 在(，1)上是增函数3已知 ylog a(2a x)在0,1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围解：因为 a0 且 a1，(1)当 a1 时，函数 t2a x0 是
22、减函数；由 ylog a(2 ax)在0,1 上是 x 的减函数，知 ylog at 是增函数，所以 a1；由 x0,1时，2a x2a 0，得 a2，所以 1a2.(2)当 0a1 时，函数 t2a x0 是增函数；由 ylog a(2 ax)在0,1 上是 x 的减函数，知 ylog at 是减函数，所以 0a1.由 x0,1时，2a x210，所以 0a1.综上所述，0a1 或 1a2.设 计 感 想本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务(设计者：路致芳)
