1、 WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享第一部分 函数图象中点的存在性问题11 因动点产生的相似三角形问题例 1 2014 年衡阳市中考第 28 题例 2 2014 年益阳市中考第 21 题例 3 2015 年湘西州中考第 26 题例 4 2015 年张家界市中考第 25 题例 5 2016 年常德市中考第 26 题例 6 2016 年岳阳市中考第 24 题例 7 2016 年上海市崇明县中考模拟第 25 题例 8 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 26 题12 因动点产生的等腰三角形问题 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题例 10 2014 年张家界市第 25 题例 11 201
2、4 年邵阳市中考第 26 题例 12 2014 年娄底市中考第 27 题例 13 2015 年怀化市中考第 22 题例 14 2015 年长沙市中考第 26 题例 15 2016 年娄底市中考第 26 题例 16 2016 年上海市长宁区金山区中考模拟第 25 题例 17 2016 年河南省中考第 23 题WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享例 18 2016 年重庆市中考第 25 题13 因动点产生的直角三角形问题例 19 2015 年益阳市中考第 21 题例 20 2015 年湘潭市中考第 26 题例 21 2016 年郴州市中考第 26 题例 22 2016 年上海市松江区中考模拟第
3、 25 题例 23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题14 因动点产生的平行四边形问题例 24 2014 年岳阳市中考第 24 题例 25 2014 年益阳市中考第 20 题例 26 2014 年邵阳市中考第 25 题例 27 2015 年郴州市中考第 25 题例 28 2015 年黄冈市中考第 24 题例 29 2016 年衡阳市中考第 26 题例 30 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第 24 题例 31 2016 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题15 因动点产生的面积问题例 32 2014 年常德市中考第 25 题例 33 2014 年永州市中考第 25 题WORD 格
4、式 可编辑专业知识 整理分享例 34 2014 年怀化市中考第 24 题例 35 2015 年邵阳市中考第 26 题例 36 2015 年株洲市中考第 23 题例 37 2015 年衡阳市中考第 28 题例 38 2016 年益阳市中考第 22 题例 39 2016 年永州市中考第 26 题例 40 2016 年邵阳市中考第 26 题例 41 2016 年陕西省中考第 25 题16 因动点产生的相切问题例 42 2014 年衡阳市中考第 27 题例 43 2014 年株洲市中考第 23 题例 44 2015 年湘潭市中考第 25 题例 45 2015 年湘西州中考第 25 题例 46 2016
5、 年娄底市中考第 25 题例 47 2016 年湘潭市中考第 26 题例 48 2016 年上海市闵行区中考模拟第 24 题例 49 2016 年上海市普陀区中考模拟中考第 25 题17 因动点产生的线段和差问题例 50 2014 年郴州市中考第 26 题例 51 2014 年湘西州中考第 25 题WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享例 52 2015 年岳阳市中考第 24 题例 53 2015 年济南市中考第 28 题例 54 2015 年沈阳市中考第 25 题例 55 2016 年福州市中考第 26 题例 56 2016 年张家界市中考第 24 题例 57 2016 年益阳市中考第 2
6、1 题第二部分 图形运动中的函数关系问题21 由比例线段产生的函数关系问题例 1 2014 年常德市中考第 26 题例 2 2014 年湘潭市中考第 25 题例 3 2014 年郴州市中考第 25 题例 4 2015 年常德市中考第 25 题例 5 2015 年郴州市中考第 26 题例 6 2015 年邵阳市中考第 25 题例 7 2015 年娄底市中考第 26 题例 8 2016 年郴州市中考第 25 题例 9 2016 年湘西州中考第 26 题例 10 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 25 题例 11 2016 年哈尔滨市中考第 27 题WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享第
7、三部分 图形运动中的计算说理问题31 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2014 年长沙市中考第 25 题例 2 2014 年怀化市中考第 23 题例 3 2014 年湘潭市中考第 26 题例 4 2014 年株洲市中考第 24 题例 5 2015 年衡阳市中考第 27 题例 6 2015 年娄底市中考第 25 题例 7 2015 年永州市中考第 26 题例 8 2015 年长沙市中考第 25 题例 9 2015 年株洲市中考第 24 题例 10 2016 年怀化市中考第 22 题例 11 2016 年邵阳市中考第 25 题例 12 2016 年株洲市中考第 26 题例 13 2016
8、 年长沙市中考第 25 题例 14 2016 年长沙市中考第 26 题32 几何证明及通过几何计算进行说理问题例 15 2014 年衡阳市中考第 26 题例 16 2014 年娄底市中考第 26 题例 17 2014 年岳阳市中考第 23 题例 18 2015 年常德市中考第 26 题WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享例 19 2015 年益阳市中考第 20 题例 20 2015 年永州市中考第 27 题例 21 2015 年岳阳市中考第 23 题例 22 2016 年常德市中考第 25 题例 23 2016 年衡阳市中考第 25 题例 24 2016 年永州市中考第 27 题例 25
