1、1概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的x非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示： （1） 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) ，注2()kZ意：相等的角的终边一定相同，终边相同
2、的角不一定相等.如与角 的终边相同，185且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（答： ； ）36（2） 终边与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) .()k（3） 终边与 终边关于 轴对称 .x2()kZ（4） 终边与 终边关于 轴对称 .y（5） 终边与 终边关于原点对称 .（6） 终边在 轴上的角可表示为： ； 终边在 轴上的角可表示为：x,y； 终边在坐标轴上的角可表示为： .如 的终边与 的,2kZ,2kZ6终边关于直线 对称，则 _。y（答： ）Zk,34、 与 的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 是第二象限角，2则 是第_ 象限角（答：一、三）5.弧长公式： ，扇
3、形面积公式： ，1 弧度(1rad) . |lR 21|2SlR573如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。（答：2 ）2cm6、任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一(,)xy点（异于原点） ，它与原点的距离是 ，那么 ，20rxysin,cosxrr， ， ， 。三角函数值tan,0yxcotxy(0)secrc0y只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。 如（1）已知角 的终边经过点 P(5，12)，则 的值为。osin（答： ） ；7132（2）设 是第三、四象限角， ，则 的取值范围是_m432sin（答
4、：（1， ） ；)23（3）若 ，试判断 的符号0|cos|sin|)tan(cos)cot(si（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线 MP“站在 轴上(起点在 轴上)” 、余弦线 OM“躺xx在 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 处(起点是 )”.三角函数线的重要x 1,0)AA应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若 ，则 的大小关系为_08sin,cota(答： )；tnsico（2）若 为锐角，则 的大小关系为_,it（答： ） ；tan（3）函数 的定义域是_)3sn2lg(co1xy（答： ）2(2,()3kkZ8.特殊角的三角函数值：30 45 60
5、0 90 180 270 15 75sin21230 1 0 1 64624co311 0 1 0 2tan1 30 0 2- 32+ 3cot31 0 0 2+ 2-9. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 222222sincos1,tansec,1otcs（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,（3）商数关系： iota,ti同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角
6、三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数 的值的符号为_sintacoy（答：大于 0） ；y T A x BSOMP 3（2）若 ，则使 成立的 的取值范围是_20xx2cossin12（答： ） ；0,4,3（3）已知 ， ，则 _53sinm)(54cosmtan（答： ） ；125（4）已知 ，则 _； _1tancosin3cosisi2（答： ； ） ；35（5）已知 ，则 等于20si 60taA、 B 、 C、 D、1a21a21a21（答：B） ；（6）已知 ，则 的值为_xf3cos)()30(s
7、inf（答：1） 。10.三角函数诱导公式（ ）的本质是：奇变偶不变（对 而言，指 取奇数2kkk或偶数） ，符号看象限（看原函数，同时可把 看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成 2k + , ；(2)转化02为锐角三角函数。如（1） 的值为_97costan()si2146（答： ） ；23（2）已知 ，则 _，若 为第二象限角，则54)50sin( )270cos(_。18ta36co)0sin(2（答： ； ）5410311、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincosinsin2icos令 22222co coin
8、1sitat +stan s1n cointata1n令 4如（1）下列各式中，值为 的是12A、 B 、5sinco221cosinC、 D、21ta. 30（答：C） ；（2）命题 P： ，命题 Q： ，则 P 是 Q 的tn()0tanABA、充要条件 B、充分不必要条件C 、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C） ；（3）已知 ，那么 的值为_35sin()cos()sin2cos（答： ） ；725（4） 的值是 _1308sini（答：4） ；(5)已知 ，求 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 ，乙求得ta0tan5 31a的结果是 ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判
9、断是_21（答：甲、乙都对）12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ，()()2()()， ， 等） ，如2()()22（1）已知 ， ，那么 的值是_tan51tan()4tan()4（答： ） ；32（2）已知 ，且 ， ，求0229cos()23si()的值cos()（答： ） ；490
