1、高中数学必修 2_第一章空间几何体知识点总结与练习第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图知识能否忆起一、多面体的结构特征多面体 结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体 旋转图形 旋转轴圆柱 矩形 任一边所在的直线圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线球 半圆 直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或
2、挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴、 y轴的夹角为 45(或 135)，z轴与 x轴和 y轴所在平面 垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正
3、棱柱，注意正棱柱中“ 正”字包含两层含义：侧棱垂直于底面；底面是正多边形(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体2对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画
4、出的轮廓线3对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段， “平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半 ”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图 S 原图形 ，S 原图形 2 S 直观图24 2空间几何体的结构特征典题导入例 1 (2012哈师大附中月考)下列结论正确的是( )A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆
5、周上的任意一点的连线都是母线自主解答 A 错误，如图 1 是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B 错误，如图 2，若 ABC 不是直角三角形，或ABC 是直角三角形但旋 转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图 1图 2C 错误，若 该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾答案 D由题悟法解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断以题试法1(2012天津质检)
6、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是( )A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选 B 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即 A 正确；底面四边形必有一个外接圆，即 C 正确；在高线上可以找到一个点 O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即 D 正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补( 若为正四棱锥则成立) 故仅命题 B 为假命
7、题几何体的三视图典题导入例 2 (2012湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )自主解答 根据几何体的三视图知识求解由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是 C.答案 C由题悟法三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐” 注意 画三视图时，要注意虚、实线的区别以题试法2(1)(2012莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )解析：选 D 由俯视图排除 B、C
8、；由正视图、侧视图可排除 A.(2)(2012济南模拟)如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的各棱长均为 2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为( )A2 B42C. D23 3解析：选 D 依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为 2， 的矩形，故其面积是 23.3几何体的直观图典题导入例 3 已知ABC 的直观图 ABC是边长为 a 的正三角形，求原ABC 的面积自主解答 建立如图所示的坐标系 xOy ，AB C的顶点 C在 y轴上，AB边在 x 轴上，OC 为 ABC 的高把 y轴绕原点逆时针旋转 45得 y 轴，则点 C变为点 C，且 OC2OC， A，B 点即为 A， B点，
9、长度不变已知 AB A C a，在 OAC 中，由正弦定理得 ，OCsinOA C A Csin 45所以 OC a a，sin 120sin 45 62所以原三角形 ABC 的高 OC a.6所以 SABC a a a2.12 6 62由题悟法用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变” “三变”Error!“三不变”Error!以题试法3如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A2 B.21 22C. D12 22 2解析：选 A 恢复后的原图形为一直角梯形S (1 1)22 .12 2
10、2第二节 空间几何体的表面积和体积知识能否忆起柱、锥、台和球的侧面积和体积面积 体积圆柱 S 侧 2rl VSh r2h圆锥 S 侧 rl V Sh r2h r213 13 13 l2 r2圆台 S 侧 ( r1r 2)lV (S 上 S 下 )h13 S上 S下 (r r r 1r2)h13 21 2直棱柱 S 侧 Ch VSh正棱锥 S侧 Ch12V Sh13正棱台 S侧 (CC)h12V (S 上 S 下 )h13 S上 S下球 S 球面 4R 2 V R3431.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合几
11、何体的侧面展开图来进行2求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性3求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理几何体的表面积典题导入例 1 (2012安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_自主解答 由几何体的三视图可知， 该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 (如图所示)在四边形 ABCD 中，作 DEAB，垂足为 E，则 DE4， AE3，则 AD5.所以其表面积为 2 (25)4244545 4492.12答案 92由题悟法1以三视图为载体的几何体的表
12、面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用以题试法1(2012河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为 ，且一个内角为 60的菱形，俯视图为正方32形，那么该饰物的表面积为( )A. B23 3C4 D43解析：选 D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为 8 4.(1211)几何体的体积典题导入例 2 (1)(2012 广东高考) 某几何体的三视图