9、2016 年岳阳市中考第 23 题例 26 2016 年株洲市中考第 25 题例 27 2016 年湘潭市中考第 25 题第四部分 图形的平移、翻折与旋转41 图形的平移例 1 2015 年泰安市中考第 15 题例 2 2015 年咸宁市中考第 14 题例 3 2015 年株洲市中考第 14 题例 4 2016 年上海市虹口区中考模拟第 18 题42 图形的翻折例 5 2016 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题例 6 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 18 题例 7 2016 年上海市闵行区中考模拟第 18 题例 8 2016 年上海市浦东新区中考模拟第 18 题WORD 格式 可编
10、辑专业知识 整理分享例 8 2016 年上海市普陀区中考模拟第 18 题例 10 2016 年常德市中考第 15 题例 11 2016 年张家界市中考第 14 题例 12 2016 年淮安市中考第 18 题例 13 2016 年金华市中考第 15 题例 14 2016 年雅安市中考第 12 题43 图形的旋转例 15 2016 年上海昂立教育中学生三模联考第 18 题例 16 2016 年上海市崇明县中考模拟第 18 题例 17 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题例 18 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟第 18 题例 19 2016 年上海市闸北区中考模拟第 18 题例 20
11、 2016 年邵阳市中考第 13 题例 21 2016 年株洲市中考第 4 题44 三角形例 22 2016 年安徽省中考第 10 题例 23 2016 年武汉市中考第 10 题例 24 2016 年河北省中考第 16 题例 25 2016 年娄底市中考第 10 题WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享例 26 2016 年苏州市中考第 9 题例 27 2016 年台州市中考第 10 题例 28 2016 年陕西省中考第 14 题例 29 2016 年内江市中考第 11 题例 30 2016 年上海市中考第 18 题45 四边形例 31 2016 年湘西州中考第 11 题例 32 2016
12、年益阳市中考第 4 题例 33 2016 年益阳市中考第 6 题例 34 2016 年常德市中考第 16 题例 35 2016 年成都市中考第 14 题例 36 2016 年广州市中考第 13 题例 37 2016 年福州市中考第 18 题例 38 2016 年无锡市中考第 17 题例 39 2016 年台州市中考第 15 题46 圆例 40 2016 年滨州市中考第 16 题例 41 2016 年宁波市中考第 17 题例 42 2016 年连云港市中考第 16 题例 43 2016 年烟台市中考第 17 题WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享例 44 2016 年烟台市中考第 18 题例
13、 45 2016 年无锡市中考第 18 题例 46 2016 年武汉市中考第 9 题例 47 2016 年宿迁市中考第 16 题例 48 2016 年衡阳市中考第 17 题例 49 2016 年邵阳市中考第 18 题例 50 2016 年湘西州中考第 18 题例 51 2016 年永州市中考第 20 题47 函数的图象及性质例 52 2015 年荆州市中考第 9 题例 53 2015 年德州市中考第 12 题例 54 2015 年烟台市中考第 12 题例 55 2015 年中山市中考第 10 题例 56 2015 年武威市中考第 10 题例 57 2015 年呼和浩特市中考第 10 题例 58
14、 2016 年湘潭市中考第 18 题例 59 2016 年衡阳市中考第 19 题例 60 2016 年岳阳市中考第 15 题例 61 2016 年株洲市中考第 9 题WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享例 62 2016 年永州市中考第 19 题例 63 2016 年岳阳市中考第 8 题例 64 2016 年岳阳市中考第 16 题例 65 2016 年益阳市中考第 14 题例 66 2016 年株洲市中考第 10 题例 67 2016 年株洲市中考第 17 题例 68 2016 年东营市中考第 15 题例 69 2016 年成都市中考第 13 题例 70 2016 年泰州市中考第 16 题
15、例 71 2016 年宿迁市中考第 15 题例 72 2016 年临沂市中考第 14 题例 73 2016 年义乌市绍兴市中考第 9 题例 74 2016 年淄博市中考第 12 题例 75 2016 年嘉兴市中考第 16 题WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享11 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知 A D，探求 ABC 与 DEF 相似
16、，只要把夹 A 和 D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分 和 两种情况列方程BECFAD应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图 1，如果已知 A、 B 两点的坐标，怎样求 A、 B 两点间的距离呢？我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求
