1、初中数学压轴题一解答题（共 30 小题）1 （2014攀枝花）如图，以点 P（1，0）为圆心的圆，交 x 轴于 B、C 两点（B 在 C 的左侧） ，交 y 轴于 A、D两点（A 在 D 的下方） ，AD=2 ，将 ABC 绕点 P 旋转 180，得到 MCB（1）求 B、C 两点的坐标；（2）请在图中画出线段 MB、MC，并判断四边形 ACMB 的形状（不必证明） ，求出点 M 的坐标；（3）动直线 l 从与 BM 重合的位置开始绕点 B 顺时针旋转，到与 BC 重合时停止，设直线 l 与 CM 交点为 E，点Q 为 BE 的中点，过点 E 作 EGBC 于 G，连接 MQ、QG请问在旋转过
2、程中MQG 的大小是否变化？若不变，求出MQG 的度数；若变化，请说明理由2 （2014苏州）如图，已知 l1l2，O 与 l1，l 2 都相切，O 的半径为 2cm，矩形 ABCD 的边 AD、AB 分别与l1，l 2 重合，AB=4 cm，AD=4cm ，若 O 与矩形 ABCD 沿 l1 同时向右移动，O 的移动速度为 3cm/s，矩形ABCD 的移动速度为 4cm/s，设移动时间为 t（s）（1）如图，连接 OA、AC，则OAC 的度数为 _ ；（2）如图，两个图形移动一段时间后， O 到达 O1 的位置，矩形 ABCD 到达 A1B1C1D1 的位置，此时点O1，A 1，C 1 恰好
3、在同一直线上，求圆心 O 移动的距离（即 OO1 的长） ；（3）在移动过程中，圆心 O 到矩形对角线 AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为 d（cm） ，当 d2 时，求t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图） 3 （2014泰州）如图，平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= x+b（b 为常数，b0）的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，半径为 4 的O 与 x 轴正半轴相交于点 C，与 y 轴相交于点 D、E，点 D 在点 E 上方（1）若直线 AB 与 有两个交点 F、G求 CFE 的度数；用含 b 的代数式表示 FG2，并直接写出 b 的取值范围；（2）
4、设 b5，在线段 AB 上是否存在点 P，使CPE=45 ？若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由4 （2014上海）如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB= ，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F （点 F 在点 E 的右侧） ，射线 CE 与射线 BA 交于点 G（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；（2）连接 AP，当 APCG 时，求弦 EF 的长；（3）当AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长5 （2014常州）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（ ， ） ，以点 M 为圆心，OM
5、长为半径作 M使M 与直线 OM 的另一交点为点 B，与 x 轴，y 轴的另一交点分别为点 D，A（如图） ，连接 AM点 P 是 上的动点（1）写出AMB 的度数；（2）点 Q 在射线 OP 上，且 OPOQ=20，过点 Q 作 QC 垂直于直线 OM，垂足为 C，直线 QC 交 x 轴于点 E当动点 P 与点 B 重合时，求点 E 的坐标；连接 QD，设点 Q 的纵坐标为 t，QOD 的面积为 S求 S 与 t 的函数关系式及 S 的取值范围6 （2014漳州）阅读材料：如图 1，在 AOB 中，O=90 ，OA=OB，点 P 在 AB 边上，PE OA 于点 E，PFOB于点 F，则 P
6、E+PF=OA （此结论不必证明，可直接应用）（1） 【理解与应用】如图 2，正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 P 在 AB 边上，PEOA 于点 E，PFOB 于点F，则 PE+PF 的值为 _ （2） 【类比与推理】如图 3，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB=4，AD=3，点 P 在 AB 边上，PEOB 交 AC 于点E，PF OA 交 BD 于点 F，求 PE+PF 的值；（3） 【拓展与延伸】如图 4，O 的半径为 4，A， B，C，D 是O 上的四点，过点 C，D 的切线 CH，DG 相交于点 M，点 P 在弦 AB上，P
