1、 Born to win11998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1) .201limxx(2) 曲线 与 轴所围成的图形的面积 .3yA(3) .2lnsidx(4) 设 连续,则 .()f20()xtfdt(5) 曲线 的渐近线方程为 .1ln)ye二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设数列 与 满足 ,则下列断言正确的是 ( )nxylim0nxy(A) 若 发散,则 发散 (B) 若 无界
2、,则 必有界nxny(C) 若 有界,则 必为无穷小 (D) 若 为无穷小,则 必为无穷小nxny1nn(2) 函数 的不可导点的个数是 ( )23()fx(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(3) 已知函数 在任意点 处的增量 其中 是比 高阶()y ,1yx(0)x的无穷小,且 ,则 ( )()y(A) (B) (C) (D) 4e24e(4) 设函数 在 的某个邻域内连续,且 为其极大值,则存在 ,当()fxa()fa0时,必有 ( ),a(A) (B) ()()0xf()(xfa(C) (D) 2lim()taxa 2lim0()()taxBorn to win2(5) 设
3、是任一 阶方阵, 是其伴随矩阵,又 为常数,且 ,则必有A(3)nAk01k( )()k(A) (B) (C) (D) 1nknkA1kA三、(本题满分5分)求函数 在区间 内的间断点,并判断其类型.tan()4()1xfx(02)四、(本题满分5分)确定常数 的值,使abc30sinlim(0).(1)xbaxctd五、(本题满分5分)利用代换 将方程 化简,并求出原方程的通cosuyxcos2in3cosxyxye解.六、(本题满分6分)计算积分 .3212dx七、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 (从海平面算起)与y下沉速度 之间的函数关系.
4、设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过v程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 ,体积为 ,海水比重为 ,仪器所受的阻mB力与下沉速度成正比,比例系数为 .试建立 与 所满足的微分方程,并求出函数关(0)kyv系式 .y=fv八、(本题满分8分)设 是区间 上的任一非负连续函数.()yfx0,1(1) 试证存在 ,使得在区间 上以 为高的矩形面积,等于在 上以00,x0()f 0,1x为曲边的梯形面积.()yfxBorn to win3(2) 又设 在区间 内可导,且 ,证明(1)中的 是唯一的.()fx(01)2()()fxf0x九、(本题满分8分)设有曲线 ,过原点作
5、其切线,求由此曲线、切线及 轴围成的平面图形绕 y x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.十、(本题满分8分)设 是一向上凸的连续曲线,其上任意一点 处的曲率为 ,且此曲()yx(,)xy21y线上点 处的切线方程为 ,求该曲线的方程, 并求函数 的极值.0,11yx()x十一、(本题满分8分)设 ,证明：()x(1) 221ln);x(2) 1.ll()十二、(本题满分5分)设 ,其中 是4阶单位矩阵, 是4阶矩阵 的转置矩阵,112)TECBAETA231200,1C求 .A十三、(本题满分8分)已知 ,问：123(,40),(,71),(0,1),(3,104)TTTTab(1) 取何值时
6、, 不能由 线性表示？ab(2) 取何值时, 可由 线性表示？并写出此表达式.123,Born to win41998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】 14【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式 20112limxxx204li12xx20lim4x.222011li4xx:方法2：采用洛必达法则.原式 021limxx洛 012limxx201li4xx01li4x012li4xx洛.0lim114x方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至 项, 2x, ,1
7、x218o2218xox从而 原式220limxxx.222104lixox14(2)【答案】 3712Born to win5【分析】求曲线与 轴围成的图形的面积,应分清楚位于 轴上方还是下方,为此,要先x x求此曲线与 轴交点.【解析】 与 轴的交点,即 的根32y32(2)10x为 1,0.x当 时, ；当 时, ,从而0y2x0y20232321010434210()()85370()().21Adxdxdxx(3)【答案】 cotlnsicot.xxC【解析】因为 ,所以221sin2lisdxltdxlnsicotxdcolsit分 部stncinxx2ocotlsiid21snt
