中考数学压轴题专项练习含答案.doc

1、1中考数学压轴题专项练习-函数图象中点的存在性问题1 如图 1，已知抛物线 （ b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交21()44yx于点 A、 B（点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊

2、情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 12 如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点(2)yxB、C ，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 121.2 因动点产生的等腰三角形问题1 如图 1，

3、抛物线 yax 2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 2 如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角

4、形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 131.3 因动点产生的直角三角形问题1 如图 1，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，2384yx与 y 轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式图 1 2 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk (x2x1)的图象交于点A(1,k)和点 B(

5、1,k)（1）当 k2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k的值4中考数学压轴题专项练习-函数图象中点的存在性问题（答案）思路点拨 1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上

6、满分解答： （1）B 的坐标为(b, 0) ，点 C 的坐标为(0, )4b（2）如图 2，过点 P 作 PD x 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC因此 PDPE 设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S PBO 2b15248bx解得 所以点 P 的坐标为 ( )165x6,5图 2 图 3（3）由 ，得 A(1, 0)，OA111()()44byxxb如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA当 ，即 时，BQAQOABAQO2BA所以 解得 所以符合题意的点 Q 为( )2()1b843b1

7、,23如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么 OQC 90。因此OCQQOA当 时，BQA QOA此时OQB90BAQO所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解得 此时 Q(1,4)BOAC14b4A5图 4 图 5思路点拨 1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBF EBC 45，或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答 （1）将 M(2, 2)代入 ，得 解得 m41(2)yx124()（2）当 m4

8、 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2) 4x所以 SBCE 62BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 4HP323(,)2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F由于BCEFBC，所以当 ，即 时，BCEFBCBE设点 F 的坐标为 ，由 ，得 1(,2)(xxmOC1(2)mx解得 xm2所以 F(m2, 0)由 ，得 所以FEB24BF(4)B由 ，得 整理，得 016此方程2CEBF22(4)()m

9、无解6图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBCCBF，所以 ，即 时，BCEBFCBEC2BE在 Rt BFF中，由 FFBF ，得 1()xm解得 x2m所以 F 所以 BF2m 2， (2,0) (2)F由 ，得 解得 BCE ()综合、，符合题意的 m 为 思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3) ，代入点 C(0 ,3)，得3a3解

10、得 a1所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(x3)x 22x3（2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由 ，BOCO，得 PHBH 2BHOC所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2（3）点 M 的坐标为(1, 1) 、(1, )、(1, )或(1,0) 6设点 M 的坐标为(1,m) 在MAC 中，AC 210，MC 21( m3) 2，MA 24m 2如图 3，当 MAMC 时，MA 2MC 2解方程 4m 21( m3) 2，得 m1此时点 M 的坐标为(1, 1) 如图 4，当

11、AMAC 时，AM 2AC 2解方程 4m 210，得 67此时点 M 的坐标为(1, )或(1, )6如图 5，当 CMCA 时，CM 2CA 2解方程 1(m3) 210，得 m0 或 6当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起满分解答（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C在 RtOBC 中，BOC30，OB4，所以 BC2， 3OC所

12、以点 B 的坐标为 (,)（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 yax( x4)，代入点 B ， 解得 (,3)2(6)a36a所以抛物线的解析式为 234yxx（3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y)当 OPOB 4 时，OP 216所以 4+y216解得 3当 P 在 时，B、O、P 三点共线（如图 2） (2,)当 BPBO 4 时，BP 216所以 解得 24()16y123y8当 PBPO 时，PB 2PO 2所以 解得 2224(3)yy3综合、，点 P 的坐标为 ，如图 2 所示,图 2 图 3思路点拨1根据同底等高的三角

13、形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点 D 有两个2当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB90的点 M 有 2 个；当直线 l与圆相切时，符合AMB90 的点 M 只有 1 个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答（1）由 ，23(4)2848yxx得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线 x1（2）ACD 与ACB 有公共的底边 AC，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，点B、D 到直线 AC 的距离相等过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC 的另一侧有对应的点 D设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G

14、，与 AC 交于点 H由 BD/AC，得DBGCAO所以 34COBA所以 ，点 D 的坐标为 394G9(1,)因为 AC/BD，AGBG ，所以 HGDG而 DH DH，所以 DG3DG 所以 D的坐标为 27427(1,)49图 2 图 3（3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线 l 总是有交点的，即 2 个点M以 AB 为直径的G 如果与直线 l 相交，那么就有 2 个点 M；如果圆与直线 l 相切，就只有 1 个点 M 了联结 GM，那么 GMl在 Rt EGM 中，GM 3，GE 5，所以 EM4在 Rt EM1A 中， AE8， ，所以 M1A6113tanME

15、A所以点 M1 的坐标为(4, 6) ，过 M1、E 的直线 l 为 yx根据对称性，直线 l 还可以是 34yx思路点拨1由点 A(1,k)或点 B(1,k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是 题kyx目中的 k 都是一致的2由点 A(1,k)或点 B(1,k )的坐标还可以知道，A、B 关于原点 O 对称，以 AB 为直径的圆的圆心就是 O3根据直径所对的圆周角是直角，当 Q 落在O 上是， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形满分解答（1）因为反比例函数的图象过点 A(1,k)，所以反比例函数的解析式是kyx当 k2 时，反比例函数的解析式是 2yx（2）在反比例函数 中，如果 y 随 x 增大而增大，那么 k0kyx10当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大抛物线 yk(x 2x 1) 的对称轴是直线 215()4kxk12图 1所以当 k0 且 时，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大（3）抛物线的顶点 Q 的坐标是 ，A、B 关于原点 O 中心对称，15(,)24k当 OQOA OB 时，ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形由 OQ2OA 2，得 2()解得 （如图 2） ， （如图 3） 13kk图 2 图 3