1、高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室第二章 导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。4、 会求分段函数的导数。5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：1、导数和微分
2、的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。2. 1 导数概念一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 sf(t) 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值 00)(tfts这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0 内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻 t0 的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这
3、样 令 t t00 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室取比值 的极限 如果这个极限存在 设为 v 即0)(tf 0)(lim0tfvt这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度 2切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C趋于点 M 时 如果割线 绕点 旋转而趋于极限位置 MT 直线 就称为曲线 有点 处的切线 设曲线 C 就是函数 yf(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0f(x0)处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点
4、 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为 00tanfx其中 为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 x 0 时 上式的极限存在 设为 k 即0)(lim0xfx存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan 其中 是切线 MT 的倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的定义1 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限 0)(lim0xfx令xxx 0 则 yf(x0x)f(x0) f(x)f(
5、x0) xx0 相当于 x 0 于是 0)(lim0xfx成为或 x0li xff)(li00定义 设函数 yf(x)在点 x0 的某个邻域内有定义 当自变量 x 在 x0 处取得增量x( 点x0x 仍在该邻域内) 时 相应地函数 y 取得增量yf (x0x)f(x0) 如果y 与 x 之比当x 0时的极限存在 则称函数 yf(x)在点 x0 处可导 并称这个极限为函数 yf(x)在点 x0 处的导数 记为 即0|xy xffxf )(limli)( 000高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室也可记为 或 0|xy0xd0)(xf函数 f(x)在点 x0
6、处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 hfffh()(lim)(00 00xx在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限 不存在 就说函数 yf(x)在点 x0 处不可导 xffx)(lim00如果不可导的原因是由于 xff)(li00也往往说函数 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大 如果函数 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 f(x)在开区间 I 内可导 这时 对于任一 x I 都对应着 f(x)的一个确定的导
7、数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫做原来函数 yf(x)的导函数 记作 或 y)(xfdyf)(导函数的定义式 xffyx)(lim0 hxffh)(lim0f (x0)与 f (x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 xx0 处的函数值 即 )(f导函数 f (x)简称导数 而 f (x0)是 f(x)在 x0 处的导数或导数 f (x)在 x0 处的值 左右导数 所列极限存在 则定义f(x)在 的左导数 0 hfffhlim)(0f(x)在 的右导数 xffxf )(li0如果极限 存在则称此极限值为函数在 x0 的左导数hh)(l
8、i00如果极限 存在则称此极限值为函数在 x0 的右导数xff(lim0导数与左右导数的关系 Af)(0Axff)(0高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室2求导数举例例 1求函数 f(x)C（C 为常数）的导数 解 hffh)(lim)(00lih即(C ) 0 例 2 求 的导数 xf1)(解 hxhfffh1lim)(li)( 00 200 1)(lim)(li xhxh例 3 求 的导数xf解 hxhfffh 00li)(li)( xxh 21mli0例 2求函数 f(x)x n (n 为正整数) 在 xa 处的导数 解 f ( a) (x n1ax