7、E BC 交 AC 于点 E，PFAD 于点 F，当 ADG=BCH=30时，PE+PF 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由7 （2014云南）已知如图平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，矩形 ABCO 是顶点坐标分别为 A（3，0） 、B（3，4） 、C （0，4） 点 D 在 y 轴上，且点 D 的坐标为（0，5） ，点 P 是直线 AC 上的一动点（1）当点 P 运动到线段 AC 的中点时，求直线 DP 的解析式（关系式） ；（2）当点 P 沿直线 AC 移动时，过点 D、P 的直线与 x 轴交于点 M问在 x 轴的正半轴上是否存在使DOM 与ABC 相似的点 M？若
8、存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点 P 沿直线 AC 移动时，以点 P 为圆心、R （R0）为半径长画圆得到的圆称为动圆 P若设动圆 P 的半径长为 ，过点 D 作动圆 P 的两条切线与动圆 P 分别相切于点 E、F请探求在动圆 P 中是否存在面积最小的四边形 DEPF？若存在，请求出最小面积 S 的值；若不存在，请说明理由8 （2014湖州）已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 PF，过点 PEPF 交
9、 y轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t 0） （1）若点 E 在 y 轴的负半轴上（如图所示） ，求证：PE=PF；（2）在点 F 运动过程中，设 OE=a，OF=b，试用含 a 的代数式表示 b；（3）作点 F 关于点 M 的对称点 F，经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，连接 QE在点 F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点 Q、O 、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由9 （2014陕西）问题探究（1）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，如果 BC 边上存在点 P，
10、使APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时 BP 的长；（2）如图，在ABC 中， ABC=60，BC=12，AD 是 BC 边上的高，E、F 分别为边 AB、AC 的中点，当AD=6 时， BC 边上存在一点 Q，使EQF=90 ，求此时 BQ 的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形 ABCDE，山庄保卫人员想在线段 CD 上选一点 M 安装监控装置，用来监视边 AB，现只要使AMB 大约为 60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知A=E=D=90 ，AB=270m，AE=400m ，ED=285m，CD=340m，问在线段 CD 上是否存
11、在点 M，使AMB=60？若存在，请求出符合条件的 DM 的长，若不存在，请说明理由10 （2014成都）如图，在 O 的内接 ABC 中，ACB=90 ，AC=2BC ，过 C 作 AB 的垂线 l 交 O 于另一点D，垂足为 E设 P 是 上异于 A，C 的一个动点，射线 AP 交 l 于点 F，连接 PC 与 PD，PD 交 AB 于点 G（1）求证：PACPDF；（2）若 AB=5， = ，求 PD 的长；（3）在点 P 运动过程中，设 =x，tan AFD=y，求 y 与 x 之间的函数关系式 （不要求写出 x 的取值范围）11 （2014宁波）木匠黄师傅用长 AB=3，宽 BC=2
12、 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心 O1、O 2 分别在 CD、AB 上，半径分别是 O1C、O 2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形 BCEF 拼到矩形 AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设 CE=x（ 0x1） ，圆的半径为 y求 y 关于 x 的函数解析式；当 x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案
13、中哪一个圆形桌面的半径最大12 （2014徐州）如图，矩形 ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从点 A 出发，沿射线 AD 移动，以 CE 为直径作圆 O，点 F 为圆 O 与射线 BD 的公共点，连接 EF、CF，过点 E 作 EGEF，EG 与圆 O 相交于点 G，连接CG（1）试说明四边形 EFCG 是矩形；（2）当圆 O 与射线 BD 相切时，点 E 停止移动，在点 E 移动的过程中，矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；求点 G 移动路线的长13 （2014东昌府区三模）已知：如图，在 ABC 中，AB=B
