1、 聚优堂教育2010 高中数学竞赛标准讲义：三角函数一、基础知识定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|= rL,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（ x,y），到原点的距离
2、为 r,则正弦函数 sin= ry,余弦函数 cos= rx,正切函数 tan= ，余切函数 cot= ，正割函数sec = xr,余割函数 csc= .定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan = cot1,sin= cs1，cos= ec1；商数关系：tan= sincot,cosin；乘积关系：tancos=s in,cot s in= cos；平方关系：sin 2+cos 2=1, tan 2+1=sec 2, cot2+1=csc 2.定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+ )=-cos, tan(+ )=tan , cot(+)=cot;（）sin(
3、- )=-sin, cos(- )= cos, tan(-)=- tan, cot(-)= cot; （）s in(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(- )=-tan, cot(- )=-cot; （）s in 2=cos, cos2=sin, tan 2=cot（奇变偶不变，符号看象限）。定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间,k上为增函数，在区间 23,2k上为减函数，最小正周期为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+ 时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k - 2时, y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+
4、 2均为其对称轴，点（k , 0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里 kZ.定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点 0,均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2k时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ .聚优堂教育定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+ 2)在开区间(k- 2, k+ )上为增函数, 最小正周期为 ，值域为（ -，+），点（k
5、 ，0），（k+ ，0）均为其对称中心。定理 6 两角和与差的基本关系式：cos( )=coscos sins in,sin( )=sincos cossin; tan( )= .)tan1(t定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2s in 2cos ,sin-sin=2sin 2cos ,cos+cos =2co s cos 2, cos-cos=-2sin sin 2,sincos= 21sin(+)+sin(-),co ssin= 21sin(+)-s in(-),coscos = cos(+)+co s(-),sinsin=- cos(+)- cos(-).定理 8 倍角
6、公式:sin2=2sincos, cos2= cos2-s in2=2cos 2-1=1-2sin 2, tan2= .)tan1(2定理 9 半角公式:sin = 2)cos1(,cos = 2)cos1(,tan 2= )cos1(= .in)s(i定理 10 万能公式: 2ta1in, 2ta1cos2,.2tan1t定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为 ，则 sin= 2,cos= ，对任意的角 .asin +bcos = )(2sin(+).定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有 RCcBbAa2
7、sinisin，其中 a, b, c 分别是角A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B ，C 的对边。聚优堂教育定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的 1，得到 y=sin x( 0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=A sin(x+ )( 0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为
8、原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=A sin(x+)( , 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到 y=Asin x 的图象。定义 4 函数 y=sinx 2,的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)，函数y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx2,的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x 0, )的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, + ).定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=
9、a 的解集是x|x=n+(-1) narcsina, nZ。方程 cosx=a 的解集是x |x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana, kZ 。恒等式：arcsina+ arccosa= 2；arctana +arccota= 2.定理 16 若 20，则 sinx-1，所以 cos 0,2x，所以 sin(cosx) 0,又 00，所以 cos(sinx)sin(cosx).若 2,0，则因为 sinx+cosx= cos2sin2x(sinxcos 4+sincosx)= sin(x+ 4) cos( -cosx)=sin(c
10、osx).综上，当 x (0,)时，总有 cos(sinx)0，求证： .2sincosixx聚优堂教育【证明】 若 + 2，则 x0，由 2-0 得 coss in( -)= cos, 所以 0cos( 2-)=s in0,所以 sinco1。又 01，所以 icsinosici00 xx，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3最小正周期的确定。例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】 首先，T =2 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx）；其次，当且仅当 x=k+ 2时，y
11、=0（因为|2cosx| 20, cos 0.所以 sin 2（1+cos ）=2sin 2cos2 = 2coin2 323cosin= .934716当且仅当 2sin2=cos2 , 即 tan= 2, =2arctan 2时，sin (1+cos )取得最大值 934。例 7 若 A，B，C 为ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。【解】 因为 sinA+sinB=2sin BAcos inBA, sinC+sin 23i23cosin23C, 又因为 3sin24cos4inii CBABACBA，由，得 sinA+sinB+sinC+sin 34sin ,
12、所以 sinA+sinB+sinC3s in = 2,当 A=B=C= 3时，（s inA+sinB+sinC） max= .注：三角函数的有界性、|sinx |1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5换元法的使用。例 8 求 xycosin1的值域。【解】 设 t=sinx+cosx= ).4sin(2coin2xx因为 ,)4si(所以 .2t又因为 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx= 12t，所以 212txy，聚优堂教育所以 .212y因为 t-1，所以 t，所以 y -1.所以函数值域为 .21,
