1、1. 集合的含义及其表示（一）集合元素的互异性1. 已知 ，则集合 中元素 x 所应满足的条件为 xR23,x变式：已知集合 ，若 ，则实数 的值为_3,)1(aaAA1a2. 中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 cbM, 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 等腰三角形（二）集合的表示方法1. 用列举法表示下列集合（1）_|,abAx为 非 零 实 数变式：已知 a,b,c 为非零实数,则 的值组成的集合为 _|abca（2） _,36|),(*NxZyxA )1,9(26),35(,4)62(,31A变式 1： 12,变式 2： NyxyxA,6,（3）集合 用列举法表
2、示集合 B,|,2,|2AxBZ（4）已知集合 M= ，则集合 M 中的元素为 5|*a变式：已知集合 M= ，则集合 M 中的元素为 |6N2. 用描述法表示下列集合（1）直角坐标系中坐标轴上的点 _变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点_ Rxy,),（2）能被 3 整除的整数 _ . Znx,33. 已知集合 ， ，10，AAxBxC（1）用列举法写出集合 ；（2）研究集合 之间的包含或属于关系, B,4. 命题 (1) ；(2) ；(3) ； (4) 表述正确的是 .2x0,0N5. 使用 和 和数集符号来替代下列自然语言：（1） “255 是正整数” （2） “2 的平方根不是
3、有理数 ”（3） “3.1416 是正有理数” （4） “-1 是整数”（5） “ 不是实数”x6. 用列举法表示下列集合：（1）不超过 30 的素数 （2）五边形 的对角线ABCDE（3）左右对称的大写英文字母 （4）60 的正约数7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合 ， ,（1）平面上以 为圆心，5 为半径的圆上所有点的集合为_ A 5PAE（2）说明下列集合的几何意义： ；5PAEBPAE8. 当 满足什么条件时，集合 是有限集？无限集？空集？ba, 0bax9. 元素 0、空集 、 、 三者的区别？010. 请用描述法写出一些集合 ，使它满足：A（i）集合 为单元素集，即 中只
4、含有一个元素；（ii）集合 只含有两个元素；（iii ）集合 为空集11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋？解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合 ，孵出了最早的鸡的蛋J算不算鸡蛋呢？这是关键问题。设所有的鸡蛋组成集合 ，要确定 的元素，就得立个D标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。（三）空集的性质
5、1. 若 x|x2a，aR，则实数 a 的取值范围是_2. 已知 a 是实数，若集合x| ax1是任何集合的子集，则 a 的值是 _ .03. 下列三个集合中表示空集的是 (1) 0； (2) (x, y)|y2=-x2,xR ，yR ；(3) xN|2 x2+3x-2=0.变式 1：若集合 = _ BABA则,1|变式 2：若集合 ， ，则 _1,0|cos(),yx1,（四）集合相等1. 已知集合 A= ，B= ，若 A=B，则 _1,ab0,2ba2034ba2. 已知集合 ，集合 ，且 ，求实数 和 的值.,Ax21,ByABxy3. 已知 201,0,3x且 ，则 x 的值为_4.