14、C，D 是 AC 中点，BE 平分 ABD 交 AC 于点 E，点O 是 AB 上一点，O 过 B、 E 两点，交 BD 于点 G，交 AB 于点 F（1）求证：AC 与 O 相切；（2）当 BD=6，sinC= 时，求 O 的半径14 （2014安徽模拟）阅读材料：如图， ABC 中，AB=AC ，P 为底边 BC 上任意一点，点 P 到两腰的距离分别为 r1，r 2，腰上的高为 h，连接 AP，则 SABP+SACP=SABC，即： ABr1+ ACr2= ABh， r1+r2=h（1）理解与应用如果把“等腰三角形” 改成“等边三角形”，那么 P 的位置可以由 “在底边上任一点”放宽为“
15、在 三角形内任一点”，即：已知边长为 2 的等边ABC 内任意一点 P 到各边的距离分别为 r1，r 2，r 3，试证明： （2）类比与推理边长为 2 的正方形内任意一点到各边的距离的和等于 _ ；（3）拓展与延伸若边长为 2 的正 n 边形 A1A2An 内部任意一点 P 到各边的距离为 r1，r 2，r n，请问 r1+r2+rn 是否为定值（用含n 的式子表示） ，如果是，请合理猜测出这个定值15 （2014安徽名校一模）如图 ABC 中A=90，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D，E 为 AC 边中点，求证：DE是 O 的切线16 （2014灌南县模拟）如图，AB 是O 的直径，
16、AC 是弦， ACD= AOC，AD CD 于点 D（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 AB=10，AD=2，求 AC 的长17 （2014普陀区二模）如图，在等腰 ABC 中，AB=AC=5，BC=6 ，点 D 为 BC 边上一动点（不与点 B 重合） ，过 D 作射线 DE 交 AB 边于 E，使BDE= A，以 D 为圆心、DC 的长为半径作D（1）设 BD=x，AE=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域（2）当D 与 AB 边相切时，求 BD 的长（3）如果E 是以 E 为圆心， AE 的长为半径的圆，那么当 BD 的长为多少时，D 与E 相切？18 （2014江西
17、模拟）如图，矩形 ABCD 的边 AB=4，BC=3一简易量角器放置在矩形 ABCD 内，其零度线即半圆 O 的直径与边 AB 重合，点 A 处是 0 刻度，点 B 处是 180 刻度P 点是量角器的半圆弧上一动点，过 P 点的切线与边 BC、CD（或其延长线）分别交于点 E、F设点 P 的刻度数为 n， PAB=（1）当 n=136 时，= _ ，求出 与 n 的关系式；（2）在 P 点的运动过程中，线段 EB 与 EP 有怎样的数量关系，请予证明；（3）在 P 点的运动过程中，F 点在直线 CD 上的位置随着 的变化而变化，当 F 点在线段 CD 上时、在 CD 的延长线上时、在 DC 的
18、延长线上时，对应的 值分别是多少？（参考数据：tan56.31.5）（4）连接 BP，在 P 点的运动过程中，是否存在ABP 与CEF 相似的情况？若存在，求出此时 n 的值以及相应的EF 的长；若不存在，请说明理由19 （2014广东一模）如图，正方形 ABCD 的边长是 8cm，以正方形的中心 O 为圆心，EF 为直径的半圆切 AB于 M、切 BC 于 N，已知 C 为 BG 的中点，AG 交 CD 于 HP，Q 同时从 A 出发，P 以 1cm/s 的速度沿折线ADCG 运动，Q 以 cm/s 的速速沿线段 AG 方向运动，P，Q 中有一点到达终点时，整个运动停止P，Q 运动的时间记为
19、t（1）当 t=4 时，求证： PEFMEF；（2）当 0t8 时，试判断 PQ 与 CD 的位置关系；（3）当 t8 时，是否存在 t 使得 = ？若存在请求出所有 t 的值，若不存在，请说明理由20 （2013营口）如图，点 C 是以 AB 为直径的O 上的一点，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D（1）求证：AC 平分BAD；（2）若 CD=1，AC= ，求 O 的半径长21 （2013襄阳）如图， ABC 内接于 O，且 AB 为O 的直径ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 B
20、FCD 于点 F（1）求证：DPAB；（2）若 AC=6，BC=8 ，求线段 PD 的长22 （2013曲靖）如图， O 的直径 AB=10，C、D 是圆上的两点，且 设过点 D 的切线 ED 交 AC的延长线于点 F连接 OC 交 AD 于点 G（1）求证：DF AF（2）求 OG 的长23 （2013德阳）如图，已知 AB 是O 直径，BC 是O 的弦，弦 EDAB 于点 F，交 BC 于点 G，过点 C 作O 的切线与 ED 的延长线交于点 P（1）求证：PC=PG；（2）点 C 在劣弧 AD 上运动时，其他条件不变，若点 G 是 BC 的中点，试探究 CG、BF、BO 三者之间的数量关
