1、桥梁、弦艺术和 Bzier 曲线Renan Gross关 键 词 ：耶 路 撒 冷 弦 桥建 造 以 色 列 耶 路 撒 冷 弦 桥 是 为 了 该 城 市 的 轻 轨 列 车 系 统 。 然 而 ， 它 的 设 计 不 仅 仅将 实 用 考 虑 在 内 ， 它 还 是 一 件 艺 术 作 品 ， 被 设 计 成 一 座 丰 碑 。 其 美 丽 不 仅 在 于 其纵 横 交 错 的 缆 线 的 视 觉 外 观 ， 而 且 还 在 于 它 背 后 的 数 学 。 让 我 们 深 入 研 究 一 下 桥和 桥 背 后 的 故 事 。弦 桥 的 晚 景弦 桥 通 常 是 悬 索 桥 ， 它 的 整
2、体 重 量 由 上 方 承 担 。 在 这 种 情 况 下 ， 桥 面 由 多 条 强 大的 钢 索 连 接 到 一 个 单 一 的 塔 。 缆 线 以 下 列 方 式 连 接 ： 塔 顶 的 缆 线 支 撑 桥 梁 的 中 心 ，底 部 的 那 些 缆 线 支 撑 更 远 部 分 的 受 力 ， 因 为 这 个 原 因 我 们 看 到 缆 线 相 互 交 叉 。从 下 面 看 弦 桥尽 管 这 些 缆 线 给 出 了 一 条 条 离 散 直 线 ， 但 我 们 注 意 到 一 个 明 显 的 特 点 ： 缆 线 边 缘的 轮 廓 似 乎 惊 人 的 光 滑 。 我 们 不 禁 要 问 它 服
3、 从 某 些 数 学 公 式 吗 ？为 了 找 出 边 缘 形 成 的 形 状 ， 我 们 将 着 手 为 桥 梁 制 定 一 个 数 学 模 型 。 由 于 建 筑 本 身是 相 当 复 杂 的 ， 它 具 有 弯 曲 的 桥 面 和 一 个 由 两 部 分 组 成 的 斜 塔 ， 我 们 将 不 得 不 提出 一 些 简 化 模 型 。 虽 然 我 们 失 去 了 一 点 点 的 准 确 度 和 精 密 度 ， 但 我 们 获 得 了 数 学的 简 单 性 ， 并 且 仍 然 可 以 捕 捉 到 弦 桥 形 式 的 美 丽 本 质 。 更 重 要 的 是 ， 我 们 还 能 够将 我 们
4、的 简 化 模 型 结 果 推 广 到 实 际 的 桥 梁 结 构 上 去 。这 就 是 建 模 的 核 心 -抓 住 现 实 世 界 中 的 重 要 特 征 ， 并 把 它 们 转 化 为 数 学 。桥 弦 分 析让 我 们 先 建 立 一 个 坐 标 系 (x, y)， x-轴 对 应 于 桥 基 ， -轴 对 于 将 桥 挂 起 的塔 。图 1： 坐 标 轴 叠加 在 桥 上把 塔 取 成 y-轴 从 0 到 1 的 部 分 ， 桥 面 取 成 x-轴 从 0 到 1 的 部 分 ， 然 后 我 们 在每 根 轴 画 上 有 均 匀 间 距 的 n 个 标 志 。 从 x-轴 上 的 每
5、 个 标 志 ， 我 们 画 一 条 直 线到 y-轴 ， 使 得 x-轴 上 的 第 1 个 标 记 和 y-轴 上 的 第 个 标 志 相 连 ， x-轴 上 的第 2 个 标 记 和 y-轴 上 的 第 个 标 志 相 连 ， 等 等 。 这 些 线 代 表 我 们 的 桥弦 。 我 们 还 假 设 x-轴 和 y-轴 直 角 相 交 。 这 不 是 一 个 完 美 的 现 实 画 面 ， 缆 线 没 有均 匀 分 布 ， 塔 和 桥 面 也 不 垂 直 ， 但 这 一 假 设 简 化 了 分 析 。图 2： 坐 标 轴 和均 匀 间 隔 的 弦桥 弦 形 成 的 轮 廓 基 本 上 是