13、如图所示，它的体积为( )A72 B48C30 D24(2)(2012山东高考)如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 ADED 1 的体积为_自主解答 (1)由三视图知，该几何体是由圆锥 和半球组合而成的，直 观图 如图所示，圆锥的底面半径为 3，高为 4，半球的半径为 3.VV 半球 V 圆锥 33 32430.1243 13(2)VADED 1VE ADD 1 SADD1CD 1 .13 13 12 16答案 (1)C (2)16本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为_解析：由三视图还原几何体知， 该几何体为圆柱与圆锥的 组合体，
14、其体 积 VV 圆柱 V圆锥 324 324 24.13答案：24由题悟法1计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握3等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离” 以题试法2(1)(2012长春调研)四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形，且 PD 垂直于底面ABCD， N 为 PB 中点，则三棱锥 PANC
15、 与四棱锥 PABCD 的体积比为( )A12 B13C14 D18解析：选 C 设正方形 ABCD 面积为 S，PDh，则体积比为 .13Sh 1312S12h 1312Sh13Sh 14(2012浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A32 B24C8 D.323解析：选 B 此几何体是高为 2 的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为 3 的正方形和 2 个直角边分别为 3,1 的直角三角形，其底面积 S92 3112，12所以几何体体积 V12224.与球有关的几何体的表面积与体积问题典题导入例 3 (2012新课标全国卷)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球
16、O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC 2，则此棱锥的体积为( )A. B.26 36C. D.23 22自主解答 由于三棱锥 SABC 与三棱锥 OABC 底面都是ABC，O 是 SC 的中点，因此三棱 锥 SABC 的高是三棱锥 OABC 高的2 倍，所以三棱锥 SABC 的体积也是三棱锥 OABC 体积的 2 倍在三棱锥 OABC 中，其棱长都是 1，如 图所示，SABC AB2 ，34 34高 OD ，12 ( 33)2 63VS ABC2V OABC 2 .13 34 63 26答案 A由题悟法1解决与球有关的“切” 、 “接”问题，一般要
17、过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系2记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，正方体的外接球，则 2R a；3正方体的内切球，则 2Ra；球与正方体的各棱相切，则 2R a.2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R.a2 b2 c2(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 13.以题试法3(1)(2012琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A2 B.383C4 D.3163(2)(2012潍坊模拟)如图所示，
18、已知球 O 的面上有四点A、B、C 、D，DA平面 ABC，ABBC，DAABBC ，则球 O 的体积等于2_解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示其中侧面 DBC底面 ABC，取 BC 的中点 O1，连接AO1，DO 1 知 DO1底面 ABC 且DO1 ，AO 11，BO 1O 1C1.3在 Rt ABO1 和 RtACO 1 中，ABAC ，2又BC2，BAC90.BC 为底面 ABC 外接圆的直径，O 1 为圆心，又DO 1底面 ABC，球心在 DO1 上，即BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为 R，则( R )21 2R 2，R .323S 球 4R 24 2 .(23) 1
19、63(2)如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以|CD| 2R，所以 R . 22 22 2262故球 O 的体积 V .4R33 6答案：(1)D (2) 6某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略补形法.常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题.1对称补形典例 1 (2012湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
20、体积为( )A. B383C. D6103解析 由三视图可知，此几何体是底面半径 为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ，根据 对称性，可 补全此圆柱如 图，故体积14V 1243.34答案 B题后悟道 “对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助2联系补形(2012辽宁高考)已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形若 PA2 ，则OAB 的面积为_3 6解析 由 PA底面 ABCD，且 ABCD 为正方形，故可 补形 为长方体如图，知球心 O 为 P
21、C 的中点，又 PA2 ，ABBC2 ，6 3AC2 ，PC4 ，6 3OAOB2 ，即AOB 为正三角形，3S 3 .3答案 3 3题后悟道 三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求练习题1(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是 ( )A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选 A B 中正方体的放置方向不明，不正确 C 中三视图不全是正三角形 D中俯视图是两个同心圆2(2012杭州模拟)用任
22、意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A圆柱 B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选 C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面3下列三种叙述，其中正确的有( )用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：选 A 中的平面不一定平行于底面，故错可用下图反例检验，故不正确4(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：正方形的直观图一定是菱形；菱形的直观图一定是菱形；三
23、角形的直观图一定是三角形以上结论正确的是_解析： 中其直 观图是一般的平行四边形， 菱形的直观图不一定是菱形，正确答案：5一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为_解析：由三视图中的正、侧视图 得到几何体的直观图如图 所示，所以 该几何体的俯视图为.答案：1(2012青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A BC D解析：选 A 的三个视图都是边长为 1 的正方形；的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为 1 的正方形；的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；的俯视图是