21、系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知O 的半径为 5，若点 O 到 BC 的距离为 时，求弦 ED 的长24 （2013贺州）已知： O 的直径为 3，线段 AC=4，直线 AC 和 PM 分别与O 相切于点 A，M（1）求证：点 P 是线段 AC 的中点；（2）求 sinPMC 的值25 （2013兰州）已知，如图，直线 MN 交O 于 A，B 两点，AC 是直径，AD 平分 CAM 交 O 于 D，过 D作 DEMN 于 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若 DE=6cm，AE=3cm ，求 O 的半径26 （2013南宁）如图，在 ABC 中，BAC=90，AB=A
22、C，AB 是O 的直径，O 交 BC 于点 D，DEAC 于点 E，BE 交O 于点 F，连接 AF，AF 的延长线交 DE 于点 P（1）求证：DE 是O 的切线；（2）求 tanABE 的值；（3）若 OA=2，求线段 AP 的长27 （2013长沙）如图， ABC 中，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D， DBC=BAC（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，BAC=30 ，求图中阴影部分的面积28 （2013广安）如图，在 ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径作半圆O，交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作DEAC，垂足为点 E，交 AB 的延长线
23、于点 F（1）求证：EF 是 0 的切线（2）如果0 的半径为 5，sin ADE= ，求 BF 的长29 （2013沈阳）如图， OC 平分MON，点 A 在射线 OC 上，以点 A 为圆心，半径为 2 的 A 与 OM 相切于点B，连接 BA 并延长交 A 于点 D，交 ON 于点 E（1）求证：ON 是A 的切线；（2）若MON=60，求图中阴影部分的面积 （结果保留 ）30 （2013宜宾）如图， AB 是O 的直径，B=CAD（1）求证：AC 是 O 的切线；（2）若点 E 是 的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，当 BD=5，CD=4 时，求 AF 的值参考答案与试题解析一解答
24、题（共 30 小题）1 （2014攀枝花）如图，以点 P（1，0）为圆心的圆，交 x 轴于 B、C 两点（B 在 C 的左侧） ，交 y 轴于 A、D两点（A 在 D 的下方） ，AD=2 ，将 ABC 绕点 P 旋转 180，得到 MCB（1）求 B、C 两点的坐标；（2）请在图中画出线段 MB、MC，并判断四边形 ACMB 的形状（不必证明） ，求出点 M 的坐标；（3）动直线 l 从与 BM 重合的位置开始绕点 B 顺时针旋转，到与 BC 重合时停止，设直线 l 与 CM 交点为 E，点Q 为 BE 的中点，过点 E 作 EGBC 于 G，连接 MQ、QG请问在旋转过程中MQG 的大小是
25、否变化？若不变，求出MQG 的度数；若变化，请说明理由考点： 圆的综合题菁优网版权所有专题： 压轴题分析： （1）连接 PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出 B、C 两点的坐标（2）由于圆 P 是中心对称图形，显然射线 AP 与圆 P 的交点就是所需画的点 M，连接 MB、MC 即可；易证四边形 ACMB 是矩形；过点 M 作 MHBC，垂足为 H，易证MHP AOP，从而求出 MH、OH 的长，进而得到点 M 的坐标（3）易证点 E、M、B、G 在以点 Q 为圆心，QB 为半径的圆上，从而得到 MQG=2MBG易得OCA=60，从而得到MBG=60，进而得到MQG=12
26、0，所以 MQG 是定值解答： 解：（1）连接 PA，如图 1 所示POAD，AO=DOAD=2 ，OA= 点 P 坐标为（1，0） ，OP=1PA= =2BP=CP=2B（ 3，0） ，C（1，0） （2）连接 AP，延长 AP 交P 于点 M，连接 MB、MC如图 2 所示，线段 MB、MC 即为所求作四边形 ACMB 是矩形理由如下：MCB 由ABC 绕点 P 旋转 180所得，四边形 ACMB 是平行四边形BC 是 P 的直径，CAB=90平行四边形 ACMB 是矩形过点 M 作 MHBC，垂足为 H，如图 2 所示在MHP 和 AOP 中，MHP=AOP， HPM=OPA，MP=AP
