1、井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编第 1 页 共 82 页2012 年全国初中数学竞赛预赛试题江西省吉安市一、 选择题：（每题 7 分，共 42 分）1、化简 的结果是（ ）3819423127A、2 B、 2 C、 D、2、一次考试共有 5 道题，考后统计如下，有 81%的同学做对第 1 题，91% 的同学做对第 2题，85%的同学做对第 3 题， 79%的同学做对第 4 题，74%的同学做对第 5 题，如果做对 3题以上的（含 3 题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（ ） 。A、70% B、 79% C、74% D、81%3、如图：在ABC 中，则 AN
2、:NL:LE 等于（ ）,31,1AFEDA、2：1：1 B、3：2：1 C、3：3：1 D、2：3：14、满足方程 的所有非负整数解的组数有xyyx)(（ ）A、1 B、2 C、3 D、45、如图：正方形 ABCD 的边长为 ，E、F 分别是 AB、BC 的中点，AF 分别交152DE，DB 于 M，N,则DMN 的面积为（ ）A、8 B、9 C、10 D、116、使分式 的值为整数的实数 x 的值的个数是（ ）342xA、4 B、5 C、6 D、7二、填空题（每题 7 分，共 28 分）7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 .8、边长为 9cm, 40cm,41cm
3、的三角形的重心到外心的距离是 9、已知二次函数 ,一次函数 ，若它们的图像对于问题任cbxay2 4)1(2kxy意的数 k 都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 10、代数式 的最小值是 49)8(922x三、解答题（共三大题，70 分）井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编第 2 页 共 82 页11、已知关于 x 的方程 的根是整数，求满足条件024)810()4(22xkxk的所有实数 k 的值（20 分）12、如图：在矩形 ABCD 中，点 P 在 AB 上，且ACP 是等腰三角形，O 是 AC 的中点，OE AB 于有，点 Q 是 OE 的中点，求证：PQ CE （
4、25 分）.13、已知二次函数 图像与轴交于 (x1yz； （B）、 x=y=z； （C）、x=yz； （D）、xy=z6、将 1,2,3,4,5,6,7,8 这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ）(A)、4 种； (B)、 8 种； (C)12 种、； (D) 、16 种井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编第 8 页 共 82 页二、 填空题（每小题 7 分，共 28 分）1、若 k 个连续正整数之和为 2010，则 k 的最大值是 2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（
5、与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 . 3、圆内接四边形 ABCD 的四条边长顺次为：AB=2,BC=7,CD=6,DA=9，则四边形的面积为 .4、在123520 中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数是 第 二 试一、（20 分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长 a,b 是方程=0 的两根，求 k 的值并确定直角三角形三边之长 kx4)2(2二、（25 分）如图，自ABC 内的任一点 P，作三角形三条边的垂线： PD BC，PECA，PFAB ，若 BD=BF,CD=CE；证明： AE=AF三、（25 分）已知 a,b,c 为正整数，且 为
6、有理数，证明 为整cba3cba22数井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编第 9 页 共 82 页PDOyxCAB第 9 题图“数学周报杯”2010 年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分.1若 ，则 的值为（ ）10,2cbacba（A） （B） （C） （D）22101202若实数 a， b 满足 ，则 a 的取值范围是（ ）2ba（A） a （B） a 4 （C） a 或 a4 （D） a43如图，在四边形 ABCD 中， B135， C120，AB= ， BC= ， CD ，则 AD 边的长为（ ）24（A） （B）664（C） （
7、D）24在一列数 中，已知 ，且当 k2 时，,321x1x（取整符号a表示不超过41kxk实数 的最大整数，例如2.6=2,0.2=0），则 等于（ 201x）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，1）， B（2，1）， C（2，1），D（1，1） y 轴上一点 P（0，2）绕点 A 旋转 180得点 P1，点 P1绕点 B 旋转 180得点 P2，点 P2绕点 C 旋转 180得点 P3，点 P3绕点 D 旋转 180得点 P4，重复操作依次得到点P1， P2， 则点 P2010的坐标是（ ） A
8、DCB第 3 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编第 10 页 共 82 页（A）（2010，2） （B）（2010， ） （C）（2012， ） （D）（0，2）二、填空题6已知 a ，则 2a37 a22 a12 的值等于 157一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车；再过 t 分钟，货车追上了客车，则 t 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O（0，0），A（0，6），
9、 B（4，6）， C（4，4）， D（6，4）， E（6，0）若直线 l 经过点 M（2，3），且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线 l 的函数表达式是 9如图，射线 AM， BN 都垂直于线段 AB，点 E 为 AM 上一点，过点 A 作 BE 的垂线 AC分别交 BE， BN 于点 F， C，过点 C 作 AM 的垂线 CD，垂足为D若 CD CF，则 AE10对于 i=2，3， k，正整数 n 除以 i 所得的余数为i1若 的最小值 满足 ，则正整数 的最0n302小值为 三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分） 11、如图： ABC 为等腰三角形， A
