1、攀枝花学院学生创新实验项目结 题 报 告 书项目名称： 特殊函数的计算机仿真研究 承接单位： 电信学院 负 责 人： 袁晓峡 小组成员： 王磊 邵伟伟 张珊 谭成 指导教师： 伍 刚 曾技 完成时间： 2011.07 教务处制二七年七月结题报告2特殊函数的计算机仿真研究1 课题提出的背景特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的函数。它种类繁多，而且不断有新的出现，最常见的有： 函数、B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。一些正交多项式，如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式等等，通常也列入特殊函数的内容中。在些函数中，勒让德函数、贝塞尔函数是基于拉普拉斯方
2、程和热传导方程，在球坐标和极坐标下通过勒让德方程和贝塞尔方程，利用级数解得到的，然而勒让德函数和贝塞尔函数的图形可视化用传统的方法实现非常困难，基于这个原因，本研究提出了应用计算仿真编程来实现的方法，来生成勒让德函数和贝塞尔函数的图形，实现这两种函数的图形可视化。2 课题研究的目的和意义特殊函数在物理学，工程技术，计算方法等方面有广泛的应用。然而特殊函数因其函数表达式繁琐,数学意义难以理解而成为数学物理方法教学中的一个难点内容。因此本研究利用 Matlab 的绘图功能,将特殊函数中的勒让德函数和贝塞尔函数实现了图形化表示,清楚地揭示了这些函数和表达式的数学意义 ,这不仅促进了学生对该部分知识内
3、容的学习和掌握，激发学生的学习热情，巩固所学的专业技术知识，而且还丰富了教学的方法和手段，开拓了特殊函数结果可视化的新途径，同时还提高了学生的编程能力和计算机操作能力，克服了学生学习本门课程的畏难情绪。3 课题的研究方法：3.1 数学建模阶段基于拉普拉斯方程和热传导方程，在球坐标和极坐标下通过分离变量得到勒让德方程和贝塞尔方程，利用级数解得到勒让德函数和贝塞尔函数的表达式。3.2 计算机编程仿真阶段利用 MATLAB 进行编程仿真，实现勒让德函数和贝塞尔函数结果可视化。 4 课题研究的步骤4.1 勒让德函数的计算机研究（1）勒让德简介（2）勒让德方程的引出（3）勒让德方程的求解（4）勒让德函数
4、的计算机仿真4.2 贝塞尔函数的计算机研究（1）勒让德简介（2）勒让德方程的引出（3）勒让德方程的求解结题报告3（4）勒让德函数的计算机仿真5 总体结构及原理5.1 勒让德函数5.1.1 勒让德简介勒让德（Adrien Marie Legendre 17521833） ，法国数学家。1752 年 9 月 18日生于巴黎 ，1833 年 1 月 10 日卒于同地。1770 年毕业于马萨林学院 。1782 年以外弹道方面的论文获柏林科学院奖。1783 年被选为巴黎科学院助理院士，两年后升为院士。1795 年当选为法兰西研究院常任院士。在担任了三年拉普拉斯的教学助手后，作为继任者，出任巴黎高等师范学
5、院的数学教授。1813 年继任拉格朗日在天文事务所的职位。勒让德的主要研究领域是分析学(尤其是椭 圆积分理论)、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，导致了一系列重要理论的诞生。勒让德是椭圆积分理论奠基人之一。在欧拉提出椭圆积分加法定理后的 40年中，他是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家。但他未能像 N.H.阿贝尔和 C.G.J.雅可比那样洞察到关键在于考察椭圆积分的反函数 ，即椭圆函数。在关于天文学的研究中，勒让德引进了著名的“勒让德多项式” ，发现了它的许多性质 。他还研究了 B 函数和 函数，得到了 函数的倍量公式。他陈述了最小二乘法，提出了关于二次变分的“勒让德条件” 。 勒
6、让德对数论的主要贡献是二次互反律，这是同余式论中的一条基本定理。他还是解析数论的先驱者之一，归纳出了素数分布律，促使许多数学家研究这个问题。5.1.2 勒让德方程的引出勒让德方程的引出：通过球坐标系中拉普拉斯方程进行分离变量，就可以得出勒让德方程。在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量，首先写出球坐标系中的拉普拉斯方程为：（1）2222111()(sin)0isiuuurr令(,)()(rR代入（1）得222 2111()(sin)0i sindddRrrr以 乘以上式各项得: 2 2()(i)siniR或22111()(sin)isidddr2R结题报告4上式左端只有与 r 有关，右端只与
7、有关，要它们相等只有当它们都是常数,时才有可能。若将这个常数设为 的形式，则得到：(1)n（2）21()dRr（3）21(sin)(1)isin将方程（2）左端的导数计算出来，即有2(1)0dRrnRr这是个欧拉方程，则它的通解为：(1)12()nnrA其中 为任意常数。12,A以 乘以方程（3）的两端得到：sin221sin(i)()sin0dd即2211sin(i)()sindd此式的左端只与 有关，而右端只与 有关，因此只有当它们均为常数时才有可能相等。若令这个常数为: 从而得到2(0,)m（4） 1sin(i)(1)sind（5）22由方程（5）得:12()cosinBm至于 所满足的
8、微分方程可写为()21(sin)(1)0isid由上式整理可得结题报告5（6） 2 2cot(1)0sindm这个方程称为连带的勒让德方程。如果引用 为自变量 并将 改记为 。则（6）变成：sx()x()()Px(7)2 2(1)(1)0dPmnPxx若 与 无关，则从（5）可知 ，这时（7）简化成,ur（8 ）2(1)(1)0dxnx方程（8）就是所求的勒让德方程。当把式（7.8）中的 p 换成 y 则勒让德方程变为（9）2(1)(1)0dyxnyx这样勒让德方程就导出来了。5.1.3 勒让德方程的求解对于（9）式，设其解的形式为：201( )c nyxaxa （10）00,kc求上式的导数