27、 ，MHPAOPMH=OA= ，PH=PO=1 OH=2点 M 的坐标为（ 2， ） （3）在旋转过程中MQG 的大小不变四边形 ACMB 是矩形，BMC=90EGBO，BGE=90BMC=BGE=90点 Q 是 BE 的中点，QM=QE=QB=QG点 E、M 、B、G 在以点 Q 为圆心，QB 为半径的圆上，如图 3 所示MQG=2MBGCOA=90， OC=1，OA= ，tanOCA= = OCA=60MBC=BCA=60MQG=120在旋转过程中MQG 的大小不变，始终等于 120点评： 本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的三角函数
28、、图形的旋转等知识，综合性比较强证明点 E、M、B、G 在以点 Q 为圆心，QB 为半径的圆上是解决第三小题的关键2 （2014苏州）如图，已知 l1l2，O 与 l1，l 2 都相切，O 的半径为 2cm，矩形 ABCD 的边 AD、AB 分别与l1，l 2 重合，AB=4 cm，AD=4cm ，若 O 与矩形 ABCD 沿 l1 同时向右移动，O 的移动速度为 3cm/s，矩形ABCD 的移动速度为 4cm/s，设移动时间为 t（s）（1）如图，连接 OA、AC，则OAC 的度数为 105 ；（2）如图，两个图形移动一段时间后， O 到达 O1 的位置，矩形 ABCD 到达 A1B1C1D
29、1 的位置，此时点O1，A 1，C 1 恰好在同一直线上，求圆心 O 移动的距离（即 OO1 的长） ；（3）在移动过程中，圆心 O 到矩形对角线 AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为 d（cm） ，当 d2 时，求t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图） 考点： 圆的综合题菁优网版权所有专题： 几何综合题；压轴题分析： （1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出OAD=45， DAC=60，进而得出答案；（2）首先得出，C 1A1D1=60，再利用 A1E=AA1OO12=t2，求出 t 的值，进而得出 OO1=3t 得出答案即可；（3）当直线 AC 与 O 第一次相
30、切时，设移动时间为 t1， 当直线 AC 与O 第二次相切时，设移动时间为 t2，分别求出即可解答： 解：（1）l 1l2，O 与 l1，l 2 都相切，OAD=45，AB=4 cm， AD=4cm，CD=4 cm，tanDAC= = = ，DAC=60，OAC 的度数为：OAD+DAC=105，故答案为：105；（2）如图位置二，当 O1，A 1，C 1 恰好在同一直线上时，设O 1 与 l1 的切点为 E，连接 O1E，可得 O1E=2，O 1El1，在 RtA1D1C1 中，A 1D1=4，C 1D1=4 ，tanC1A1D1= ，C 1A1D1=60，在 RtA1O1E 中，O 1A1
31、E=C1A1D1=60，A1E= = ，A1E=AA1OO12=t2，t2= ，t= +2，OO1=3t=2 +6；（3）当直线 AC 与 O 第一次相切时，设移动时间为 t1，如图，此时O 移动到 O2 的位置，矩形 ABCD 移动到 A2B2C2D2 的位置，设 O2 与直线 l1，A 2C2 分别相切于点 F，G ，连接 O2F， O2G，O 2A2，O2Fl1，O 2GA2C2，由（2）得，C 2A2D2=60， GA2F=120，O2A2F=60，在 RtA2O2F 中，O 2F=2，A 2F= ，OO2=3t1，AF=AA 2+A2F=4t1+ ，4t1+ 3t1=2，t1=2 ，
32、当直线 AC 与 O 第二次相切时，设移动时间为 t2，记第一次相切时为位置一，点 O1，A 1，C 1 共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， +2（2 ）=t 2（ +2） ，解得：t 2=2+2 ，综上所述，当 d2 时，t 的取值范围是： 2 t2+2 点评： 此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合 t 的值是解题关键3 （2014泰州）如图，平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= x+b（b 为常数，b0）的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，半径为 4 的O 与 x 轴正
33、半轴相交于点 C，与 y 轴相交于点 D、E，点 D 在点 E 上方（1）若直线 AB 与 有两个交点 F、G求 CFE 的度数；用含 b 的代数式表示 FG2，并直接写出 b 的取值范围；（2）设 b5，在线段 AB 上是否存在点 P，使CPE=45 ？若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由考点： 圆的综合题菁优网版权所有专题： 几何综合题；压轴题分析： （1）连接 CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行 CFE=45，（2）作 OMAB 点 M，连接 OF，利用两条直线垂直相交求出交点 M 的坐标，利用勾股定理求出 FM2，再求出 FG2，再根据式子写出 b 的范围，（3）
