1、 三角函数知识点1.特殊角的三角函数值：30 45 60 0 90 180 270 15 75sin21230 1 0 1 624624co311 0 1 0 tan1 30 0 2- 32+ 3cot31 0 0 2+ 2-2. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 222222sincos1,tansec,1otcs（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,（3）商数关系： iota,tssi）3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincosinsin2icos令 22222 in1sitat +cstan os1ninta
2、ta1n令 （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ，()()2()()， ， 等） ，2()()22(2)三角函数次数的降升( 降幂公式： ， 与升幂1coscs21cosin公式： ， )。如21coss21osin(；(3)常值变换主要指“1”的变换（ 221sincox22setantcotxx等） ，.tansi42。（4）周期性： 、 的最小正周期都是 2 ； 和sinyxcosyx()sin()fxAx的最小正周期都是 。如()cos()fxA2|T（5）单调性： 上单调递增，在i2,yxkkZ在单调递减； 在
3、上单调递减，在32,kZcosyx2,kZ上单调递增。特别提醒，别忘了 ！ k(6)、形如 的函数：sin()yAx1 几个物理量：A振幅； 频率（周期的倒数） ；1fT相位； 初相；x2 函数 表达式的确定：A 由最值确定；sin()yx 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 ()sin()0,fxAx， 的图象如图所示，则 _（答：|)()fx 1523） ；3 函数 图象的画法：“五点法”设 ，令 0 ，sin()yAxXxX求出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：,2这是作函数简图常用方法。4 函数 的图象与 图象间的关系：函数 的图象sin()yxksiny
4、xsinyx纵坐标不变，横坐标向左（ 0）或向右（ 0）平移 个单位得 的图| 象；函数 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到函数i 1的图象；函数 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的sinyxsinyxA 倍，得到函数 的图象；函数 图象的横坐标不变，sin()yAxsin()yAx纵坐标向上（ ）或向下（ ） ，得到 的图象。要特别注意，0k0kk若由 得到 的图象，则向左或向右平移应平移 个单位，如sinyxi|（1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？2s()14x sinyx（答： 向上平移 1 个单位得 的图象，再向左平iy 2sin()4yx23题 图29YX-22
5、3移 个单位得 的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得 的图象，最后82sinyx sinyx将纵坐标缩小到原来的 即得 的图象） ；1sinyx2.正、余弦定理：在 中有:ABC正弦定理： （ 为 外接圆半径）2sinisinabcRABC注意变形应用2isinRbBcCsi2nabBRc面积公式： 11sisisin22ABCSababcA余弦定理： 22cosAbaBcbC2222ocsocabBacCb1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象函 数性质定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当时，2xk；ma1y当 2xk时， min1y当 时，
6、2xk；may当 xk时， min1y既无最大值也无最小值周期性 2奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在32,2k上是减函数在上,2kk是增函数；在,k上是减函数在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2xk对称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴三角函数例题讲解例 1 已知角的终边上一点 P（ ，m ），且 sin= m，求 cos与 tan的值 3分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出 m 的值，从而应寻求 m 的方程 解 由题意知 r= ，则 sin= = 3 m2mr又
7、sin= m， = m m=0，m= 5当 m=0 时，cos= 1 ， tan=0 ；当 m= 时，cos= ， tan= ；5当 m= 时，cos = ，tan= 5例 2 设 是第二象限角，且满足sin |= sin ， 是哪个象限的角? 222解 是第二象限角， 2k+ 2k+ ，kZ232k+ k+ ，kZ 4234 是第一象限或第三象限角 2又 sin |= sin ， sin 0. 是第三、第四象限的角 2222由、知， 是第三象限角 2第 2 课 同角三角函数的关系及诱导公式【讲练平台】 例 1 化简 sin(2-)tan(+)cot(-)cos(-)tan(3-)分析 式中含
8、有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化 解 原式= = （ -sin） tan -cot(+) (-cos)tan(-)(-sin)tan(-cot)(-cos)(-tan)= =1 例 2 若 sincos= ，( ， )，求 cossin 的值 1842分析 已知式为 sin、cos 的二次式，欲求式为 sin、cos 的一次式，为了运用条件，须将 cossin 进行平方 解 (cossin) 2=cos2+sin22sincos=1 = 1434( ， )， cossin 42cossin= 变式 1 条件同例， 求 cos+sin的值 变式 2 已知 cossi
9、n= ， 求 sincos，sin+cos 的值 例 3 已知 tan=3求 cos2+sincos的值 分析 因为 cos2+sincos是关于 sin、cos 的二次齐次式，所以可转化成 tan的式子 解 原式=cos 2+sincos= = = cos2+sincoscos2+sin21+tan1+tan225第 3 课 两角和与两角差的三角函数（一） 例 1 已知 sinsin= ，cos cos= ，求 cos()的值 1312分析 由于 cos()=coscos+sinsin 的右边是关于 sin、cos 、sin、cos 的二次式，而已知条件是关于 sin、sin、cos、cos
10、 的一次式，所以将已知式两边平方 解 sinsin= ， coscos= ， 1312 2 2 ，得 22cos()= 1336cos()= 7259例 2 求 的值 2cos10-sin20cos20分析 式中含有两个角，故需先化简注意到 10=3020，由于 30的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角 解 10=3020， 原式 = 2cos(30-20)-sin20cos20= = = 2(cos30cos20+sin30sin20)-sin20cos20 3点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法 例 3 已知：sin(+)= 2sin 求证：tan=3tan(+) 分析 已知式中