6、 出 于 缆 线 和 它 们 相 邻 缆 线 的 交 叉 点 ： 你 用 一 条 直 线 把 每个 交 叉 点 及 它 后 面 的 交 叉 点 相 连 。 弦 越 多 ， 轮 廓 越 光 滑 。 因 此 ， 众 多 的 弦 引 导 出了 被 称 为 包 络 线 的 平 滑 曲 线 ， 当 有 充 分 多 条 弦 存 在 时 你 会 看 到 非 常 漂 亮 的 轮 廓 。放 弃 详 细 计 算 （ 你 可 以 在 这 里 找 到 ） ， 我 们 发 现 这 条 曲 线 上 所 有 点 的 坐 标 具 有下 面 的 形 式其 中 在 和 之 间 。 因 此 ，我 们 会 问 ： 这 是 它 吗 ？
7、 形 状 是 以 这 样 一 个 数 学 关 系 出 现 吗 ？ 事 实 上 ， 不 是 ！ 虽 然起 初 不 容 易 看 到 ， 但 我 们 都 要 证 明 其 数 学 关 系 实 际 上 是 一 个 抛 物 线 方 程 ！ 对 此 你可 能 会 说 ， 一 个 抛 物 线 的 方 程 是 ：它 与 我 们 上 面 得 到 的 结 果 非 常 不 同 。 你 说 得 不 错 ， 然 而 ， 花 一 点 功 夫 就 可 以 证 明我 们 的 抛 物 线 的 论 断 ， 如 果 我 们 定 义 和， 我 们 就 能 把 我 们 不 熟 悉 的 方 程 改 写 为这 个 形 式 就 是 我 们 熟
8、 知 的 抛 物 线 方 程 。 通 过 用 和 取 代 变 量 和 ，我 们 实 际 上 已 经 将 坐 标 系 旋 转 了 45 度 。 但 这 个 新 的 坐 标 系 吓 不 住 我 们 。 正 如我 们 可 以 看 到 的 ， 抛 物 线 的 方 程 都 是 一 样 的 。图 3： 上 ：抛 物 线 。 左 下 ： 倾 斜 45 度 的 同 样 的 抛 物 线 。 右 下 ：将 左 图 中 x 和 y 在 0 和 1 之 间 的 正 方 形 中 的 倾 斜 抛 物 线 放 大 ， 这 就 是 代 表 了 桥 的 区 域 。我 们 得 到 的 结 果 是 ， 缆 线 的 轮 廓 基 本
9、上 是 抛 物 线 ， 这 让 我 们 很 满 意 ， 因 为 抛 物 线有 一 个 简 单 而 优 雅 的 形 状 。 但 它 也 使 我 们 有 点 纳 闷 。 为 什 么 如 此 简 单 ？ 为 什 么 是抛 物 线 ， 而 不 是 一 些 其 它 的 曲 线 ？ 如 果 我 们 改 变 桥 的 形 状 ， 比 方 说 使 塔 更 倾 斜 一些 ， 它 会 如 何 影 响 我 们 的 曲 线 ？ 有 什 么 方 法 对 之 前 用 的 简 化 假 设 做 出 修 改 呢 ？一 个 不 太 可 能 的 答 案我 们 的 问 题 答 案 源 于 一 个 令 人 惊 讶 的 领 域 ： 汽 车
10、 设 计 。 早 在 20 世 纪 60 年 代 ，工 程 师 Pierre Bzier 使 用 特 殊 的 曲 线 指 定 他 的 汽 车 零 部 件 看 起 来 的 形 状 。 这些 曲 线 称 为 Bzier 曲 线 。 现 在 看 看 它 们 能 给 我 们 提 供 什 么 样 的 启 发 。我 们 都 知 道 ， 任 何 两 点 间 只 有 一 条 直 线 ， 因 此 ， 我 们 可 以 只 用 两 个 点 定 义 一 条 特定 的 线 。 类 似 地 ， Bzier 曲 线 可 以 由 任 何 数 量 的 称 为 控 制 点 的 点 来 定 义 。 不 像直 线 那 样 ， 它 不
11、 通 过 所 有 的 这 些 点 ， 而 是 始 于 第 一 点 ， 结 束 于 最 后 那 个 点 ， 但 不一 定 通 过 所 有 的 其 它 点 。 相 反 ， 其 它 的 点 充 当 “砝 码 ”， 引 导 曲 线 从 初 始 点流 到 最 后 点 。需 要 指 出 的 是 ， 给 定 的 总 点 数 是 有 特 定 意 义 的 。 点 的 个 数 用 来 定 义 曲 线 的 次 数 。一 条 两 点 线 性 Bzier 曲 线 有 次 数 1， 它 就 是 通 常 的 直 线 ； 三 点 的 二 次Bzier 曲 线 有 次 数 2， 为 抛 物 线 ； 一 般 地 ， 一 个 次