10、72（3）已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关系,sin,cosxycs()5yx为_5（答： ）23431(1)55yxx(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值 sin50(13tan0)（答：1） ；（2）已知 ，求 的值co2,t(23tan(2)（答： ）8(3)公式变形使用（ 。如tantta1ta（1）已知 A、B 为锐角，且满足 ，则nn1AB_cos()（答： ） ；2(2)设 中， ， ，则此三角形是C3tantan34sinAco_三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂21scos21csi公式： ， )。如21coss1sin(1)若
11、 ，化简 为_3(,)2s（答： ） ；sin2（2）函数 的单调递增区间为_2553f(x)sincoxsx3(R)（答： ）512k,(kZ)(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1） tancosi)sintaco（答： ） ；sin（2）求证： ；21tsi1na（3）化简：42cos2ta()i()xx（答： ）1cos2x(6)常值变换主要指“1”的变换（ 221sincox22setanttx6等） ，如已知 ，求 （答： ）.tansi42 tan222sinicos335(7)正余弦“三兄妹 ”的内存联系“知一求二” ，如sico ixx、（1）若 ，则 _
12、icxt（答： )，特别提醒：这里 ；21t2,t（2）若 ，求 的值。1(0,)sino2tan（答： ） ；473（3）已知 ，试用 表示 的值2sii1tank()42ksinco（答： ） 。1k13、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所在2sincoiaxbabx的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用。t如（1）若方程 有实数解，则 的取值范围是_.sin3cosxc（答：2,2） ；（2）当函数 取得最大值时， 的值是_2yinxtanx(答： )；32（3）如果 是奇函数，则 =si2cos()fxt(答：2)；（4）求值： _0in6
13、40s1sin3222(答：32)14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余弦函数 图象的作siyxcosyx图方法：五点法：先取横坐标分别为 0， 的五点，再用光滑的曲线把这五点3,2连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数 、余弦函数 的性质：sin()yxRcos()yxR（1）定义域：都是 R。（2）值域：都是 ，对 ，当 时， 取最大值 1；当1,sinyx2kZy时， 取最小值1；对 ，当 时， 取最大3xkZcosyxk值 1，当 时， 取最小值1。如ky（1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 _， sin(3)6yabx2321ab（答： 或
14、 ） ；,17（2）函数 （ ）的值域是_xxfcos3sin)(2,（答：1, 2） ；（3）若 ，则 的最大值和最小值分别是_ 、_6yin（答：7；5） ；（4）函数 的最小值是_，此时2()2cosin()3sifxxxicosx_x（答：2； ） ；()12kZ（5）己知 ，求 的变化范围21cosincosint（答： ） ；0,（6）若 ，求 的最大、最小值cssii2222siniy（答： ， ）1maxy2in。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性： 、 的最小正周期都是 2 ；sinyxcosyx和 的最小正周期都是 。如()
15、sin()fxAx()fA|T(1)若 ，则 _3if1)23(03)ff（答：0） ；(2) 函数 的最小正周期为_4()cosfxincosx4ix（答： ） ；(3) 设函数 ，若对任意 都有 成立，则)52i(f R)()(21xfxf的最小值为_|21x（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数 是奇函数，对称中心是sin()yx，对称轴是直线 ；余弦函数 是偶函数，,0kZ2xkZcos()yxR对称中心是 ，对称轴是直线 （正(余) 弦型函数的对称轴,02kZ k为过最高点或最低点且垂直于 轴的直线，对称中心为图象与 轴的交点） 。如xx（1）函数 的奇偶性是_、5ysin（答：偶
16、函数） ；（2）已知函数 为常数） ，且 ，则 _31f(x)absinx(a,b57f()5f()（答：5） ；（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是)coics2y_、_8（答： 、 ） ；128k(,)(Z28kx(Z)（4）已知 为偶函数，求 的值。3f(x)sin()cosx)（答： ）6k()（5）单调性： 上单调递增，在si2,2ykkZ在单调递减； 在 上单调递减，在32,2kkZcosyx,kZ上单调递增。特别提醒，别忘了 ！ 16、形如 的函数：sin()yAx（1）几个物理量：A振幅； 频率（周期的倒数） ； 相位； 1fTx初相；（2）函数 表达式的确定：A 由最值
17、确定； 由周期确定； 由图sin()yx象上的特殊点确定，如 ， 的图象如图所示，则()i0,fxA|)2_（答： ） ；f 15()2sin(3fxx（3）函数 图象的画法：“五点法”设iy，令 0， 求出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得XxX,x出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数 的图象与 图象间的关系：函数 的sin()yAxksinysinyx图象纵坐标不变，横坐标向左（ 0）或向右（ 0）平移 个单位得|的图象；函数 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，sinyxsinyx 1得到函数 的图象；函数 图象的横坐标不变，纵坐标变i six为原来的 A 倍，
18、得到函数 的图象； 函数 图象的横坐i()Asin()yAx标不变，纵坐标向上（ ）或向下（ ） ，得到 的图象。要特0k0kk别注意，若由 得到 的图象，则向左或向右平移应平移 个sinyxsinyx |单位，如（1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？2i()14 sinyx（答： 向上平移 1 个单位得 的图象，再向左平snyx 2sin()4yx移 个单位得 的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得 的图象，最后将8i si纵坐标缩小到原来的 即得 的图象） ；12sinyx 23题 图29YX-2239(2) 要得到函数 的图象，只需把函数 的图象向_平移_cos()24xysi