8、lniixx2cotlsiidncotxx.tlsiC(4)【答案】 2()xf【解析】作积分变量代换 ,2,uxt2:0:0xu,2dtd1dt,20()xtft2uxt20()xtfut 22001()()xxfudfudBorn to win6.22001()()x xddtftfu21()fx221()()fxfx【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一()tFdt阶可导,则.()()()Ftfttft(5)【答案】 1yxe【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.由曲线方程 知,铅直渐近线可能在两处： 及 ,但题设ln()x 1xe0x,所以 不予考
9、虑,考虑 的情况.当 时,0x1e00,0 ln()1limn()imlit tx extet 洛所以无铅直渐近线；因 1li()li()li,xxxy故无水平渐近线.再考虑斜渐近线:,limlin()1xxe 1lililimnl()1n(),xx xxxy exe( 时, )x1ln(e:所以有斜渐近线 .yx【相关知识点】1.铅直渐近线：如函数 在其间断点 处有 ,则()yfx0x0lim()xf是函数的一条铅直渐近线；0x水平渐近线：当 ,则 为函数的水平渐近线.lim(),xfa为 常 数 ） ya斜渐近线：若有 存在且不为 ,则 为斜渐近线.,li()xxbfxyaxb二、选择题(
10、本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题Born to win7目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的. 由 及 可知 为两个无穷小之积,故 亦为无1()nnyx 1lim0,linnxyxnyny穷小,应选(D).方法2:排除法.(A)的反例: 满足题设,但2211,lililim0nnnxyxy不发散；lim0ny(B)的反例: ,1,0,1,202n nkkkxy满足 ,但 不是有界数列；linyn(C)的反例: 有界数列, 满足1:,23x 1(,2)ny,但 不是
11、无穷小；limli0nyny排除掉(A)、(B)、(C),故选(D).(2)【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数. ,当 时 可导,因而只需在 处22()1fxx0,x()fx0,1x考察 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.由 2222()(,1,0)1,()(xxf,2211()(10)limlimx xff xf ,2211()()lilix xfff x 即 在 处可导.又()fx,2200()(10()limlixxff xf Born to win8,2200()(10()limlixxff xf 所以 在 处
12、不可导.()fx类似,函数 在 处亦不可导.因此 只有2个不可导点,故应选(B).()f1x()fx评注：本题也可利用下列结论进行判断：设函数 ,其中 在 处连续,则 在 处可导的充要()()fa()a()fxa条件是 .0(3)【答案】(A)【解析】由 有2,1yx2.1yx令 得 是 的高阶无穷小,则 ,0,x0lim0limxy20li1xyx200lili1xy21yx即 .2d分离变量,得 2,1yx两边积分,得 ,即lnarctCarctn1.xye代入初始条件 得 所以, .(0),yarct0arctnxye故 arctn11xearctn1e4.【相关知识点】无穷小的比较：设
13、在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 ,(),()limxl(1) 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；0,l,x(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；1()()x:(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .,l ()x()ox若 不存在(不为 ),称 不可比较.)limx,Born to win9(4)【答案】(C)【解析】由 是 的极大点,知存在 ,当 时,xa()f 0,xa,即 .因此,()f0当 时,x()();xfa当 时, .,a0所以,(A)与(B)都不正确.已知 在 处连续,由函数在一点连续的定义可知, ,再由极限()fxlim()xaf四则运
14、算法则可得.22()()lim0()tafxfax应选(C).(5)【答案】(B)【解析】对任何 阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的 阶矩阵自然也要成立.那么,当nn可逆时,由 ,有A1A.11()()nnnkkAkAk故应选(B).一般地,若 ,有 ,那么矩阵 的第 行 列元素的代数余子式()ijna()ijnaij为 11,1, 1, , ,1111,11,1, 1, ,1()()jj niijijiij nnnjnjjjniijijiijnkkkaaakkkaak 1111, nnnjnjaaa 即 中每个元素的代数余子式恰好是 相应元素的代数余子式的 倍,因而,按伴随矩kAA1nkBor