6、已知 A x，xy，lg(xy)，B0 ，| x|，y，且 AB，试求 x，y 的值5. 已知集合 ,且 ，则2,1,PdQqPQ_,dq6. 两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：（1）用列举法分别写出下列集合： ；4aZA42bZB（2）请你判断两集合 和集合 是否相等？B2. 集合方程问题1. 若集合 2|10,AxabxR（1）若 ，求 的值；（2）若 ，求 的值,1A,ab2. 若集合 有且只有一个元素，则实数 的取值集合为 .|2x3. 设 ，求 .,yabAyxa,b4. 已知集合 ， 为实数.210,xR（1）若 A 是空集，求 的取值范围；
7、（2）若 A 是单元素集，求 的值；a（3）若 A 中至多只有一个元素，求 的取值范围5. 已知集合 ，用列举法表示集合 A 为 .241xa关 于 的 方 程 有 惟 一 解变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？3. 子集、全集、补集1. 集合 ，集合 ，若 ， 的取值集合为A01|kx0|kxBBAk_ 2. 设集合 U=(x，y )|y=3x1，A=( x，y)| =3，则 A= .12CU3. M=x| 2x 5, N=x| a+1x2a1.若 M N，实数 a 的取值范围为 .4. 若 ，B=x|x 2-4x=0，C=x|x 2-8x+16=0，若0)1(22aC,求实数 a
8、的取值范围AB5. 或 ， ，当 时，实数 的取值范围为x4xBABa_6. 已知集合 ， ，满足 ，则实数 的取值范围为21axA1xBBAa_变式：已知集合 ，集合50x2x（1）若 ，求实数 a 的取值范围BA（2）若 ，求实数 a 的取值范围（3）A、B 能否相等？若能，求出 a 的值；若不能，试说明理由7. 已知集合 ， ，若 ，实数|312Mx|13NxN MCR的取值范围为_a8. 已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，9， ,91)()(,2BABAU，则 , .,)(BACUA9. 设 ，集合 ， , 若R2|0x2|(1)0xmx， = _U)(m10. 已知全集
9、，若 ，则 a 的值为_3,210,312MCu11. 若集合 .分别求出当全集为下列集合时的 .|xA UA(1) ； (2) ；(3) .R|U30|x12. 若集合 ， ，且 ，则实数062x)(2aNMN的值为 _a13. 已知集合 ， ，是否存在集合 C，使 C 中的每个元素加9,84A8,531B上 2 就变成了 A 的一个子集，且 C 中的每个元素减去 2 就变成了 B 的一个子集？若存在，求出集合 C；若不存在，说明理由14. ， ， ，则 _2,1U02qpxA1ACuqp15. 写 出 满 足 条 件 aM a， b， c， d的 集 合 M16. 已知 A=0，2，4，
10、UA=-1，1 ， UB=-1，0，2，求 B= C17. 设集合 , ,则满足 且 的集合 的个1,3456A,7BSABS数为_ 5618. 已知集合 同时满足：2 20,10xpqxqp,，求实数 的值.-2,解：两式相减，得 51,3,2或 或19. 已知集合 ，分别根据下,0,()(3)0AyxBxa列条件，求实数 的取值范围.a（1） ；（2） （1） ；（2）B-， -4,120. ， ，04axA0342x082mxC（1）若 ，求 的取值范围；（2）若 ，求 的取值范围；3Aa（3）若 ，求 的取值范围. （4）若 ，求 的取值范围CBmB21. 有限集中有一个特殊的集合 ，
11、约定“空集是任何集合的子集”，为什么要作出这样的约定？任何一个约定式定义，它必须遵循： 规定的必要性； 规定的合理性。（1）必要性：从子集的定义可知，子集定义中所涉及的集合不包括空集。为了完善子集定义，约定空集是任何集合的子集是必要的；（2）合理性：由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集，但是，上述这个结论中的“任何一个集合” ，也是不包括空集的，只有规定了“ 空集是任何集合的子集 ”，才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立，这就是约定的合理性。22. 请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。 , 等等；A1B【拓展思考】请你
12、给出一个集合，使它的两个元素同时也是它的子集，符合条件的集合，可以只含有这两个元素吗？ ；可以，集合2,C,D23. 元素和相等的子集（i）设集合 ,是否存在两个无共同元素的子集，两子集元素之和相等？9864,31M（ii）在 这 9 个数字中任取 6 个不同的数组成集合 ，请问符合条件（1）的子集M是否存在，由此你可以得到什么一般性的结论？【拓展思考】若将集合 的元素个数变为 79 种的任一个，结论如何？24. 与其子集元素个数一样多的集合是否存在这样的集合，它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多？【拓展思考】请你写出几个符合条件的无限集25. 约数集的个数设非空集合 ，且满