9、 n2 a n1)na n1 ali naxlilim把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n1 即 (x n)nx n1 (C)0 21x(1更一般地 有(x )x 1 其中 为常数 例 3求函数 f(x)sin x 的导数 解 f (x) hfh)(lim0hxhsin)si(l0 2incos21lix hhcs2i)s(li0即 (sin x)cos x 用类似的方法 可求得 (cos x )sin x 例 4求函数 f(x)a x(a0 a 1) 的导数 解 f (x) hfh)lim0hax0li高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室
10、hax1lim0t令 )1(logim0taax exalnlog特别地有(e x )e x 例 5求函数 f(x)log a x (a0 a 1) 的导数 解 hxhff ahh log)(lim)li)( 00 hxahaax)1(lim)1(li(log1i 0 xeln解 hxf aahog)(lim)(0)1(logi0xha xa)1(lielnl即 xaln)(log特殊地 1 axaln)(logx)(3单侧导数 极限 存在的充分必要条件是hffh)(lim0及xffli hxffh)(li0都存在且相等f(x)在 处的左导数 0 ffxfh)(lim)(0f(x)在 处的右导
11、数 xfffli导数与左右导数的关系 函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x0) 和右导数 f (x0)都存在且相等 如果函数 f(x)在开区间(a, b) 内可导 且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在 就说 f(x)有闭区间a, b 上可导 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室例 6求函数 f(x)x|在 x0 处的导数 解 1|lim)(li)0( hhffh |li(lim00 fff因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x)|x|在 x0 处不可导 四、导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0 处的
12、导数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处的切线的斜率 即f (x 0)tan 其中 是切线的倾角 如果 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大 这时曲线 yf(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 xx0为极限位置 即曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 xx0 由直线的点斜式方程 可知曲线 yf(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为yy0f (x0)(xx0) 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 yf(x)在点 M 处的法线如果f (x0)0 法线的斜率为 从而法线方程为)(10f 0xfy例 8 求等
13、边双曲线 在点 处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法y1)2,(线方程 解 所求切线及法线的斜率分别为21xy 4)(211xk412k所求切线方程为 即 4xy40 )(y所求法线方程为 即 2x8y150 14x例 9 求曲线 的通过点(0 4)的切线方程 y解 设切点的横坐标为 x0 则切线的斜率为高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 021303)(0xxxf于是所求切线的方程可设为 )(2300xxy根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此 )(400解之得 x04 于是所求切线的方程为 即 3xy40 )4(23y四、函数的可导性与连续
14、性的关系设函数 yf(x)在点 x0 处可导 即 存在 则)(lim00xfyx lilililim0 fyxx这就是说 函数 yf(x)在点 x0 处是连续的 所以 如果函数 yf(x)在点 x 处可导 则函数在该点必连续 另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7 函数 在区间(, ) 内连续 但在点 x0 处不可导 这是因为函数在点3)xfx0 处导数为无穷大 hffh)0(lim0h0li32 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 uu(x)及 vv(x)在点 x 具有导数 那么它们的和、差、积、商( 除分母为零的点外)都在点 x 具有导数
15、 并且u(x)v(x)u(x)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 2x高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室证明 (1) hxvuxvuxvuh )()(lim)(0u(x)v(x)h)(li0法则(1)可简单地表示为(uv)uv (2) hxvuxxh)()(lim0)()(1 xvuhxvvxuhxuh )()(li0hxvhv)(limlilim00u(x)v(x)u(x)v(x) 其中 v(xh)v(x)是由于 v(x)存在 故 v(x)在点 x 连续 0li法则(2)可简单地表示为(uv)uvuv (3) hxvuxhvux