10、P 是底边 BC 上的高，点 D 是线段 PC 上的一点， BE和 CF 分别是 ABD 和 ACD 的外接圆直径，连接 EF. 求证： BCEFPAtan（第 12A 题）12如图，抛物线 （ a 0）与双曲bxy2线 相交于点 A， B. 已知点 A 的坐标为（1，4），点 B 在第三象限内，且 AOB 的面xky积为 3（ O 为坐标原点）.(1）求实数 a， b， k 的值；（2）过抛物线上点 A 作直线 AC x 轴，交抛物线于另一点 C，求所有满足 EOC AOB 的点 E 的坐标.井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编第 11 页 共 82 页13求满足 的所有素数
11、 p 和正整数 m.mp2822009 年全国初中数学江西赛区预赛试题（2009 年 3 月 22 日上午 9：3011：30）一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）1、已知非零实数 a、b 满足|2a 4|+|b+2|+ +4=2a，则 a+b 等于（ ）(a-3)b2A、1 B、0 C、1 D、22、如图所示，菱形 ABCD 边长为 a，点 O 在对角线 AC 上一点，且OA=a， OB=OC=OD=1,则 a 等于（ ）A、 B、1 C、 D、52513、将一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为 a，第二
12、次掷出的点数为 b，则关于 x、y 的方程组只有正数解的概率为（ ）2yxbaA、 B、 C、 D、112 29 518 13364、如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，B=90，动点 P 从点 B 出发，沿梯形的边由 BCDA 运动，设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 y，把 y 看作 x 的函数，函数图象如图 2 所示，则ABC 的面积为（ ）A、10 B、16 C、18 D、325、关于 x、y 的方程 的整数解（x、y）的组数为（ ）92yA、2 组 B、3 组 C、4 组 D、无穷多组二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6、一自行车轮胎，
13、若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编第 12 页 共 82 页后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶 ；7、已知线段 AB 的中点为 C，以点 C 为圆心，AB 长为半径作圆，在线段 AB 的延长线上取点 D，使得 BD=AC；再以点 D 为圆心，DA 的长位半径作圆，与A 分别相交于点 F、G 两点，连接 FG 交AB 于点 H，则 的值为 ；AHAB8、已知 满足条件 的五个不同的整数，若543
14、21,a954321aab 是关于 x 的方程 的20)()()(321 xx整数根，则 b 的值为 ；9、如图所示，在ABC 中，CD 是高，CE 为ACB 的平分线，若 AC=15，,BC=20 ，CD=12，则 CE 的长等于 10、10 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报 3 的人心里想的数是 ；三、解答题（共 4 小题，每题 20 分，共 80 分）11、函数 的图像与 x 轴的两个交点是否都在直线 x=1 的右侧？22)1(kxxy若是，请
15、说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线 x=1 的右侧时 k 的取值范围？12、在平面直角坐标系 xoy 中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完成平方数的点称为“好点” ，求二次函数 的图像上的所有“好点”的坐标.4907)(2xy13、如图，给定锐角ABC，BCCA，AD，BE 是它的两条高，过点 C 作ABC 的外接圆的切线 l，过电 D、E 分别作 l 的垂线，垂足分别为 F、G，试比较线段 DF 和 EG 的大小，并证明你的结论？井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编第 13 页 共 82 页14、n 个正整数 满足如下条件：na,21 且 中任意 n1 个不同的数的算
16、术平09132a、 na,21 均数都是正整数，求 n 的最大值。2009 年初中数学竞赛江西赛区决赛试题第一试一、选择题（每小题 7 分，共 42 分）1、化简 的值是（ ）.2413243A、 B、 C、 D、 .3672、a,b,c 是互不相同的实数，则代数式 经化简后得到（ ）.)()()(22 bcaxcbaxcabx A、 B、 C、 D、 .22223、设实数 a24一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了
17、34 个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）20075如图，正方形 ABCD 内接于 O，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP，交 AC 于点 Q若QP=QO，则 的值为（ ）QC（A） （B） （C） （D）1323223二、填空题 （共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）6已知 a，b，c 为整数，且 ab=2006，c a=2005若 ab，则 abc 的最大值为 7如图，面积为 的正方形 DEFG 内接于面积为 1c的正三角形 ABC，其中 a，b，c 为整数，且 b 不能被任何质数的平方整除，则 的值等于
18、8正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米甲、乙两人分别从 A、 C 两点同时出发，沿 A B C D E A方向绕广场行走，甲的速度为 50 米/分，乙的速度为 46 米/分那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上9已知 0a1，且满足 ，则 的值等1830293021aa a0于 ( 表示不超过 x 的最大整数)x10小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字 8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字 2，成为一个八位数的电话号码小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的 81 倍，则小明家原来的电话号码是 三、解答题（共 4 题，每小题 15 分，满分 60 分）11已知 ， ， 为互质的正整数（即 ， 是正整数，且它们的最大公约数abxab为 1） ，且 8， 试写出一个满足条件的 x；求所有满足条件的 x132x12设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式abc求 a 的取值范围（第 5 题图）A BCDOQP