17、斜边 AB 的长了水平距离 BC 的长就是 A、 B 两点间的水平距离，等于 A、 B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、 B 两点间的竖直距离，等于 A、 B 两点的纵坐标相减图 1例 1 2014 年湖南省衡阳市中考第 28 题二次函数 ya x2b xc（a0）的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、 B(1, 0)两点，与 y轴交于点 C(0,3 m)（ m0） ，顶点为 D（1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示） ；（2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设 APC 的面积为S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式
18、及 S 的最大值；（3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、 D、 C 三点为顶点的三角形与 OBC 相似？WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到 AC的中点的正下方时， APC 的面积最大拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到， ACD 和 ADC 都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结 OP， APC 可以割补为： AOP 与 COP 的和，再减去 AOC3讨论 ACD 与 OBC 相似，先确定 ACD 是直角三角形，再验证两
19、个直角三角形是否相似4直角三角形 ACD 存在两种情况图文解析（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(3, 0)、 B(1, 0)两点，设 y a(x3)( x1)代入点 C(0,3 m)，得3 m3 a解得 a m所以该二次函数的解析式为 y m(x3)( x1) mx22 mx3 m（2）如图 3，连结 OP当 m2 时， C(0,6)， y2 x24 x6，那么 P(x, 2x24 x6)由于 S AOP (2x24 x6)3 x26 x9， 1()POAS COP 3 x， S AOC9，2所以 S S APC S AOP S COP S AOC3 x29 x 27()4所以当 时， S
20、取得最大值，最大值为 x74WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享图 3 图 4 图 5（3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于 F由 y m(x3)( x1) m(x1) 24 m，得 D(1,4 m)在 Rt OBC 中， OBOC1 3m如果 ADC 与 OBC 相似，那么 ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为 13m如图 4，当 ACD90时， 所以 解得 m1OACE3此时 ， 所以 所以 CDA OBC3CADEBDB如图 5，当 ADC90时， 所以 解得 FC4212此时 ，而 因此 DCA 与 OBC 不相似2AFC
21、Em3OmB综上所述，当 m1 时， CDA OBC考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H由直线 AC： y2 x6，可得 H(x,2 x6)又因为 P(x, 2x24 x6)，所以 HP2 x26 x因为 PAH 与 PCH 有公共底边 HP，高的和为 A、 C 两点间的水平距离 3，所以S S APC S APH S CPH (2 x26 x) 图 6374WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享例 2 2014 年湖南省益阳市中考第 21 题如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AB/CD， AD AB， B60， AB10， BC4，
22、点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP x21cnjy（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、 P、 D 为顶点的三角形与以 P、 C、 B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为S1、 S2，若 S S1 S2，求 S 的最小值. 动感体验 图 1请打开几何画板文件名“14 益阳 21”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，圆心 O 的运动轨迹是线段 BC 的垂直平分线上的一条线段观察 S 随点 P 运动的图象，可以看到， S有最小值，此时点 P 看上去象是 AB
23、的中点，其实离得很近而已思路点拨1第（2）题先确定 PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（3）题理解 PCB 的外接圆的圆心 O 很关键，圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的 BP 的垂直平分线上而 BP 与 AP 是相关的，这样就可以以 AP 为自变量，求 S 的函数关系式图文解析（1）如图 2，作 CH AB 于 H，那么 AD CH在 Rt BCH 中， B60， BC4，所以 BH2， CH 所以 AD 323（2）因为 APD 是直角三角形，如果 APD 与 PCB 相似，那么 PCB 一定是直角三角形如图 3，当 CPB90时， AP1028所以