24、边长为 1 的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形2有下列四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体其中真命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 A 命题不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题不是真命题，因为底面是菱形(非正方形) ，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面
25、体是直平行六面体3一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：选 C C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选 C.4如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )解析：选 B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面 PAD，且 EC投影在面 PAD 上，故 B 正确5.如图AB C是ABC 的直观图，那么ABC 是( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形解析：选 B 由斜二测画法知 B 正确6(2012东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为(
26、)A2 B13 3C22 D43 3解析：选 D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于 22 2 4 .12 3 37(2012昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的_(填入所有可能的图形前的编12号)锐角三角形；直角三角形；四边形；扇形；圆解析：如图 1 所示，直三棱柱 ABEA 1B1E1 符合题设要求，此时俯视图 ABE 是锐角三角形；如图 2 所示，直三棱柱 ABCA 1B1C1 符合题设要求，此时俯视图ABC 是直角三角形；如图 3 所示，当直四棱柱的八个 顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱A
27、BCD A1B1C1D1 符合题设要求，此时俯视图( 四边形 ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有 ，故排除.答案：8(2013安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：结合三视图可知，该几何体 为底面边长为 2、高 为 2 的正三棱柱除去上面的一个高为 1 的三棱锥后剩下的部分，其直 观图 如图所示，故 该几何体的体积为 22sin 602 22sin 601 .12 13 12 533答案：5339正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长均为 ，其正视图( 主视图)和侧视图(左视图)是3全等的等腰三角形，则正视图的周长为_解析：由题意知，正视图就是如 图所
28、示的截面 PEF，其中 E、F分别是 AD、BC 的中点，连接 AO，易得 AO ，而 PA ，于是解2 3得 PO 1，所以 PE ，故其正视图的周长为 22 .2 2答案：22 210已知：图 1 是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图 2 是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成解：图 1 几何体的三视图为：图 2 所示的几何体是上面为正六棱柱，下面 为倒立的正六棱 锥的组合体11(2012银川调研)正四棱锥的高为 ，侧棱长为 ，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形3 7的高) 解：如图所示，正四棱锥 S ABCD 中，高 OS ，3侧棱 SASB SCSD ，7在 RtSOA 中
29、，OA 2，AC 4.SA2 OS2ABBCCDDA2 .2作 OEAB 于 E，则 E 为 AB 中点连接 SE，则 SE 即为斜高，在 RtSOE 中， OE BC ，SO ，12 2 3SE ，即棱锥的斜高为 .5 512(2012四平模拟)已知正三棱锥 VABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)三棱锥的直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得 BC2 ，3侧视图中VA 42 (2332 23)2 2 ，12 3SVBC 2 2 6.12 3 31(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的全面
30、积是( )A. a2 B. a23 34 34C. a2 D. a23 32 6 34解析：选 A 侧面都是直角三角形，故侧棱长等于 a，22S 全 a23 2 a2.34 12 ( 22a) 3 342已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 ，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )2A12 B36C72 D108解析：选 B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为 3 6，高为 2 23，因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该四棱锥的外接球322 (126)2的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3，所以其外接球的表面积等于432 36.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是
31、一个底边长为8，高为 5 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6，高为 5 的等腰三角形，则该几何体的体积为( )A24 B80C64 D240解析：选 B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为 8 和 6 的矩形，棱锥的高是 5，可由锥体的体积公式得 V 86580.134(教材习题改编)表面积为 3 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，则 rlr 23 ，l2r.解得 r1，即直径为 2.答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，侧视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是
32、_解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为 2 ；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且3圆锥的母线长为 2，底面半径 为 1，所以 侧面积为 2.两部分加起来即为几何体的表面积，为2( )3答案：2( )31(2012北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )A8 B.83C4 D.43解析：选 D 将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为 2)，高为 2 的四棱锥，其体积 V S 正方形13ABCDPA 222 .13 12 432(2012山西模拟)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，