16、xhh )()(lim)(li)( 00 u)()lim)()(li0xvhxvuxh )(2xvu法则(3)可简单地表示为 2)(uv)uv (uv)uvuv 2)(vu定理 1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 uu(x)、v v(x)、ww(x)均可导 则有(uvw)uvw (uvw)(uv)w(uv)w(uv)w(uvuv)wuvwuvwuvwuvw 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室即 (uvw)uvwuvwuvw 在法则(2)中 如果 vC(C 为常数) 则有 (Cu)Cu 例 1y2 x 35x 23x7 求
17、 y解 y(2x 35x 23x7) (2x 3)5x 2)3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)23x 252x36x 210x3 例 2 求 f (x)及 sinco4)(f )f解 xxf sin42(i)(3 4)2 (f例 3ye x (sin xcos x) 求 y 解 ye x )(sin xcos x) e x (sin xcos x) e x (sin xcos x) e x (cos x sin x)2e x cos x 例 4ytan x 求 y 解 x2cos)(in)(sicoin()ta x22es1s即 (tan x)sec2x 例 5ysec x 求
18、 y 解 sec x tan x x2cos)(1)(cos1()se 2cosin即 (sec x)sec x tan x 用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)csc2x (csc x)csc x cot x 二、反函数的求导法则定理 2 如果函数 xf(y)在某区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0 那么它的反函数 yf 1(x)在对应区间 Ixx|xf(y) yIy内也可导 并且 或 1fdx1简要证明 由于 xf(y)在 I y 内单调、可导(从而连续) 所以 xf(y)的反函数 yf 1(x)存在 且 f 1(x)在 I x 内也单调、连续 高等数学教案
19、 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室任取 x I x 给 x 以增量x( x0 xxI x) 由 yf 1(x)的单调性可知yf 1(xx)f 1(x)0 于是 y因为 yf 1(x)连续 故0lim从而)(1lili)(001 yfxyxf 上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 6设 xsin y 为直接函数 则 yarcsin x 是它的反函数 函数 xsin y 在2,开区间 内单调、可导 且)2, (sin y)cos y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x(1 1)内有 22sinco1)(sin(arci yyx类似地有
20、 2x例 7设 xtan y 为直接函数 则 yarctan x 是它的反函数 函数 xtan y 在), (区间 内单调、可导 且)2,(tan y)sec2 y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x( )内有 2221tansec1)(tan(arct yx类似地有 orx例 8 设 xa y(a0 a 1)为直接函数 则 yloga x 是它的反函数 函数 xa y 在区间 I y( )内单调、可导 且(a y)a y ln a 0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x(0 )内有 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 axaxyl
21、n1)(1(log到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数 lntan x 、 、的导数怎样求？3e三、复合函数的求导法则定理 3 如果 ug(x)在点 x 可导 函数 yf(u)在点 ug(x)可导 则复合函数 yfg(x)在点 x可导 且其导数为或 )(fdyduy证明 当 ug(x)在 x 的某邻域内为常数时 y=f(x)也是常数 此时导数为零 结论自然成立 当 ug(x)在 x 的某邻域内不等于常数时 u0 此时有xgxgffgffy )()()() xuff)(= f (u)g (x )xuffxyd)(lim(l
22、imli 000简要证明 xyx00lili )(lili0gfuyxu例 9 求 3edy解 函数 可看作是由 ye u ux3 复合而成的 因此x 23uedy例 10 求 21sinxy解 函数 是由 ysin u 复合而成的 y21x因此 221cos)()(cos xxdxu对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量 例 11lnsin x 求 y解 )(sin1)sin(lxdy xcotsi1高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室例 12 求 321xydy解 )21()()(3xd 32)1(4x复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量
23、的情形 例如 设 yf(u) u(v) v(x) 则 dxvuyxdy例 13ylncos( e x) 求 解 )cos(1cos(lnxxedx tan)i)(xe例 14 求 y1sindy解 )1(cos)(si)(1inisi xexedxx e1cosin2例 15 设 x0 证明幂函数的导数公式(x ) x 1 解 因为 x (e ln x)e ln x 所以(x )(e ln x) e ln x( ln x) e ln x x1 x 1 四、基本求导法则与导数公式1基本初等函数的导数(1)(C)0(2)(x) x1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)