13、足条件“如果 ，那么 ”NSSxSx16（i）请你写出一个只含有一个元素的集合 ；（ii）只含有三个元素的集合 只有是否唯一？若不唯一，请写出两个不同的集合 ？S S（iii ）满足题设的集合 共有几个？（iV）对非空集合 ，若使集合 所含元素的个数不超过四个，那么题设条件可N以改为_4. 交集、并集运算1. 已知 ，则 _1,21,AxyByxRAB变式 1：若集合 ，则 MP= :|,|PMx2. 设集合 或|0x4,|2xa（1）若 ，则实数 的取值范围为_ABa（2）若 ，则实数 的取值范围为_3. 已知集合 = , ,则 = ,1|2Zxyx,12|AxyBB4. 已知集合 ， ，全
14、集4Aa5x或 UR（1）若 ,求实数 a 的取值范围B（2）若 ，求实数 a 的取值范围Cu5. 集合 ， ，22|190Ax2|560Bx2|80Cx满足 ， 实数 的值为 ,B,6. 已知全集 ，若非空集合 ，则实数 的取| |UxAxaAUa值范围是_7. 若集合 或 ， ，且 ，12AbxB2xB，则 _， _31xBa8. 已知集合 ，且 ，则实数 的取值范2x， ()ACRa围是 9. 已知非空集合 A x2a1x3a5，B x3x22，则能使 A (AB)成立的所有 a 值的集合是 10. 已知 A=a1，a 2，a 3 ，a 4，B= ， 其中 a1a2a3a4 ，a 1，a
15、 2，a 3 22134,a，a 4N，若 AB=a 1，a 4 ，a 1+a4=10，且 AB 所有元素和为 124，则集合 A= B= 11. 设集合 ，则 的元素个数为_圆，直 线 B12. 设集合 ，Rxx,)(2 x542（1）若 ，求实数 a 的值（2）求 , .ABA13. 如图，U 是全集，M、P、S 是 U 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是 14. 若全集 都为二次函数， ， ，则,RI)(xgf与 0)(xfP0)(xgQ不等式 的解集可用 表示为_0)(xgfQP,15. 已知集合 ， ，则 _2 1A， 2B， AB16. 若集合 ， ， ，且 ，|Pxa|30
16、xb,aN1PQ则满足条件的整数对 的个数为 _(,)b变式：已知集合 A ,且 只有 5 个xBxx 2|,152| BA整数解，则 的取值范围是 _ . a6a117. 设 A 2, 1, a 2a +1，B b, 7, a + 1 ，M 1, 7 ，AB M （1）设全集 ，求 ； （2）若 ,求 a 和 b 的值UCUN18. 集合 ,0M， 30,NxxZ，如果 ，则 a 19. 集合 ， ，若 时 的取值范围是 ，log|21xA)(aBAB(,)c则 =_ c20. 已知全集 UR，则正确表示集合 M 1,0,1 和 Nx|x 2x0 关系的韦恩(Venn)图是_21. 已知集合
17、 M0,1,2，Nx|x2a，a M，则集合 MN_.22. (2009 年高考江西卷改编)已知全集 UA B 中有 m 个元素，( UA)(UB)中有 n 个元素. 若 AB 非空，则 AB 的元素个数为 _23. 已知函数 f(x) 的定义域为集合 A，函数 g(x)lg(x 22xm) 的定义域6x 1 1为集合 B.（1）当 m3 时，求 A(RB)；（2）若 ABx |1x4，求实数 m 的值24. 已知集合 AxR| ax23x 20 （1）若 A，求实数 a 的取值范围；（2）若 A 是单元素集，求 a 的值及集合 A；（3）求集合 MaR|A25. 设集合 0)5()1(2|,
18、023| 22 axxBx（1）若 ，求实数 的值；（2）若 ，求实数 的取值范围；BaA（3）若 ，求实数 的取值范围ACRUU,解：（1） ；（2）31a3（3） 或 或 或+a1a26. 集合 ,若 则 的子集个250,2,PxQxnZ,SPQ且 S数最多为_ 1627. 则66,11MxNxtNxx_M1,228. 已知 , ,则*A032B_ABCU29. 设方程 的全体解组成集合 ，方程 的全体解组成集合 ，则732yxU53yxV分别如何用集合表示？则VU和 )1,2(V30. 设 ， ，若直线 交于点 ，上 的 点直 线 ABM上 的 点直 线 CDNCDAB,P则 ；若 ，则
19、 ；还有其它情况吗？PN/M31. 方程 的解集为 ，方程 的解集为 。092x3-，0232x2,1则 是方程 的解集。所以对于右端为零的方程，,13BA92x如果能将其左端分解为几个因式的乘积，就能使求解的问题简化，这也是数学里常常把方程化成一端为零的形式的原因。32. 如果集合 各有 12 个元素，它们的并集有 20 个元素，那么，这两个集合有多少和个共同的元素？33. 如果集合 中有 3 个元素，集合 中有 2 个元素，试问：AB（1） 中最多有几个元素？最少有几个元素？B（2） 中最多有几个元素？最少有几个元素？34. 设方程组 的解集为 方程 与 的解集分别是0),(21yxf,F
20、0),(1yxf 0),(2yxf和 ，则1F21F例：若全集 都为二次函数， ， ，,RI)(xgf与 0)(xfP0)(xgQ则不等式 的解集可用 表示为_0)(xgfQ,35. 设全集 非空集合 ，若含 的一个集合运算表达式运算结果为空,RIIPP,集，则这个表达式可以是_. 已知集合 ， ，则 xyA,21| RxyB),1(log|2 BA5. 简单的数论问题1. 设 均为整数，把形如 的一切数构成的集合记作 M，设 ，试判断ba, 5bayx,是否属于集合 M，并说明理由.yxx,2. 已知集合 ，ZnmA,2求证：(1) ；(2) (3) 偶数 不属于 A.31kA42kZ3.