12、数 为 的 曲 线 有个 控 制 点 。图 4： 次 数 为 1,2和 3 的 Bzier 曲 线Bzier 曲 线 构 造 的 一 个 可 视 化 好 方 法 是 想 象 有 一 支 铅 笔 ， 它 从 第 一 个 控 制 点 开始 绘 制 到 最 后 一 个 控 制 点 。 在 其 途 中 ， 铅 笔 被 吸 引 到 不 同 的 控 制 点 ， 但 在 移 动 过程 中 铅 笔 的 被 吸 引 度 不 断 变 化 。 起 初 前 几 个 控 制 点 最 吸 引 它 ， 所 以 铅 笔 开 始 绘 制时 是 朝 着 它 们 的 方 向 走 。 随 着 铅 笔 的 向 前 移 动 ， 它 越
13、来 越 被 后 面 的 控 制 点 吸 引 ，直 到 它 到 达 最 后 一 点 。 在 我 们 画 线 的 任 何 给 定 时 刻 ， 我 们 可 以 问 ： “铅 笔 已经 画 了 曲 线 的 百 分 之 几 了 ？ ”这 个 百 分 比 被 称 为 曲 线 参 数 ， 并 以 标 记 。图 5： 绘 制Bzier 曲 线这 一 切 又 如 何 涉 及 到 我 们 的 抛 物 线 型 桥 ？ 当 我 们 看 到 如 何 绘 制 Bzier 曲 线时 ， 就 会 揭 示 这 样 的 联 系 。 绘 制 的 方 式 之 一 是 按 照 曲 线 坐 标 的 数 学 公 式 。 我 们 将跳 过
14、这 种 方 式 （ 你 可 以 在 这 里 看 到 这 个 公 式 ） ， 而 转 到 第 二 种 方 法 ： 递 归 地 构造 Bzier 曲 线 。 在 这 个 方 法 中 ， 为 了 构 建 一 个 次 数 为 的 曲 线 ， 我 们 使 用两 个 次 数 为 的 曲 线 。 下 面 我 们 用 一 个 例 子 来 说 明 它 。假 设 我 们 有 一 条 三 次 曲 线 。 它 由 四 个 点 定 义 。从 这 些 我 们 建 立 两 个 新 的 点 组 ： 除 最 后 点 之 外 的 所 有 点 ， 或 者 除 了 第 一 点 以 外 的所 有 点 。 因 此 我 们 有 ： 第一组
15、： 第二组： 这 两 组 中 的 每 一 个 定 义 了 一 条 二 次 Bzier 曲 线 。 还 记 得 我 们 如 何 讲 到 使 用 铅笔 ， 从 第 一 点 移 动 到 最 后 一 点 。 现 在 ， 假 设 你 有 两 支 铅 笔 同 时 画 这 两 条 二 次 曲 线 。第 一 条 将 从 开 始 ， 收 于 ， 而 第 二 条 始 于 而 终 于 。在 两 支 铅 笔 行 走 的 任 何 给 定 时 刻 ， 你 可 以 用 一 条 直 线 连 接 他 们 的 位 置 。因 此 ， 在 这 两 支 笔 画 的 时 候 ， 想 到 第 三 支 铅 笔 。 这 支 铅 笔 总 是 在
16、 前 两 支 铅 笔 当 前位 置 连 接 线 上 的 某 个 地 方 ， 并 以 和 其 他 两 支 笔 同 样 的 速 度 移 动 。 开 始 时 它 是 在和 的 连 线 上 ， 因 为 前 两 支 铅 笔 才 移 动 了 曲 线 的 ， 第 三支 铅 笔 沿 着 这 条 线 的 处 ， 故 在 点 。 当 其 他 两 支 铅 笔 走 了 比 方 说曲 线 的 ， 分 别 位 于 点 和 ， 第 三 支 铅 笔 是 在 和连 线 中 标 志 为 的 那 个 点 。 当 其 他 两 支 铅 笔 已 经 完 成 了 他 们的 旅 程 ， 分 别 在 点 和 处 ， 第 三 铅 笔 是 在 和