24、 ，而 此时 APD 与 PCB 不相似APD8243PCB3图 2 图 3 图 4如图 4，当 BCP90时， BP2 BC8所以 AP2所以 所以 APD60此时 APD CBPAPD3WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享综上所述，当 x2 时， APD CBP（3）如图 5，设 ADP 的外接圆的圆心为 G，那么点 G 是斜边 DP 的中点设 PCB 的外接圆的圆心为 O，那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上，设这条直线与 BC 交于点 E，与 AB 交于点 F设 AP2 m作 OM BP 于 M，那么 BM PM5 m在 Rt BEF 中， BE2， B60，所以 BF4在 Rt
25、 OFM 中， FM BF BM4(5 m) m1， OFM30，所以 OM 3(1)所以 OB2 BM2 OM2 221(5)()3在 Rt ADP 中， DP2 AD2 AP2124 m2所以 GP23 m2于是 S S1 S2 (GP2 OB2) 2135(3m2(785)所以当 时， S 取得最小值，最小值为 6713图 5 图 6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题问题 1，为什么设 AP2 m 呢？这是因为线段 AB AP PM BM AP2 BM10这样 BM5m，后续可以减少一些分数运算这不影响求 S 的最小值问题 2，如果圆心 O 在线段 EF 的延长线上， S 关于 m
26、 的解析式是什么？如图 6，圆心 O 在线段 EF 的延长线上时，不同的是 FM BM BF(5 m)41 m此时 OB2 BM2 OM2 这并不影响 S 关于 m 的解析式221(5)()3WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享例 3 2015 年湖南省湘西市中考第 26 题如图 1，已知直线 y x3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，抛物线y x2 bx c 经过 A、 B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒 个单位的速度2匀速运动，连结 PQ，设运动
27、时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：当 t 为何值时， APQ 为直角三角形；（3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作QF/y 轴，交抛物线于点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标；（4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、 BM、 MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、 Q、 M 为顶点的三角形与以O、 B、 P 为顶点的三角形相似？若存在， 请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1动感体验请打开几何画板文件名“15 湘西 26”，拖动点 P 在 OA 上运动，可以体验到， APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形 EPQF 有
28、一个时刻可以成为平行四边形， MBQ 与BOP 有一次机会相似思路点拨1在 APQ 中， A45，夹 A 的两条边 AP、 AQ 都可以用 t 表示，分两种情况讨论直角三角形 APQ2先用含 t 的式子表示点 P、 Q 的坐标，进而表示点 E、 F 的坐标，根据 PE QF 列方程就好了3 MBQ 与 BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由 y x3，得 A(3, 0)， B(0, 3)将 A(3, 0)、 B(0, 3)分别代入 y x2 bx c，得 解得930,.bc2,3.bc所以抛物线的解析式为 y x22 x3（2）在 APQ 中， PAQ45，
29、 AP3 t， AQ t分两种情况讨论直角三角形 APQ：当 PQA90 时， AP AQ解方程 3 t2 t，得 t1（如图 2） 2当 QPA90 时， AQ AP解方程 t (3 t)，得 t1.5（如图 3） WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享图 2 图 3（3）如图 4，因为 PE/QF，当 EF/PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形所以 EP FQ所以 yE yP yF yQ因为 xP t， xQ3 t，所以 yE3 t， yQ t， yF(3 t)22(3 t)3 t24 t因为 yE yP yF yQ，解方程 3 t( t24 t)t，得 t1，或 t3（舍去） 所以
30、点 F 的坐标为(2, 3)图 4 图 5（4）由 y x22 x3( x1) 24，得 M(1, 4)由 A(3, 0)、 B(0, 3)，可知 A、 B两点间的水平距离、竖直距离相等， AB3 2由 B(0, 3)、 M(1, 4)，可知 B、 M两点间的水平距离、竖直距离相等， BM 所以 MBQ BOP90因此 MBQ与 BOP相似存在两种可能：当 时， 解得 （如图5 ） OQP23t94t当 时， 整理，得 t23 t30此方程无实根Bt考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由 P(t, 0)， E(t, 3 t)，Q(3 t, t)，按照P E方向，将点 Q向上平移，得 F(