34、当 b=5 时，直线与圆相切，存在点 P，使 CPE=45，再利用APOAOB 和AMPAOB 相似得出点 P 的坐标，再求出 OP 所在的直线解析式解答： 解：（1）如图，COE=90CFE= COE=45， （圆周角定理）方法一：如图，作 OMAB 点 M，连接 OF，OMAB，直线的函数式为：y= x+b，OM 所在的直线函数式为：y= x，交点 M（ b， b）OM2=（ b） 2+（ b） 2，OF=4，FM2=OF2OM2=42（ b） 2（ b） 2，FM= FG，FG2=4FM2=442（ b） 2（ b） 2=64 b2=64（1 b2） ，直线 AB 与 有两个交点 F、G
35、 4b5，FG2=64（1 b2） （4b5）方法二：如图，作 OMAB 点 M，连接 OF，直线的函数式为：y= x+b，B 的坐标为（0，b） ，A 的坐标为（ b，0） ，AB= = b，sinBAO= = = ，sinMAO= = = ，OM= b，在 RTOMF 中，FM= =FG=2FM，FG2=4FM2=4（4 2 b2）=64 b2=64（1 b2） ，直线 AB 与 有两个交点 F、G 4b5，FG2=64（1 b2） （4b5）（2）如图，当 b=5 时，直线与圆相切，在直角坐标系中，COE=90，CPE=ODC=45，存在点 P，使 CPE=45，连接 OP，P 是切点，
36、OPAB，APOAOB， = ，OP=r=4，OB=5，AO= ， = 即 AP= ，AB= = = ，作 PMAO 交 AO 于点 M，设 P 的坐标为（x，y） ，AMPAOB， = = ，y= ，x=OM= = =点 P 的坐标为（ ， ） 点评： 本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，利用三角形相似求出点 P 的坐标4 （2014上海）如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB= ，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F （点 F 在点 E 的右侧） ，射线 CE 与射线 BA 交于点 G（1）当
37、圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；（2）连接 AP，当 APCG 时，求弦 EF 的长；（3）当AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长考点： 圆的综合题菁优网版权所有专题： 压轴题分析： （1）当点 A 在C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AHBC 于 H，直接利用勾股定理求出 AC 进而得出答案；（2）首先得出四边形 APCE 是菱形，进而得出 CM 的长，进而利用锐角三角函数关系得出 CP 以及 EF 的长；（3）GAE BGC，只能 AGE=AEG，利用 ADBC，得出 GAEGBC，进而求出即可解答： 解：（1）如图 1，设O 的半径为 r，当点 A 在C 上时
38、，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AHBC 于 H，BH=ABcosB=4，AH=3，CH=4，AC= =5，此时 CP=r=5；（2）如图 2，若 APCE，APCE 为平行四边形，CE=CP，四边形 APCE 是菱形，连接 AC、EP ，则 ACEP，AM=CM= ，由（1）知，AB=AC，则 ACB=B，CP=CE= = ，EF=2 = ；（3）如图 3：过点 C 作 CNAD 于点 N，设 AQBC， =cosB，AB=5 ，BQ=4，AN=QC=BC BQ=4cosB= ，B45 ，BCG90，BGC45，BGCB= GAE，即BGCGAE，又AEG= BCGACB=B=GAE
39、，当 AEG=GAE 时，A、E、G 重合，则 AGE 不存在即AEG GAE只能 AGE=AEG，ADBC，GAEGBC， = ，即 = ，解得：AE=3，EN=ANAE=1，CE= = = 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出AGE 是等腰三角形时只能AGE= AEG 进而求出是解题关键5 （2014常州）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（ ， ） ，以点 M 为圆心，OM 长为半径作 M使M 与直线 OM 的另一交点为点 B，与 x 轴，y 轴的另一交点分别为点 D，A（如图） ，连接 AM点 P 是 上的动点（1）写出
40、AMB 的度数；（2）点 Q 在射线 OP 上，且 OPOQ=20，过点 Q 作 QC 垂直于直线 OM，垂足为 C，直线 QC 交 x 轴于点 E当动点 P 与点 B 重合时，求点 E 的坐标；连接 QD，设点 Q 的纵坐标为 t，QOD 的面积为 S求 S 与 t 的函数关系式及 S 的取值范围考点： 圆的综合题菁优网版权所有专题： 几何综合题；压轴题分析： （1）首先过点 M 作 MHOD 于点 H，由点 M（ ， ） ，可得MOH=45 ，OH=MH= ，继而求得AOM=45，又由 OM=AM，可得 AOM 是等腰直角三角形，继而可求得 AMB 的度数；（2）由 OH=MH= ，MH