15、n to win10阵的定义知 的元素是 对应元素的 倍.*()kA*1nk【相关知识点】1.行列式的性质：若 是 阶矩阵,则A.nkA2.矩阵 可逆的充要条件是 ,且 .01三、(本题满分5分)【分析】由间断点的定义可知,函数无定义的点一定是间断点,故可以先找出函数无定义的点,再讨论判断出间断点的类型.【解析】 在区间 内的间断点为 无定义的点,即()fx(0,2)1tan()4x各点.357,4在 处, ；在 处, ,故 为x4lim()xf54x54lim()xf5,4x的第二类间断点；()f在 处, ；在 处, ,但相应的函数值在该点无34x34li()1xf74x74li()1xf定
16、义,故 在 处为可去间断点.()f7,【相关知识点】设 ,则 .lim(),li()xaxafAg()0,1limgxxaAf2.函数 的间断点或者不连续点的定义：设函数 在点 的某去心邻域内有定义,()f ()f0只要满足一下三种情况之一即是间断点.(1) 在 没有定义；0x(2) 虽在 有定义,但 不存在；0lim()xf(3) 虽在 有定义,且 存在,但0x0 00li();xfx3.通常把间断点分成两类：如果 是函数 的间断点,但左极限 及右极限x()f ()f都存在,那么 称为函数 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,0()fx0x()f称为第二类间断点.Born to w
17、in11四、(本题满分5分)【分析】解决这类问题,原则上与求极限差不多,但是因为其中含有某些参数,比如在用洛必达法则前,极限是否为“ ”型或“ ”型,要先行讨论,通过讨论,有时就可以推断出其中0参数的特点,然后再求极限,这是一类常考的题目.【解析】当 时 ,又由题设 所以应有xsinax30sinlim(0),(1)xbaxctd(否则与 矛盾),从而只有 ,因此30ln(1)im0xbtd 30sinli()(1)xbactd b满足洛必达法则的条件,用洛必达法则求其极限.30silin(1)xbaxtd332000sincoscoslimlilim.(1)(1)xxxbaaactd洛 等(
18、当 时, )0xln(如果 ,则右边极限为 ,与原设左边矛盾,故 ,于是上述等式成为1a1a(当 时, )20cos1lim.x等 0x2cosx所以最后得 ,b五、(本题满分5分)【解析】方法：由 ,有secouyx23sectan2(sectansec),xuxx代入原方程 ,得oi3coyy. (*)4xue先求其相应齐次方程的通解,由于其特征方程为 ,则特征方程的根为240.所以通解为 ( 为任意常数).2i12()cosin,xCx12CBorn to win12再求非齐次方程的特解,特解应具有形式 ,代入(*)式,得()xuAe4xxAe45xe解得, ,因此 .151()5u故(
19、*)的通解为,( 为任意常数).121()cosin5xxCxe12,C所以,原微分方程的通解为.12sicocosxyx方法：由 ,于是suy有csino2cos,xx原方程化为 (以下与方法相同)4xue【相关知识点】两函数乘积的求导公式：.()()()fgfgxfx 六、(本题满分6分)【解析】当 时,被积函数的极限 ,即 是被积函数的无穷间断点,1x12limx1x故所给的是广义积分. 22,0,()1.xxx或3 312 21 12 31212 231021()()44arcsinlsectanl(3).ddxxxx其中,Born to win13112221122212()4()4
20、()()arcsindxdxdxx求 ：32121()4dx设 则 ,3sec,:,2xtx11:0,(sec)tan22tdxtd,21()(sec)44ttt于是, .3233 3010021tansecln(sta)()24dxdx td七、(本题满分6分)【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点 ,铅直向下作为 轴正向,探测器在下沉过程中Oy受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小： ,浮力的大小： ；阻力： ,mgFB浮 kv则由牛顿第二定律得(*)2 00,.ttdymgBkvyvt由 ,代入(*)得 与 之间的微分方程2,yvdttyt yv.1 0,ydmgBkvv分离变量得 ,yd
21、两边积分得 ,vdmgBkBorn to win142222()()Bmgmgvkky dvvgBkmdvkgBdvkv(第一类换元法)1()()mvdmgkvkgkv.2()ln(BC再根据初始条件 即0|,yv.2 2() ()ln()0ln()mgmgBBk k故所求 与 函数关系为 2l.gvyv八、(本题满分8分)【解析】(1)要证 ,使 ；令 ,要证0(1)x010()()xffd1()()xxfftd,使 .可以对 的原函数 使用罗尔定理：0(1)x0t,(111000)()()( 0,xxxxdfftdft分 部又由 在 连续 在 连续, 在 连续,在 可导.根据罗尔定()fx
22、0,1)01()1(,)Born to win151 2 x(2,1)Oy1理, ,使 .0(1)x00()x(2) 由 ,知 在 内单调增,故(1)中()2()0ffxffx ()x01的 是唯一的.0x评注：若直接对 使用零点定理,会遇到麻烦：()x.10,(1)0ftdf当 时,对任何的 结论都成立；()fxx当 时, 但 ,若 ,则难以说明在 内存在 .当直(),()()(0,1)0x接对 用零点定理遇到麻烦时,不妨对 的原函数使用罗尔定理.()xx【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数 满足()f(1) 在闭区间 上连续；,ab(2) 在开区间 内可导；()(3) 在区间端点处的函数值