21、以某些整数为元素的集合 具有下列性质：P 中的元素有正数，有负数； 中的元素有奇数，有偶数；P ；若 ， ，则 1xyxy试判断实数 0 和 2 与集合 的关系P4. 设集合 A= ，B= ，C= ，,|Zk,12|Zk,14|Zkx若 ，则 （填集合 A 或 B 或 C）BbAa,ba变式 1: 若 ，则 （填集合 A 或 B 或 C）C,变式 2: 已知 A= ，若 ，则下列元素属于集合 A,2|Nnmba,的为 （填序号） ； ； ba0变式 3: ，集合 A= ，点 ，Zba, 63)(|,2yxyA)2,3(),1(),2(求 a 与 b 的值5. 已知 mA，nB，且集合 A x|
22、x2a，aZ，B x|x2a1，aZ ，又Cx| x4a1，a Z，判断 mn 属于哪一个集合？6. 已知集合 Ax| xa ，aZ，Bx|x ，bZ，Cx|x ，cZ ，则16 b2 13 c2 16A、B、C 之间的关系是_6. 新定义集合问题1. 给定集合 A、B，定义一种新运算：A*B= ，又已知,|BAxAx但或A=0，1，2，B=1 ，2，3，用列举法写出 B*2. 设 A 是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么 是k1kkA 的一个“孤立元” ，给定 ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，1,345,678S不含“孤立元”的集合共有 个3. 整数集 Z 中，被 5
23、除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ，记为k，即k=5n+k 丨 nZ，k=0,1,2,3,4. 给出如下四个结论： 20111； -33； Z=012 34 ;“整数 a，b 属于同一“类” ，则“a-b0”其中正确结论的序号是_（填写所有满足条件的序号）4. 设集合 ， 记 为同时满足下列条件的集合 的个数：12nPn， ， ，*N()fnA ； 若 ，则 ； 若 ，则 ， =_AxAxACxnpxnp2(4)f5. 设 a， b， c 为实数，f （x）=（x+a） .记集合2 2(),(1)bcgacbxS= 若 ， 分别为集合元素 S，T 的元素()0,)0,xfRTgRST
24、个数，则下列结论不可能的是_（填满足条件的字母）A =1 且 =0 B C =2 且 =2 D =2 且 =3S1=S且6. 如图所示的韦恩图中， 是非空集合，定义集合 为阴影,A#AB部分表示的集合，即 .#,|xx且若 ， ,则 _3|xyA且 1,|2yB7. 集合 , ，其中 ,我们把集合 ,01A2,BaaR122,xxAB记作 ，若集合 中的最大元素是 ，则 的取值范围是 .21a8.（2010 四川）设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 ,yS，都有 y,S，则称 S 为封闭集下列命题： 集合 Sab | ,为整数 为封闭集； 若 S 为封闭集，则一定有 0；3 封闭集一定
25、是无限集； 若 S 为封闭集，则满足 的任意集合 T也是封闭TR集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）9. 已知点集 ,2(,)48160Axyxy，点集 所表示的平面区域与点集 所表示的平面区(,)4,BxymRB域的边界的交点为 ，若点MN在点集 所表示的平面区域内（不在边界上） ，则 的面积的最大值为(,4)DADMN_10. 设集合 ， ，则集合1,234P32Qx_AxPQ且（用列举法表示）变：设集合 ， ，则集合2log1x3x_AxP且变：对任意两个集合 和 ,定义XY,()()XYxYX且设 ,则21,0,2cos,AyxRByxR且 _AB,0,11. 集合的“差”运算设