31、3 t, 3)再将 F(3 t, 3)代入 y x22 x3，得t1，或 t3WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享12 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1已知线段 AB5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？2已知线段 AB6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果 ABC 是等腰三角形，那么存在 AB
32、 AC， BA BC， CA CB 三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果 ABC 的 A（的余弦值）是确定的，夹 A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法如图 1，如果 AB AC，直接列方程； 如图 2，如果 BA BC，那么；如图 3，如果 CA CB，那么 cos2ACB1cosBCA代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离
33、公式，三边长（的平方）就可以罗列出来图 1 图 2 图 3 WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享例 9 2014 年长沙市中考第 26 题如图 1，抛物线 y ax2 bx c（ a、 b、 c 是常数， a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 A(0, (,)6a2)（1）求 a、 b、 c 的值；（2）求证：在点 P 运动的过程中， P 始终与 x 轴相交；（3）设 P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、 N(x2, 0)两点，当 AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标图 1动感体验请打开几何画板文件名“
34、14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形 AMN 存在五种情况思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来 P 在 x 轴上截得的弦长 MN4 是定值2等腰三角形 AMN 存在五种情况，点 P 的纵坐标有三个值，根据对称性， MA MN 和NA NM 时，点 P 的纵坐标是相等的图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以 y ax2所以 b0， c0将 代入 y ax2，得 解得 （舍去了负值） (,)6a216a14（2）抛物线的解析式为 ，设点 P 的坐标为 4x2(,)x已知 A(0, 2)，所以 22411()6PA而圆心 P 到
35、 x 轴的距离为 ，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离4x所以在点 P 运动的过程中， P 始终与 x 轴相交（3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 PH 垂直平分 MN在 Rt PMH 中， ， ，所以 MH242416MA2241()6x所以 MH2因此 MN4，为定值WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享等腰 AMN 存在三种情况：如图 3，当 AM AN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0图 2 图 3如图 4，当 MA MN 时，在 Rt AOM 中， OA2， AM4，所以 OM2 此时 x OH2 所以点 P 的纵坐标为 31()(1)423x
36、如图 5，当 NA NM 时，根据对称性，点 P 的纵坐标为也为 423图 4 图 5如图 6，当 NA NM4 时，在 Rt AON 中， OA2， AN4，所以 ON2 3此时 x OH2 所以点 P 的纵坐标为 3 21(3)(1)4x如图 7，当 MN MA4 时，根据对称性，点 P 的纵坐标也为 4图 6 图 7考点伸展WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享如果点 P 在抛物线 上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 B(0, 1)，那么在214yx点 P 运动的过程中， P 始终与直线 y1 相切这是因为：设点 P 的坐标为 2(,)已知 B(0, 1)，所以 2221()(
37、)144Bxxx而圆心 P 到直线 y1 的距离也为 ，所以半径 PB圆心 P 到直线 y1 的距离所以在点 P 运动的过程中， P 始终与直线 y1 相切例 10 2014 年湖南省张家界市中考第 25 题如图 1，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y ax2 bx c（ a0）过O、 B、 C 三点， B、 C 坐标分别为(10, 0)和 ，以 OB 为直径的 A 经过 C 点，直线1824(,)5l 垂直 x 轴于 B 点（1）求直线 BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点 M 是 A 上一动点（不同于 O、 B） ，过点 M 作 A 的切线，交 y 轴于点