13、1,2y例 9 已知 a0=1, an= 1n(nN +)，求证：a n 2.【证明】 由题设 an0，令 an=tanan, an 2,0，则an= .tantsicotsect1 11112 nnn 因为 ，a n ,0，所以 an= 2，所以 an= .20又因为 a0=tana1=1，所以 a0= 4，所以 n 4。又因为当 0 x，所以 .2tan注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当 x ,0时，有 tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6图象变换：y =sinx(xR)与 y=Asin(x+)(A, , 0).由 y=s
14、inx 的图象向左平移 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 1，得到 y=Asin(x+)的图象；也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，最后向左平移 个单位，得到 y=Asin( x+ )的图象。例 10 例 10 已知 f(x)=sin( x+)(0, 0 )是 R 上的偶函数，其图象关于点0,43M对称，且在区间 2,0上是单调函数，求 和 的值。【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin( + )=sin(- x+)，所以 cos
15、 sinx=0，对任意 xR 成立。又 0 ，解得 = ，因为 f(x)图象关于 0,43对称，所以 )43()(xfxf=0。取 x=0，得 )=0，所以 sin .02聚优堂教育所以 243k(kZ)，即 = 32(2k+1) (kZ).又 0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+)在0 ， 2上是减函数；取 k=1 时， =2，此时 f(x)=sin(2x+ )在0 ， 上是减函数；取 k=2 时， 310，此时 f(x)=sin(x+ )在0， 上不是单调函数，综上， = 2或 2。7三角公式的应用。例 11 已知 sin(-)=135，sin(+)=- 135，且 - ,2
16、，+ 2,3，求 sin2,cos2的值。【解】 因为 - ,2，所以 cos(-)=- .13)(sin又因为 + ,3，所以 cos(+)= .212所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=1690,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 12 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且 BCAcos2cos，试求2cosCA的值。【解】 因为 A=1200-C，所以 cos 2=cos(600-C)，又由于 )12cos(cos1)1cos(cos1 00 = )2(62(20
17、)600 ，所以 3coscos4CA=0。解得 2CA或 8。又 cos0，所以 2cos。例 13 求证：tan20 +4cos70 .【解】 tan20 +4cos70 = 0csin+4sin20 2o4i20cosin4si聚优堂教育 20cos4in13in20cos4iinsi .20cos6ii8i 三、基础训练题1已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2 sin3, -2cos3)，则 x 的弧度数为_。2适合 xcos1cs-2cscx 的角的集合为_。3给出下列命题：（1）若 ，则 sin sin；（ 2）若 sinsin,则 ；（3）若sin0，则 为第一或第二象限
18、角；（ 4）若 为第一或第二象限角，则 sin0. 上述四个命题中，正确的命题有_个。4已知 sinx+cosx= 5(x(0, )，则 cotx=_。5简谐振动 x1=Asin 3t和 x2=Bsin 6t叠加后得到的合振动是 x=_。6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x- 2)=5cos(x+3)=5cos(x- 4)，则 1， 2， 3， 4 分别是第_象限角。7满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有_个。8已知 2，则 cos2=_。9 40cos17sin)tan3(540co=_。10cot15 cos25 cot35 co
19、t85 =_。11已知 ,(0, ), tan 2, sin(+)=135，求 cos 的值。12已知函数 f(x)= xmcosin在区间 ,0上单调递减，试求实数 m 的取值范围。四、高考水平训练题1已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R，若其周长为定值 c(c0)，当扇形面积最大时，a=_.2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是_.3. 函数 ycos2in的值域为 _.4. 方程 xlg6i=0 的实根个数为_.5. 若 sina+cosa=tana, a 2,0， 则 3_a（填大小关系）.6. (1+tan1 )(1+tan2 )(1+tan44
20、)(1+tan45 )=_.7. 若 00, k=-1，求 f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数 k，使得当 x 在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、联赛一试水平训练题（一）1若 x, yR，则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是_.2已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)= ksin3的一个最大值点与一个最小值点，则实数 k的取值范围是_.3f( )=5+8cos +4cos2+cos3 的最小值为_.4方程 sinx+ 3cosx+a=0 在（0，2 ）内有相异两实根 ， ，则 +=_.5函数 f(x)=
21、|tanx|+|cotx|的单调递增区间是_.6设 sina0cosa, 且 sin cos 3，则 a的取值范围是_.7方程 tan5x+tan3x=0 在0， 中有_个解 .8若 x, yR, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为 _.9若 00)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数 g(x)= 12a的图象所围成的封闭图形的面积是 _.聚优堂教育2若 3,125x，则 y=tan 32x-tan 6x+cos 6x的最大值是_.3在ABC 中，记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，则 BACcott=_.4设 f(x)=x2-x,
22、 =arcsin 31, =arctan 45, =arccos 31, =arccot 45, 将 f(), f(), f(), f()从小到大排列为_.5log sin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为_.6在锐角ABC 中，cosA= cossin, cosB=cossin, cosC=cossin，则tantantan=_.7已知矩形的两边长分别为 tan 2和 1+cos (00 恒成立，则 的取值范围是_.10已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cos
23、z=0，则 cos2x+ cos2y+ cos2z=_.11已知 a1, a2, ,an 是 n 个实常数，考虑关于 x 的函数：f(x)=cos(a 1+x)+ cos(a2+x) +12ncos(an+x)。求证：若实数 x1, x2 满足 f(x1)=f(x2)=0，则存在整数 m，使得 x2-x1=m.12在ABC 中，已知 3coscosiniCBA，求证：此三角形中有一个内角为 3。13求证：对任意自然数 n, 均有|sin 1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n| 58.六、联赛二试水平训练题1已知 x0, y0, 且 x+y0（wR）.2. 已知 a 为锐角，
24、n2, nN +，求证： 1cossin1an2 n-2 1+1.3. 设 x1, x2, xn, y1, y2, yn,满足 x1=y1= 3, xn+1=xn+ n, yn+1= 2ny，求证：2m，求证：对一切 x 2,0都有 2|sinnx-cosnx|3|sin nx-cosnx|.7在ABC 中，求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。聚优堂教育8求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一项均为负数。9已知 i 20，tan 1tan 2tann=2 , nN +, 若对任意一组满足上述条件的1， 2， n 都有 cos 1+cos 2+cos n，求 的最小值。