23、相等,即 ,()fab那么在 内至少有一点 ( ),使得 .()ab0九、(本题满分8分)【解析】先求切线方程： 处的切线为0(,)xy.0012y以 代入切线方程,解得 ,x002,xyx切线方程为 .(见右图)12yx由曲线段 绕 轴的旋转面面积()xBorn to win16221 12321 14()43()5.46Sydxdx而由曲线段 绕 轴的旋转面面积(0)yxx220020114555.xSyddx由此,旋转体的表面积为 12(1).6S十、(本题满分8分)【解析】由题设及曲率公式,有 31221yy(因曲线 向上凸, ),化简得 .()yx0,21y改写为 ,21d两边积分得
24、 ,2yx解得 .1arctnC由题设,曲线上点 处的切线方程为 ,可知 .(0,)yx(0)1,()y以 代入上式,得 .于是有 ,故有x14arctn43tan(),.yx(上式中注明区间是 的原因：本题中使正切函数有意义的区间有很多,一般可以写成 ,本题选择 是因为题设曲线在 处有值,又32244x34x0xBorn to win17已知曲线是一条连续曲线,因此解的范围应该包含 在内并且使 连续的一个区间.)0x()yx再积分得 2sin()4tan()4co1s()lcs().cos()yxddxCx又由题设可知 ,代入确定 ,于是所求的曲线方程为0)y21lnoln4C13lncos
25、l,.4xx由于 且 在定义域内是增函数,所以当且仅当 时,s1,l cos14x即 时 取得最大值,由于 ,所以此时也是 取极大值,极大值为4xy34y；显然 在 没有极小值.1ln2x【相关知识点】曲线 在其上任意一点 处的曲率公式： .()y(,)xy321yk十一、(本题满分8分)【分析】不等式的证明一般用单调性来证明,除此之外,还可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余项泰勒公式、最大(小)值来证明.【解析】(1)方法1：利用单调性证明.令 则22)(1)ln(),xx2ln(1),()l,n(1)0().xxx 在 内单调递增, ；()x0)(1)在 内单调递增, ；1(0xxBorn
26、to win18在 内单调递增, ,()x01()0(1)xx即 .22ln)方法2：改写原不等式,当 时, ,故可在不等式两边同时除以 ,有(1)xx(1)x,22ln(1)两边开平方, .l()x令 ,()ln1)gxx3322321()110,()xxxxx 当故函数 在区间 上单调减少,由 ,可知当 时, ,即()gx01()g0x()0g,从而原不等式成立,证毕.ln1方法3：由方法1, 已证22()(1)ln(),xx(0),()0,(),x0)于是由 的1阶麦克劳林公式(拉格朗日余项)有 221(0)()().!xxx即 ,证毕.22()ln(2)令 1ln(1),l()xfx,
27、2222()ln(1)(1)ln()xxfx Born to win19由(1), 在 单调减 ,而()01)(fxfx0,1)(1)(0)1)fxfx,且1ln2 2000ln()ln()()lim()lilim1xx xxff 等,001lili2()2xx洛故 即 证毕.11(),ln22fx1lnl()十二、(本题满分5分)【解析】由矩阵运算法则,将等式 两边左乘 ,得11(2)TECBAC,即 .1(2)TCEBA(E对上式两端取转置,有 .由可逆矩阵及逆矩阵的定义,可知矩阵 均可逆,因为 是4阶方阵,故2TCBA. 11002(2)3214TACB十三、(本题满分8分)【分析】 能
28、由(不能由) 线性表出 为列向量的非齐次线12,s ,12,is性方程组 有解(无解),从而将线性表出的问题转化为方程组解12sxx的情况的判定与求解.【解析】令 ,作方程组 ,并对此方程组的增广矩123123,TAXAX阵进行初等变换：Born to win2012120320347()41032().Abbaab其中, 变换：将第 1 行乘以-4 加到第 2 行,再将第 1 行乘以-2 加到第 4 行；1()变换：第 2 行加到第 1 行,再将第 2 行乘以-1 加到第 4 行,最后 3,4 行互换.2由非齐次线性方程组有解的判定定理,可得(1)当 时,线性方程组 无解,此时 不能由 线性
29、表出.bAX123,(2)当 时, ,线性方程组 有唯一解,下面求此唯一解.21a()3rAX由以上增广矩阵变换可得线性方程组 的同解方程组为,123()0xa解得唯一解为 .故 能由 线性表出为,TX123,12.(3)当 时, ,线性方程组 有无穷多解.求齐次线21b()rAAX性方程组 的基础解系.0A齐次线性方程组 的同解方程组为,123x基础解系所含向量的个数为 ,选 为自由未知量,取 ,解得基础解()321nrA2x21x系为 .取 ,解得的一个特解为 ,则由非齐次线性方程组解(2,1)T30x(0)T的结构可知,方程组 的通解为X, 是任意常数.21,Tkkk则 能由 线性表出,且表示法为无穷多(常数 可以任意),且123,Born to win21.123(2)()kk【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设 是 矩阵,方程组 ,则AmnAxb(1)有唯一解 ().rAn(2)有无穷多解 ()(3)无解 不能由 的列向量线性表出.()1.rbA