41、OD，即可求得 OD 与 OM 的值，继而可得 OB 的长，又由动点 P 与点 B重合时，OPOQ=20，可求得 OQ 的长，继而求得答案；由 OD=2 ，Q 的纵坐标为 t，即可得 S= ，然后分别从当动点 P 与 B 点重合时，过点Q 作 QFx 轴，垂足为 F 点，与当动点 P 与 A 点重合时， Q 点在 y 轴上，去分析求解即可求得答案解答： 解：（1）过点 M 作 MHOD 于点 H，点 M（ ， ） ，OH=MH= ，MOD=45，AOD=90，AOM=45，OM=AM，OAM=AOM=45，AMO=90，AMB=90；（2）OH=MH= ，MH OD，OM= =2，OD=2OH
42、=2 ，OB=4，动点 P 与点 B 重合时，OPOQ=20，OQ=5，OQE=90，POE=45 ，OE=5 ，E 点坐标为（5 ，0）OD=2 ， Q 的纵坐标为 t，S= 如图 2，当动点 P 与 B 点重合时，过点 Q 作 QFx 轴，垂足为 F 点，OP=4，OPOQ=20，OQ=5，OFC=90，QOD=45，t=QF= ，此时 S= ；如图 3，当动点 P 与 A 点重合时，Q 点在 y 轴上，OP=2 ，OPOQ=20，t=OQ=5 ，此时 S= ；S 的取值范围为 5S10点评： 此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注
43、意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用6 （2014漳州）阅读材料：如图 1，在 AOB 中，O=90 ，OA=OB，点 P 在 AB 边上，PE OA 于点 E，PFOB于点 F，则 PE+PF=OA （此结论不必证明，可直接应用）（1） 【理解与应用】如图 2，正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 P 在 AB 边上，PEOA 于点 E，PFOB 于点F，则 PE+PF 的值为 （2） 【类比与推理】如图 3，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB=4，AD=3，点 P 在 AB 边上，PEOB 交 AC 于点E，PF OA 交
44、BD 于点 F，求 PE+PF 的值；（3） 【拓展与延伸】如图 4，O 的半径为 4，A， B，C，D 是O 上的四点，过点 C，D 的切线 CH，DG 相交于点 M，点 P 在弦 AB上，PE BC 交 AC 于点 E，PFAD 于点 F，当 ADG=BCH=30时，PE+PF 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由考点： 圆的综合题；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；弦切角定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题： 压轴题；探究型分析： （1）易证：OA=OB ，AOB=90，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题（2）易证：OA=OB=OC=0D= ，
45、然后由条件 PEOB，PFAO 可证 AEPAOB， BFPBOA，从而可得 = =1，进而求出 EP+FP= （3）易证：AD=BC=4仿照（ 2）中的解法即可求出 PE+PF=4，因而 PE+PF 是定值解答： 解：（1）如图 2，四边形 ABCD 是正方形，OA=OB=OC=OD， ABC=AOB=90AB=BC=2，AC=2 OA= OA=OB，AOB=90，PEOA，PFOB，PE+PF=OA= （2）如图 3，四边形 ABCD 是矩形，OA=OB=OC=OD， DAB=90AB=4，AD=3，BD=5OA=OB=OC=OD= PEOB，PFAO，AEPAOB，BFP BOA ， =
46、 =1 + =1EP+FP= PE+PF 的值为 （3）当ADG= BCH=30时，PE+PF 是定值理由：连接 OA、OB、OC、OD，如图 4DG 与 O 相切，GDA=ABDADG=30，ABD=30AOD=2ABD=60OA=OD，AOD 是等边三角形AD=OA=4同理可得：BC=4PEBC，PF AD，AEPACB，BFP BDA ， = =1 =1PE+PF=4当 ADG=BCH=30时，PE+PF=4点评： 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了类比联想的能力，由一定的综合性要求 PE+PF 的值，想到将相似所得的比式相加是解决本题的关键7 （2014云南）已知如图平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，矩形 ABCO 是顶点坐标分别为 A（3，0） 、B（3，4） 、C （0，4） 点 D