11、含有角 2+和 ，而欲求式中含有角 和 +，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角 解 2+=(+)+，=(+)， sin(+)+= 2sin (+) sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin 若 cos(+)0 ，cos 0，则 3tan(+)=tan 点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将 +看成一个整体 第 4 课 两角和与两角差的三角函数（二） 【讲练平台】 例 1 求下列各式的值 （1）tan10 tan50+ tan10tan50； 3(2) (1)解 原式=tan(10+50)（1tan10tan50）
12、+ tan10tan50= 3 3（2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦 解 原式= = 24cos1in3= 48sin21)12cos3(3cs12osin3= .3448si)60(点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式 tanA+tanB=tan(A+B)（1 tanAtanB），asinx+bsinx= sin(x+)的运用；（ 2）在三角变换中，切割化弦是常2ba用的变换方法 第 5 课 三角函数的图象与性质（一） 例 1 （ 1）函数 y= 的定义域为 xsin21)talg(2)若 、 为锐角，sincos，则 、 满足 （C） A
13、 B C+ D + 22分析 （1）函数的定义域为 (*) 的解集，由于 y=tanx 的最小正周期为0.sinx-1,ta， y=sinx 的最小正周期为 2， 所以原函数的周期为 2，应结合三角函数 y=tanx 和 y=sinx 的图象先求出( ， )上满足（*）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为232x2k x2k + ，或 2k+ x2k + ，kZ 265654分析（2）sin、cos 不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos转化成 sin( )，2运用 y=sinx 在0， 的单调性，便知答案为 C 2例 4 已知函数 f(x)=5sinxcosx5 cos2x+
14、(xR) 35(1)求 f(x)的单调增区间； （2）求 f(x)图象的对称轴、对称中心 分析 函数表达式较复杂，需先化简 解 f(x)= sin2x5 =5sin(2x ) 52 31+cos2x2 353（1）由 2k 2x 2k+ ，得k ，k + （kZ）为 f(x)的单调增区间 23212512（2）令 2x =k+ ，得 x= + （kZ），则 x= + （kZ）为函数 y=f(x)图象32k2512k2512的对称轴所在直线的方程，令 2x =k，得 x= + （kZ）， y=f(x)图象的对称中心为点（3k26+ ， 0）（kZ） k26第 6 课 三角函数的图象与性质（二）例
15、 2 右图为某三角函数图像的一段 （1）试用 y=Asin（x+)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线 x=2对称的函数解析式 解：（1）T= =4 1333= = 又 A=3，由图象可知 2T12所给曲线是由 y=3sin 沿 x 轴向右平移 而得到的 x23解析式为 y=3sin (x ) 123(2)设（ x，y)为 y=3sin( x ）关于直线 x=2对称的图像上的任意一点，则该点关于直线126x=2的对称点应为（4x ，y)，故与 y=3sin( x ）关于直线 x=2对称的函数解析式是126y=3sin （4x) = 3sin( x ） 126126xy133 33 3
16、O点评 y=sin(x+)(0) 的图象由 y=sinx 的图象向左平移（ 0 ）或向右平移（ 0） 个单位特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一|条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用 例 3 已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1 (xR) 12(1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合； （2）该函数图象可由 y=sinx(xR) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解 (1)y= + sin2x +1= sin(2x+ )+ 121+cos2x21212654当 2x+ =2k+ ，即 x=k+ ，kZ 时，y max= 62
17、674(2）由 y=sinx 图象左移 个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），其612次将图象上各点纵坐标缩短到原来的 （横坐标不变），最后把图象向上平移 个单位即1254可 第 7 课 三角函数的最值例 1 求函数 f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x 的最大值，并求出此时 x 的值 分析 由于 f（x）的表达式较复杂，需进行化简 解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2 24当 2x+ =2k+ ， 即 x=k+ (kZ)时，y max= +2 428 2点评 要熟练掌握 y=a
18、sinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= sin（ x+） a2+b2例 2 若 , ，求函数 y=cos( +） +sin2的最小值 12124分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化 解 y=cos( +)cos2(+ )=cos( +)2cos 2(+ )1 4444=2cos 2(+ )+cos( +)+1 =2cos 2(+ ) cos(+ )+1 444124=2cos(+ ) 2+ 41498 , ， ， 1212463 cos(+ ) ， y最小值 = 124例 3 试求函数
19、 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值 分析 由于 sinx+cosx 与 sinxcosx 可以相互表示，所以令 sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成 y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题 解 令 t=sinx+cosx，则 y=t+t2+1=(t+ )2+ ，且 t ， ， 1234 2 2ymin= ，y max=3+ 34 2点评 注意 sinx+cosx 与 sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c 在某个区间上的最值问题 第 8 课 解斜三角形 例 2 在ABC 中，已知 acosA=bc
20、osB，判断ABC 的形状 分析 欲判断 ABC的形状，需将已知式变形式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换 解 方法一：由余弦定理，得 a（ ）=b（ ）， b2+c2a22bca2+c2b22aca 2c 2a 4b 2c 2+b 4=0 (a2b 2)(c 2a 2b 2)=0 a2b 2=0，或 c2a 2b 2=0 a=b，或 c2=a2+b2 ABC是等腰三角形或直角三角形 方法二：由 acosA=bcosB，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB sin2A=sin2B 2A=2B，或 2A=2B A=B，或 A+B= 2ABC为等腰三角形或直角三角形1 设锐角 的内角 的对边分别为 , .ABC， ， abc， ， 2sinA()求 的大小;()求 的取值范围.cosin【解析】:()由 ,根据正弦定理得 ,所以 ,2siabAsin2isnAB1si2由 为锐角三角形得 .ABC6B() cosincosini6A13cossin2A.3sinA