17、连 线 上 的 处 ， 即 在 点 。图6： 用 二 次 曲 线 构 造 一 条 三 次 Bzier 曲 线 。 红 色 和 绿 色 的 曲 线 是 二 次 曲 线 ， 而 粗 的 黑 色曲 线 是 三 次 曲 线 - 这 是 我 们 要 构 建 的 曲 线 。 点 和 沿 着 两 条 二 次 曲 线 走 ， 而 我们 的 绘 图 铅 笔 总 是 沿 着 连 接 和 的 蓝 线 走 。一 个 很 好 的 问 题 是 ： 刚 才 我 们 描 述 了 如 何 构 造 一 条 次 曲 线 ， 但 这 样 做 需 要绘 制 次 曲 线 。 我 们 如 何 知 道 该 怎 样 做 呢 ？ 幸 运 的 是
18、 ， 我 们 可 以 对 这 些助 理 曲 线 应 用 完 全 相 同 的 过 程 。 我 们 将 从 两 条 次 数 较 小 的 曲 线 把 它 们 构 造 出 来 。重 复 此 过 程 ， 我 们 最 终 完 成 曲 线 的 绘 制 。 这 是 线 性 一 次 曲 线 ， 即 仅 仅 是 一 条 直 线 ，画 它 没 有 任 何 问 题 。 因 此 ， 所 有 复 杂 的 Bzier 曲 线 可 以 通 过 很 多 直 线 的 组 合绘 制 而 成 。应 用 Bzier 曲 线现 在 我 们 有 点 熟 悉 Bzier 曲 线 了 ， 那 么 可 以 回 到 原 来 的 问 题 ： 什 么
19、 原 因 使 桥 的形 状 成 为 抛 物 线 ？ 我 们 怎 样 才 能 扩 展 我 们 的 模 型 ， 以 减 弱 我 们 所 提 出 的 假 设 ？事 实 证 明 ， 美 丽 的 弦 桥 只 是 一 条 二 次 Bzier 曲 线 ！ 要 看 到 这 一 点 ， 让 我 们 回到 代 表 桥 梁 的 坐 标 系 统 ， 绘 制 对 应 调 整 三 个 点 的 坐 标之 间 的 间 距 ， 使 之 一 致 。 使 用 我 们 的 递 归 过 程 ， 这 条 二 次 曲 线 将 由 两 条 直 线 形 成 ：从 到 的 直 线 （ 从 下 降 到 的 -轴 ） 和 从 到的 直 线 （ 从
20、增 加 到 的 -轴 ） 。现 在 假 设 第 一 支 铅 笔 已 沿 -轴 下 降 距 离 到 达 点 。 与 此同 时 ， 第 二 支 铅 笔 沿 着 -轴 达 到 点 。 因 此 ， 第 三 支 铅 笔 将 在 从 点到 点 的 线 上 的 的 位 置 。因 此 ， Bzier 曲 线 与 所 有 属 于 和 之 间 的 线 相 遇 。 这 些 线 （ 或 至少 它 们 当 中 的 条 ） 对 应 于 我 们 的 桥 弦 。图 7： 红 色 箭 头 代 表 t=0.5时 t 沿 轴 走 过 的 距 离 ， 蓝 线 是 线 。现 在 设 ， 我 们 则 看 到 线 的 中 点位 于 Bzi
21、er 曲 线 上 。 图 8 显 示 点 还 位 于 所 有 形 成 的轮 廓 上 （ 如 果 这 张 图 不 使 你 信 服 ， 请 看 这 里 的 网 页 ） 。 这 足 以 表 明 ， Bzier曲 线 和 轮 廓 线 是 相 同 的 曲 线 。 如 图 8 所 示 ， 任 何 其 它 与 相 遇 的 抛 物 线 将错 过 点 并 穿 越 线 两 次 。图 8： 蓝 线 代 表 的 一 部分 。 红 线 是 。 绿 色 曲 线 表 明 除 轮 廓 线 外 的 任 何 抛 物 型 线 都 不 会 碰 到 P 点欣 赏 这 一 事 实 将 使 我 们 能 够 处 理 先 前 模 型 的 一