33、且AB 3，BC2 ，则棱锥 OABCD 的体积为( )A. B351 51C2 D651 51解析：选 A 依题意得，球心 O 在底面 ABCD 上的射影是矩形 ABCD 的中心，因此棱锥 OABCD 的高等于 ，所以棱锥 OABCD 的体积等于 (32)42 (1232 22)2 512 13 .512 513(2012马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A4 B. 154C5 D. 174解析：选 D 由三视图可知该几何体是半径为 1 的球被挖出了 部分得到的几何体，故18表面积为4123 12 .78 14 1744(2012济南模拟)用若干个大小相同，棱长为 1
34、 的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )A24 B23C22 D21解析：选 C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为 22.5 (2012江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )A. B5112C. D492解析：选 D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为 1 的直棱柱，因此只需求出底面积即可由俯视图和主视图可知，底面面积为 122 214，所12以该几何体的体积为 414.6.如图，正方体 ABCDABC D的棱长为 4，动点 E，F 在
35、棱 AB 上，且EF 2，动点 Q 在棱 DC 上，则三棱锥 AEFQ 的体积 ( )A与点 E，F 位置有关B与点 Q 位置有关C与点 E，F，Q 位置都有关D与点 E，F，Q 位置均无关，是定值解析：选 D 因为 VAEFQ V QAEF 4 ，故三棱锥13 (1224) 163AEFQ 的体积与点 E，F ，Q 的位置均无关，是定值7(2012湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面 边长为 1，侧棱长为 1，斜高为 ，连接顶点和32底面中心即为高，可求得高为 ，
36、所以体 积 V 11 .22 13 22 26答案：268(2012上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为_解析：因为半圆的面积为 2，所以半 圆的半径为 2，圆锥的母线长为 2.底面圆的周长为 2，所以底面圆的半径为 1，所以 圆锥的高为 ，体 积为 .333答案： 339(2013郑州模拟)在三棱锥 ABCD 中，AB CD6，ACBDADBC5，则该三棱锥的外接球的表面积为_解析：依题意得，该三棱锥的三 组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，且其外接球的半径为 R，则Error!得 a2b 2c 24
37、3，即(2 R)2a 2b 2c 243，易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为 4R243.答案：4310(2012江西八校模拟)如图，把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起，使 AC .6(1)求证：面 ABEF平面 BCDE；(2)求五面体 ABCDEF 的体积解：设原正六边形中，ACBEO，DFBEO，由正六边形的几何性质可知OAOC ，ACBE，DFBE.3(1)证明：在五面体 ABCDE 中，OA 2OC 26AC 2，OAOC，又 OAOB，OA平面 BCDE.OA平面 ABEF，平面 ABEF平面 BCDE.(2)由 BEOA
38、，BEOC 知 BE平面 AOC，同理 BE平面 FOD，平面 AOC平面FOD ，故 AOCFOD 是 侧棱长( 高)为 2 的直三棱柱，且三棱锥 BAOC 和 EFO D为大小相同的三棱锥，VABCDEF2V BAOC V AOCFOD2 ( )21 ( )224.13 12 3 12 311(2012大同质检)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是直角梯形 ABCD，其中 ADAB ，CDAB，AB4，CD2，侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形，且与底面 ABCD 垂直，E 为 PA 的中点(1)求证：DE 平面 PBC；(2)求三棱锥 APBC 的体积解：(1)证明：如图，取 A
39、B 的中点 F，连接 DF，EF.在直角梯形 ABCD 中，CDAB，且 AB4， CD2，所以 BF 綊 CD.所以四边形 BCDF 为平行四边形所以 DFBC.在PAB 中，PEEA，AF FB，所以 EFPB.又因为 DFEF F，PBBCB，所以平面 DEF平面 PBC.因为 DE平面 DEF，所以 DE平面 PBC.(2)取 AD 的中点 O，连接 PO.在PAD 中，PAPDAD 2，所以 POAD，PO .3又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD ，所以 PO平面 ABCD.在直角梯形 ABCD 中，CDAB，且 AB4， AD2，ABAD，所以 SAB
40、C ABAD 424.12 12故三棱锥 APBC 的体积 VAPBC V PABC SABCPO 4 .13 13 3 43312(2012湖南师大附中月考) 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)证明：A 1C平面 AB1C1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形 BB1C1C 是矩形，BB1CC 1 ，BCB 1C11 ，四边形 AA1C1C 是边长为 的正方形，且平3 3面 AA1C1C 垂直于底面 BB1C1C，故该几何体是直三棱柱，其体 积 VS ABCBB1 1 .12 3 3
41、 32(2)证明：由(1)知平面 AA1C1C平面 BB1C1C 且 B1C1CC1，所以 B1C1平面 ACC1A1.所以 B1C1A1C.因为四边形 ACC1A1为正方形，所以 A1CAC1.而 B1C1AC 1C 1，所以 A1C平面 AB1C1.1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A. 23 B. 423 C. 23 D. 234【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 ,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 ,四棱锥的底面边长为 2，高为 3，所以体积为 21所以该几何体的体积为 3.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力 ,由三视
42、图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.3.（2008 山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9 B.10C.11 D122 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 答案 D【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 241213.S6.（2006 福建）已知正方体外接球的体积是 2，那么正方体的棱长等于（ ）A.2 2 B. 3 C. 34 D. 34答案 D【解析】正方体外接球的体积是 2，则外接球的半径 R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于 3，选 D.8.（2006 山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C【解析】设正方体的棱长为 a，则它的内切球的半径为 2a，它的外接球的半径为 32a，故所求的比为 13 ，选 C.