38、 E，交直线 l 于点F，设线段 ME 长为 m， MF 长为 n，请猜想 mn 的值，并证明你的结论；（4）若点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度向点 B 作直线运动，点 Q 同时从 B 出发，以相同速度向点 C 作直线运动，经过 t（0 t8）秒时恰好使 BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的 t 值 图 图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 张家界 25”，拖动点 M 在圆上运动，可以体验到， EAF保持直角三角形的形状， AM 是斜边上的高拖动点 Q 在 BC 上运动，可以体验到， BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形 思路点拨1从直线 BC 的解析式可以得到 OBC
39、的三角比，为讨论等腰三角形 BPQ 作铺垫2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（3）题连结 AE、 AF 容易看到 AM 是直角三角形 EAF 斜边上的高 4第（4）题的 PBQ 中， B 是确定的，夹 B 的两条边可以用含 t 的式子表示分WORD 格式 可编辑专业知识 整理分享三种情况讨论等腰三角形图文解析（1）直线 BC 的解析式为 31542yx（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、 B(10, 0)两点，设 y ax(x10)代入点 C ，得 解得 82(,)58()55a524a所以 22110444yx抛物线的顶点为 (,)（3）如图 2，因为 EF 切 A 于 M，所以 AM
40、EF由 AE AE， AO AM，可得 Rt AOERt AME所以12同理34于是可得 EAF90所以51由 tan5tan1，得 MAEF所以 MEMF MA2，即 mn25 图 2（4）在 BPQ 中，cos B ， BP10 t， BQ t45分三种情况讨论等腰三角形 BPQ：如图 3，当 BP BQ 时，10 t t解得 t5如图 4，当 PB PQ 时， 解方程 ，得 1cos2QPB14(0)25tt8013如图 5，当 QB QP 时， 解方程 ，得 5图 3 图 4 图 5考点伸展在第（3）题条件下，以 EF 为直径的 G 与 x 轴相切于点 AWORD 格式 可编辑专业知识
41、 整理分享如图 6，这是因为 AG 既是直角三角形 EAF 斜边上的中线，也是直角梯形 EOBF 的中位线，因此圆心 G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以 G 与 x 轴相切于点 A图 6例 11 2014 年湖南省邵阳市中考第 26 题在平面直角坐标系中，抛物线 y x2( m n)x mn（ m n）与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 位于点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 C（1）若 m2， n1，求 A、 B 两点的坐标；（2）若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C 点坐标是(0,1)，求 ACB 的大小；（3）若 m2， ABC 是等腰三角形，求 n 的值动感体验请
42、打开几何画板文件名“14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（2） ，拖动点 A 在 x 轴正半轴上运动，可以体验到， ABC 保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（3） ，拖动点 B 在 x 轴上运动，观察 ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形 ABC 有 4 种情况思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用 m， n 表示点 A、 B、 C 的坐标2第（2）题判定直角三角形 ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（3）题讨论等腰三角形 ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析（1）由 y x2( m n)x mn( x m
43、)(x n)，且 m n，点 A 位于点 B 的右侧，可知A(m, 0)， B(n, 0)若 m2， n1，那么 A(2, 0)， B(1, 0)（2）如图 1，由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是(0,1)， mn1， OC1若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧，那么 OAOB m( n) mn1所以 OC2 OAOB所以 OWORD 格式 可编辑专业知识 整理分享所以 tan1tan2所以12又因为1 与3 互余，所以2 与3 互余所以ACB90图 1 图 2 图 3（3）在 ABC 中，已知 A(2, 0)， B(n, 0)， C(0, 2n)讨论等腰三角形 ABC，用代数法解
44、比较方便：由两点间的距离公式，得 AB2( n2) 2， BC25 n2， AC244 n2当 AB AC 时，解方程 (n2) 244 n2，得 （如图 2）3当 CA CB 时，解方程 44 n25 n2，得 n2（如图 3），或 n2（ A、 B 重合，舍去）当 BA BC 时，解方程 (n2) 25 n2，得 （如图 4），或 （如5151图 5）图 4 图 5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是(0,1)， mn1由 A(m, 0)， B(n, 0)， C(0,1)，得 AB2( m n)2 m22 mn n2 m2 n22，BC2 n21， AC2 m21所以 AB2 BC2 AC2于是得到 Rt ABC， ACB90第（3）题在讨论等腰三角形 ABC 时，对于 CA CB 的情况，此时 A、 B 两点关于 y 轴对称，可以直接写出 B(2, 0