22、些 不 准 确 之 处 。 首 先 ， 我 们 曾 经 假设 轴 之 间 互 相 垂 直 ， 即 塔 和 桥 面 之 间 实 际 上 有 一 个 角 度 。 现 在 我 们 看 到 ， 这 并 不重 要 。 如 果 我 们 将 y-轴 （ 以 及 任 何 其 他 在 x-轴 和 y-轴 之 间 从 原 点 (0, 0)辐射 出 的 线 ） 反 时 针 旋 转 一 个 所 需 的 角 度 以 增 加 轴 之 间 的 角 度 ， 刚 才 使 用 的 论 点 依然 有 效 。 我 们 知 道 ， 任 何 二 次 Bzier 曲 线 是 一 条 抛 物 线 ， 桥 梁 轮 廓 因 而 仍 然是 一 条
23、 抛 物 线 。 其 次 ， 我 们 看 到 ， 在 我 们 的 模 型 中 弦 是 否 均 匀 分 布 无 关 紧 要 ： 它们 只 是 其 轮 廓 定 义 Bzier 曲 线 的 直 线 族 的 一 些 代 表 罢 了 。 第 三 ， 由 塔 而来 的 桥 弦 不 跨 越 它 的 整 个 长 度 ， 在 大 约 一 半 处 终 止 。 这 意 味 着 ， 我 们 只 看 到 部 分Bzier 曲 线 。 如 果 向 前 延 长 桥 面 ， 我 们 仍 将 有 一 条 抛 物 线 满 足。 然 后 桥 弦 的 轮 廓 是 抛 物 线 的 一 部 分 ， 并 跨 越 到 。图 9： 用 于弦
24、桥 的 正 确 Bzier 曲 线知 道 了 抛 物 线 形 状 的 弦 桥 轮 廓 的 根 本 原 因 后 ， 现 在 我 们 可 以 稍 休 息 一 下 。 某 种 意义 上 说 ， 20 世 纪 60 年 代 用 于 汽 车 零 部 件 设 计 的 曲 线 已 经 潜 入 到 21 世 纪 的 桥梁 设 计 之 中 ！Bzier 曲 线 无 处 不 在Bzier 曲 线 的 妙 处 远 远 不 仅 仅 体 现 在 汽 车 和 桥 梁 上 。 它 进 入 了 更 多 的 领 域 和 并有 着 广 泛 的 应 用 。 其 中 的 一 个 领 域 是 弦 艺 术 ， 这 时 弦 线 在 充 满
25、 钉 子 的 板 上 散 布 着 。虽 然 弦 只 能 作 直 线 ， 它 们 中 的 许 多 以 不 同 的 角 度 排 列 而 生 成 Bzier 曲 线 轮廓 ， 就 像 桥 弦 所 为 。图 10：由 弦 组 成 的 一 艘 船 和 模 式Bzier 曲 线 的 另 一 个 有 趣 之 处 表 现 在 计 算 机 图 形 学 。 在 许 多 图 像 处 理 程 序 中 ，我 们 常 常 用 画 笔 工 具 绘 制 Bzier 曲 线 。 更 重 要 的 是 ， 许 多 计 算 机 的 字 体 是 用Bzier 曲 线 定 义 的 。 每 个 字 母 由 多 达 几 十 个 的 控 制
26、点 来 定 义 ， 并 使 用 一 系 列 三次 到 五 次 的 Bzier 曲 线 绘 制 。 这 使 得 字 母 有 可 伸 缩 性 ： 不 管 你 如 何 放 大 或 缩 小这 些 字 母 ， 它 们 都 能 被 清 楚 地 呈 现 ， 见 下 图 。图 11： 一 些 在 FreeSerif 字 体 （ 简 体 ） 中 用 来 形成 “a”和 “g”的 Bzier 控 制 点这 就 是 数 学 之 美 。 它 出 现 的 地 方 我 们 从 未 期 望 ， 它 可 将 看 上 去 完 全 无 关 的 领 域 美妙 地 连 接 起 来 。 考 虑 到 曲 线 最 初 用 于 汽 车 零 部 件 设 计 的 事 实 ， 现 在 又 被 用 来 设 计桥 梁 ， 我 们 再 次 感 到 这 是 数 学 跨 学 科 性 质 的 一 个 真 正 展 示 。
