1、千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷1学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语：不等是知识点 知 识 梳理 1.基本形式: ,abR,则 2ba; 0,b,则 2ab,当且仅当 ab时等号成立.2 求最值:当 为定值时, 2,有最小值;当 或 为定值时, 有最大值( 0,).3.拓展：若 ,0ab时,21abab,当且仅当 ab时等号成立. 重 难 点 突 破 1.重点：理解基本不等式 等号成立条件，掌握用基本不等式证明2ab不等式会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2.难点：利用基本不等式 求最大值、最小值2ab3.重难点：正确运用基本
2、不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值二 方法技巧讲解(1) 灵活运用基本不等式处理不等关系问题 1. 已知正数 x、y 满足 x+2y=1，求 + 的最小值.x1y点拨：x、y 为正数，且 x+2y=1，日期： 2012- 时间： 千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷2 + =（x+2y ）（ + ）1x1y=3+ + 3+2 ，22当且仅当 = ，即当 x= 1，y =1 时等号成立.xy2 + 的最小值为 3+2 .1y2（2）注意取等号的条件问题 2. 已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z= 的最小值为 。1()xy点拨：错解 1、因为对 a0,恒有
3、 ,从而 z= 4,所以 z 的最小值是 4。2a()xy错解 2、 ，所以 z 的最小值是2 2()xyzyxxy(21)。(1)错因分析：解一等号成立的条件是 相矛盾。解二等号1,1,1xyxyx且 即 且 与成立的条件是 ，与 相矛盾。2,2xy即 04解析：z= = = ，令 t=xy, 1()xy1yx21()2xyxy则 ，由 在 上单调递减,故当 t= 时 有20()4t2()ftt0414()ftt最小值 ,所以当 时 z 有最小值 。341xy5 热 点 考 点 题 型 探 析考点 1 利用基本不等式求最值(或取值范围)题型 1. 当积 为定值时,求和 最小值abab千里之行
4、，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷3例 1 . 已知 0,xy且满足 281xy,求 xy的最小值.例 2. 已知 x0，y0 ，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值例 3. 若正数 a，b 满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是_考点 2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例 4 已知 ,abcR,求证: 22abcabc.千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷4强化训练1.若 1x，则 =_时, 1x有最小值，最小值为_.2. .(2010华附)已知 ,*4xyRy且 则 xy的最小值为 3. 已知一动直线
5、 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线 的纵、横截距之和大 1，l l求这三角形面积的最小值4. 已知 a，b 为正数，求证： ab5.设 x0,y0 且 xy,求证 2131yxy6.已知函数 ，若 在（0，+ ）上恒成立，求 的取值范围。12()fxa2xf)(a7.( 2010梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x千件,需另投入成本为 ()Cx.当年产量不足 80 千件时, 21()03Cxx(万元);当年产量不小于 80 千件时,10()545Cx(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润 L(
6、万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大 ?千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷5参考答案例 1【解题思路】利用 ，构造均值不等式281xy解析： 2828()()yxxyxy, 0y, 280,xy10268,当且仅当 时等号成立 ,即 24, ,又 1, ,xy当 12xy时, 有最小值 18.例 2 解析x0，y0 ，3x+4y=12， ，431 3241lgx+lgy=lgxylg3 由 解得 yx43120,23yx当 x=2，y= 时，lgx+lgy 取得最大值 lg3 例 3 解法一 由 a、bR +
7、，由重要不等式得 a+b2 ，ab则 ab=a+b+32 +3，即 3，ab)1)(3(0ab0 ab9 解法二 a、b 为正数， ab=a+b+3 0，3两边立方得 a3b33 4ab a2b23 4，ab0，ab9 解法三 原条件式变为 ab-3=a+b， a、b 均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a 2+b22ab， a 2b2-6ab+94ab，即 a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知 ab3， ab 9 解法四 把 a、bR +看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)
8、2-4ab0，千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷6即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20 成立， ab9 例 4 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 222,abcbac,相加整理得 .当且仅当 时等号成立.强化训练1.若 1x，则 =_时, 1x有最小值，最小值为_.解析: , 0x, 0, 1x= 12()1x21，当且仅当 1即 x时 )(min.2. .(2010华附)已知 ,*4xyRy且 则 y的最小值为 解析: 95, xx，当且仅当 61,3yx时取等号.3. 已知一动直线 与两坐标轴的正
9、半轴围成的三角形的面积的数值比直线 的纵、横截距之和大 1，l l求这三角形面积的最小值解析： 设直线 的方程 （a0，b0） ，则 ，a+b2 ，l1byax 121baab ，即 0，解得 ，ab21124)(26 ，当 a=b=2+ 时，三角形面积的最小值为 5+22)6(64 解析 1： a0，b0， ，baab22 ，a两式相加，得 ，abb2 ba千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷7解析 2. abbaab)( ab22)( ab5 证明：由 x0,y0 且 xy,要证明 2131yxyx只需 即3223yyx2只需6 解析：因为 在（0，+ ）上恒成立，即2xf)(021xa 的最小值为 4 a1)(x14解得 40或7 解析: (1)当 80x时, 2211().050540533Lxxxx当 x时, ().514()24,83()01(),xxL(2)当 08x时, 21(69503Lx,此时,当 60x时, ()Lx取得最大值 (60)95L(万元);当 时, 1()0)221此时,当 1x时,即 1x时, (Lx取得最大值 1000 万元.所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元.