24、(tan x)sec2x(6)(cot x)csc2x(7)(sec x)sec xtan x(8)(csc x)csc xcot x(9)(a x)a x ln a(10)(e x)ex(11) aln1(log高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室(12) x1)(ln(13) 2arcsi(14) 1)(ox(15) 2arctn(16) 1)ot(x2函数的和、差、积、商的求导法则设 uu(x) vv(x)都可导 则(1)(u v)uv(2)(C u)C u(3)(u v)uvuv(4) 2(3反函数的求导法则设 xf(y)在区间 Iy 内单调、可导
25、且 f (y)0 则它的反函数 yf 1(x)在 Ixf(Iy)内也可导 并且 或 )(1ffdyx14复合函数的求导法则设 yf(x) 而 ug(x)且 f(u)及 g(x)都可导 则复合函数 yfg(x)的导数为或 y(x)f (u)g(x)d例 16 求双曲正弦 sh x 的导数.解 因为 所以)(21she xxxxch)() ( 即 (sh x)ch x 类似地 有(ch x)sh x 例 17 求双曲正切 th x 的导数 解 因为 所以chst高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室x2chs)(t 21例 18 求反双曲正弦 arsh x 的导
26、数 解 因为 所以)ln(ars 2 22211)h ( xxx由 可得 )lnarc )arch (由 可得 x1l2th 21t x类似地可得 )arc (2)arh(例 19ysin nxsinn x (n 为常数) 求 y 解 y(sin nx ) sin n x + sin nx (sin n x) ncos nx sin n x+sin nx n sin n1 x (sin x ) ncos nx sin n x+n sin n1 x cos x n sin n1 x sin(n+1)x 2. 3 高阶导数一般地 函数 yf(x)的导数 yf (x)仍然是 x 的函数 我们把 yf
27、 (x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数 记作 y、 f (x)或 2d即 y(y) f (x)f (x) )相应地 把 yf(x)的导数 f (x)叫做函数 yf(x)的一阶导数 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室类似地 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 一般地 (n1)阶导数的导数叫做 n 阶导数 分别记作y y (4) y (n) 或 3dx4yndx函数 f(x)具有 n 阶导数 也常说成函数 f(x)为 n 阶可导 如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数 那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于
28、 n 阶的导数 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 y称为一阶导数 y y y (4) y(n)都称为高阶导数 例 1yax b 求 y 解 ya y 0 例 2ssin t 求 s 解 s cos t s 2sin t 例 3证明 函数 满足关系式 y 3y10 xy证明 因为 221 2)(xy )2()(1xx321)(yx所以 y 3y10例 4求函数 yex 的 n 阶导数 解 ye x yex yex y( 4)ex 一般地 可得y( n)ex 即 (ex)(n)ex 例 5求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数 解 ysin x )2sin(co )2sin()i xxxy 3i 2s
29、in()2 cos( )4i 3)4( xxy一般地 可得 即 )2sin()( )2sin()(i(x高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室用类似方法 可得 )2cos()(nxn例 6求对函数 ln(1x)的 n 阶导数解 yln(1x) y(1x)1 y(1x)2 y(1)(2)(1x)3 y(4)(1)(2)(3)(1x)4 一般地 可得y(n)(1)(2) (n1)(1x)n n)1(!即 x)1(!1l)(例 6求幂函数 yx (是任意常数) 的 n 阶导数公式 解 y x1 y(1)x2 y(1)(2)x3 y ( 4)(1)(2)(3)x4
30、一般地 可得y (n)(1)(2) (n1)xn 即 (x )(n) (1)(2) (n1)xn 当 n 时 得到(xn)(n) (1)(2) 3 2 1n! 而 (x n)( n1)0 如果函数 uu(x)及 vv(x)都在点 x 处具有 n 阶导数 那么显然函数 u(x)v(x)也在点 x 处具有 n 阶导数 且(uv)(n)u(n)v(n) (uv)uvuv(uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 用数学归纳法可以证明 nkkC0)()(这一公式称为莱布尼茨公式 例 8yx 2e2x 求 y(20) 解 设 ue2x vx2 则(u)(k)2k e2x (k1, 2, , 2
31、0) v2x v2 (v)(k) 0 (k3, 4, , 20) 代入莱布尼茨公式 得y (20)(u v)(20)u(20)vC 201u(19)vC 202u(18)v220e2x x220 219e2x 2x 218e2x 2!90高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室220e2x (x220x95) 2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数显函数 形如 yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln x+e x 隐函数 由方程 F(x y)0 所确定的函数称为隐函数例如 方程 xy3 10 确定的隐函数