26、 是两个非空集合，定义 与 的差集PM, MPPxM且-（i）设集合 ，请你分别用列举法和描述法写出一个集合 ，使得8,642B A，试问满足条件的集合 共有多少个？5AA（ii）请写出两组集合 ，使得 ；， 5B（iii ）从（ii）中选出一组 ，计算 ，在此基础上，请你写出有关集合， )(的其他表达式，使其结果与集合 相等。BA， A12. 市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了 500 个市民，调查结果显示：订阅日报的有 334 人，订阅晚报的有 297 人，其中两样都订的有 150 人.（1）只订日报不订晚报的有多少人？（2）只订晚报不订日报的有多少人？（3）至少订
27、一种报纸的有多少人？（4）有多少人不订报纸？13. 某文化补习学校在学期末统计了参加补习的 198 名学生的成绩，统计结果表明，179人语文及格，153 人数学及格，其中两门都及格的有 130 人.（1）这个统计数字是否正确？请说明理由；（2）经查实，却有 7 人两门都不及格，而原来统计中语文和数学的及格人数是对的，那么，到底有多少人两门都及格？14. 某社区学院一个月 30 天课程安排情形如下：有 15 天有数学课，有 14 天有语文课，有 14 天有英语课. 有数学又有语文的有 7 天，有数学又有英语的有 6 天，有语文又有英语的有 6 天，三门课都有的有 3 天. 那么，有几天不上课？有
28、几天只上一门课？有几天只上两门课？7. 集合中一类动态问题的研究1. 某中学高一（1）班有 45 人，其中参加数学兴趣小组有 28 人，参加化学兴趣小组有21人，若数学化学都参加的有 x 人，则 x 的取值范围是 2. 2. ？dcba,？dcba,3. 对于集合 ，定义 为其长度，已知数集 ，bxaA mxP43都是集合 的子集31nxQ1,0U（1）若 且 ，求集合 的长度；（2）求集合 长度的最小值 4m2QPQP8. 集合计数问题研究1. 集合 ，集合 是 S 的子集，且 满足1,23,9S 123,Aa123,a，且 ，那么满足条件的子集 的个数为_83123a6a2. 记集合 P
29、= 0，2，4，6，8 ，Q = m | m = 100a1 10a2 a3，且 a1，a 2，a 3P ，将集合 Q 中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第 68 项是_4643.（13 年南通学科基地密卷）设 为给定的正整数，数集 的两个子集nnM,构成一个有序对BA, ),(BA（1）记 为满足 的有序对 的个数，求 ； na),(na（2）记 为所有满足集合 是集合 的真子集的有序对 的个数，求b ),(BAnb变式：设集合 A，B 是非空集合 M 的两个不同子集，满足：A 不是 B 的子集，且 B 也不是 A 的子集（1）若 M= ，直接写出所有不同的有序集合对(A,B) 的个数
30、；1234,a（2）若 M= ，求所有不同的有序集合对(A,B) 的个数n解：（1）110； 3 分（2）集合 有 个子集，不同的有序集合对( A,B)有 个M2n 2(1)n若 ，并设 中含有 个元素，则满足 的有序AB*(1,knkN AB集合对 (A,B) 有 个 6 分100)23n knnkkCC同理，满足 的有序集合对 (A,B)有 个 8 分满足条件的有序集合对(A,B )的个数为 10 分1(2)423nnnn4. (13 年南通学科基地密卷）设 为集合 的子集，其中 为jP,21， i,3, ji,正整数，记 为满足 的有序子集组 的个数.ijajP31 )(21jP（1）求 的值；（2）求 的表达式ija