19、n2xy个单位（答：左； ） ；2（3）将函数 图像，按向量 平移后得到的函数图像关于原点对72sin()13yxa称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出 ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量 ） ；(,1)6a（4）若函数 的图象与直线 有且仅有四个不同cosin0,2fxxyk的交点，则 的取值范围是k（答： ）,2)（5）研究函数 性质的方法：类比于研究 的性质，只需将si()yAsinx中的 看成 中的 ，但在求 的单调区间时，sin()yAxxsinyx()yA要特别注意 A 和 的符号，通过诱导公式先将 化正。如（1）函数 的递减区间是_23sin()（答：
20、） ；512k,(kZ)（2） 的递减区间是_124xylogcs()（答： ） ；364k,(k)（3）设函数 的图象关于直线 对称，)2,0)(sin)( Axf 32x它的周期是 ，则A、 B、 在区间 上是减函数)21,0()(的 图 象 过 点xf ()fx5,13C、 D、 的最大值是 A)0,5(是的 图 象 的 一 个 对 称 中 心（答：C） ；（4）对于函数 给出下列结论：2sin3fxx图象关于原点成中心对称；图象关于直线 成轴对称；1图象可由函数 的图像向左平移 个单位得到；2sinyx3图像向左平移 个单位，即得到函数 的图像。2cosyx其中正确结论是_（答：） ；
21、（5）已知函数 图象与直线 的交点中，距离最近两点间()2sin()fx1y10的距离为 ，那么此函数的周期是_3（答： ）17、正切函数 的图象和性质：tanyx（1）定义域： 。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函|,2kZ数的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是 ，它与直线 的两个相邻交点之间的距离ya是一个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如 的周期都是 , 但xsin,i2
22、sinyx的周期为 ，而 ， 的周期不co21|sin(3)|,si(3)|626yxy|ta|y变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ，特别提醒：正(余),0kZ切型函数的对称中心有两类：一类是图象与 轴的交点，另一类是渐近线与 轴的交点，xx但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。但要注意在整个,2kk定义域上不具有单调性。如下图：18. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是
23、锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理： (R 为三角形外接圆的半径 ).注意：正弦2sinisinabcABC定理的一些变式： ；isin,si,sin2abABCR； ；已知三角形两边一对角，求解三角2cR2si,si,siabR三 角 函 数 图 象 几 何 性 质 xOyx=1x=2x4邻 中 心 |x3-4|= T/2邻 渐 近 线 |x1-2|=T无 穷 对 称 中 心 :由 y=0或 y无 意 义 确 定y=Atan( x+ )x3 无 对 称 轴任 意 一 条 y轴 的 垂 线 与 正 切函 数 图 象 都 相 交 ,且
24、相 邻 两交 点 的 距 离 为 一 个 周 期 ！三 角 函 数 图 象 几 何 性 质 xOyx=1x=24邻 中 心 |x3-4|=T/2邻 轴 |x1-2|T/无 穷 对 称 中 心 :由 y=0确 定 无 穷 对 称 轴 :由 y=A或 -确 定y=Asin( x+ )x3 4T邻 中 心 轴 相 距11形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三2222cos,bcaabA角形的形状.(4)面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如11in()aShCrr中，若 ，判断 的形状（答：直角三角ABCBA222sicossin ABC形） 。
25、特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系,si()si,ncosAB的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1） 中，A、B 的对边分别是 ，且 ，那么满足条件C ab、=60 4,a,b的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C） ；（2）在 中，AB 是 成立的_ 条件sinAi（答：充要） ；（3）在 中， ，则 _12(ta)(t)2logsin（答： ） ；12(4)在 中， 分别是角 A、B、C 所对的边，若ABC,bc (abc)(sinAB，则 _3sin)asi（答： ） ；60（5）
26、在 中，若其面积 ，则 =_2243abcS（答： ） ；3（6）在 中， ，这个三角形的面积为 ，则 外接圆的直径ABC60 1, 3ABC是_（答： ） ；293（7）在ABC 中，a、b、c 是角 A、B、C 的对边，= ， 的最大值为213,cos,sBaA则 2bc（答： ） ；1932;（8）在ABC 中 AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是（答： ） ；06C（9）设 O 是锐角三角形 ABC 的外心，若 ，且 的面积75,AOBA满足关系式 ，求 （3ABCOASS答： ） 4519.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）： 表示一arcsin12个角，这
27、个角的正弦值为 ,且这个角在 内 。(2)反正弦 、反a,2(1)aarcsinx余弦 、反正切 的取值范围分别是 .arcosxrctnx 2,(,0在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的1l21l2范围？ ， ， (0,0,)0,220、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值） 。如（1）若 ，且 、 是方程 的两根，则求 的值,(0,)tant2560x_（答： ） ；34（2） 中， ，则 _ABC3si4cos6,i3cos1BAC（答： ） ；3（3）若 且 ， ，求020sinsin0scos的值（答： ）.23