32、为 y 31如果在方程 F(x y)0 中 当 x 取某区间内的任一值时 相应地总有满足这方程的唯一的高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室y 值存在 那么就说方程 F(x y)0 在该区间内确定了一个隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的显化有时是有困难的 甚至是不可能的 但在实际问题中 有时需要计算隐函数的导数 因此 我们希望有一种方法 不管隐函数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 例 1求由方程 e yxye0 所确定的隐函数 y 的导数 解 把方程两边的每一项对 x 求导数得(e y)(xy)(e)(0) 即 e
33、 y yyxy0 从而 (xe y0) 例 2求由方程 y52yx3x70 所确定的隐函数 yf(x)在x0 处的导数 y|x0 解 把方程两边分别对 x 求导数得5yy2y121x 60由此得 4因为当 x0 时 从原方程得 y0 所以 21|5|046xy例 3 求椭圆 在 处的切线方程 92)3 ,(解 把椭圆方程的两边分别对 x 求导 得 08yx从而 169当 x2 时 代入上式得所求切线的斜率3y 4|xk所求的切线方程为 即 )2(32y 0384yx解 把椭圆方程的两边分别对 x 求导 得 098x将 x2 代入上式得3y高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学
34、学院公共数学教研室0314y于是 ky |x2 所求的切线方程为 即 )2(43x0384yx例 4求由方程 所确定的隐函数 y0sin1y的二阶导数 解 方程两边对 x 求导 得 0cos21dyy于是 dx上式两边再对 x 求导 得 322)cos(in4)cs(inyydd对数求导法 这种方法是先在 yf(x)的两边取对数 然后再求出 y 的导数 设 yf(x) 两边取对数 得ln y ln f(x) 两边对 x 求导 得 ln1fy f(x)ln f(x) 对数求导法适用于求幂指函数 yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 例 5求 yx sin x (x0)的导数 解法一 两
35、边取对数 得ln ysin x ln x 上式两边对 x 求导 得 1sinlco1于是 )il(xxy snlcosin高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 yx sin xe sin xln x )sinl(co)ln(sisilin xx例 6 求函数 的导数 )4(321y解 先在两边取对数(假定 x4) 得ln y ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4) 2上式两边对 x 求导 得)4131( xxy于是 2当 x1 时 当 2x3 时 )4(3xy )4(321xy用同样方法可得与上面相同的
36、结果 注 严格来说 本题应分 x4 x1 2x3 三种情况讨论 但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设 y 与 x 的函数关系是由参数方程 确定的 则称此函数关系所表达的函数为由)(ty参数方程所确定的函数 在实际问题中 需要计算由参数方程所确定的函数的导数 但从参数方程中消去参数 t 有时会有困难 因此 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数 设 x(t)具有单调连续反函数 t(x) 且此反函数能与函数 y(t)构成复合函数y(x) 若 x(t)和 y(t)都可导 则 1tdxttdy即 或 )(tdxydtxy若 x(t)和 y(t)都可导 则 )(ty例
37、7 求椭圆 在相应于 点处的切线方程 tbaxsinco4高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室解 tabttabdxycosin)co(si所求切线的斜率为 dxyt4切点的坐标为 2 cos0a24sin0by切线方程为 )(xby即 bxay ab 0 2例 8抛射体运动轨迹的参数方程为 21gtvyx求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 yv2t g t 2解 先求速度的大小 速度的水平分量与铅直分量分别为x (t)v1 y(t)v2gt 所以抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 )( 221)(gtv再求速度的方向 设 是切线的倾角 则轨道的
38、切线方向为 12)(tanvttxyd已知 x(t), y(t) 如何求二阶导数 y? 由 x(t) dxttdx)()2)1)(2tt (3tt例 9计算由摆线的参数方程 所确定)cos1(intayx的函数 yf(x)的二阶导数 解 td )s(i)sin(co1tta(t2n n 为整数) it高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室dxttdxy)2(co)(222)cos1()s1(sintatat(t2n n 为整数) 三、相关变化率设 xx(t)及 yy(t)都是可导函数 而变量 x 与 y 间存在某种关系 从而变化率 与 间dtxy也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率 例 10 一气球从离开观察员 500f 处离地面铅直上升 其速度为 140m/min(分) 当气球高度为