9、，并与（10）一起代入（9）得： 210 20(1)()(2)(1)cc kkaxaxca （11）0kcknax这是 x 的恒等式，所以 x 的各次幂的系数必全为零，即：（12）0(1)c（13）a2(2)()()1)()0k kkcckna（14）0,1结题报告6由（12）的 c=0 或 c=1，又由（13）得 c=0 或 c=-1 便得到系数 之间的递推关系ka2()1)()0,12)2k kcknaa取 c=0，得（15）2()(,)1k k 将（15）式改写成如下形式：2()(0,1)kkaan于是可以通过多项式的最高次系数 来表示其他各次项的系数。一般说来，当时，能够得到：20nm
10、2(2)!(1)!mnnam如果 n 是正偶数，将这些系数代入下式2 410()()1(3) !nyxx得 212()()!1!nnyxx（ 16）20()()!mnmn如果 n 是正奇数，将上面的 代入下式2ma3 521()(1)()4 !5!yaxxx得到（17）12 20(2)!()!nmnmnyx 把式（ 16）与（ 17）写成统一形式，得： 20()!()1)2!MmnmnnPxx其中结题报告7,21nM当 为 偶 数 时 ， 当 为 奇 数 时此多项式称为第一类勒让德函数（或 n 次勒让德多项式） 。当 n 为整数时，在适当选定之后， 与 中有一个是勒让德多项式 ，另一个仍是无穷
11、级数，na1y2 ()nPx记作 ，此时方程的通解为()Qx12()()nnCPxQ其中 称为第二类勒让德函数，当 n 不是整数时，方程（9）的 通解为()n。12y而连带勒让德函数的定义是：)(2xPknkn上式 是 的 m 阶导数。)x5.1.4 勒让德函数的计算机仿真（1）连带勒让德函数的指令说明在 MATLAB 中，连带勒让德函数的指令是：legendre(N,X)在给定 N,X 的值以后，它将计算所有 N 阶连带勒让德函数在 X 处的函数值，如果X 是矢量，所得的结果 P 是矩阵，而 则是连带勒让德函数 在 X(i)的),1(im)(xPkn值，如在指令窗口中输入：legendre(
12、2,0.0:0.1:0.2)ans =-0.5000 -0.4850 -0.44000 -0.2985 -0.58793.0000 2.9700 2.8800它表示的结果是：（2）前 6 个勒让德多项式的图像结题报告8在这里通过 MATLAB 编程画出前 6 个勒让德多项式的图像，其编程如下：x=0:0.01:1 ;y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);y5=legendre(5,x);y6=legendre(6,x);plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4
13、(1,:),x,y5(1,:),x,y6(1,:)title(勒让德多项式)图 1 : 勒让德多项式的图像（3） 3 阶连带勒让德函数的图形在这里通过 MATLAB 编程画出所有 3 阶连带勒让德函数的图形，其编程如下： clearx=0:0.001:1;y=legendre(3,x);plot(x,y(1,:),-,x,y(2,:),-.,x,y(3,:),:,x,y(4,:),-)legend(P_30,P_31,P_32,P_33)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.500.51 函函函函函函结题报告9title(连带勒让德函数)图 2：3
14、 阶连带勒让德函数的图形（4）连带勒让德函数的极坐标图形勒让德函数实际上是以 为变量的函数，所以也可以在极坐标下作图，下cos面画出 在极坐标系下的图形,其程序设计如下：)321,0(),(2)1,0(Pclearrho=legendre(1,cos(0:0.1:2*pi);t=0:0.1:2*pi;rho1=legendre(2,cos(0:0.1:2*pi);rho2=legendre(3,cos(0:0.1:2*pi);subplot(3,4,1)polar(t,rho(1,:)subplot(3,4,2)polar(t,rho(2,:)subplot(3,4,5)polar(t,rho
15、(2,:)subplot(3,4,6)polar(t,rho(2,:)subplot(3,4,7)polar(t,rho(2,:)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-20-15-10-50510 函函函函函函函P30P31P32P33结题报告10subplot(3,4,9)polar(t,rho(2,:)subplot(3,4,10)polar(t,rho(2,:)subplot(3,4,11)polar(t,rho(2,:)subplot(3,4,12)polar(t,rho(2,:)0.513021060240902701203001503301
16、80 00.51302106024090270120300150330180 00.51302106024090270120300150330180 00.51302106024090270120300150330180 00.51302106024090270120300150330180 00.51302106024090270120300150330180 00.51302106024090270120300150330180 00.51302106024090270120300150330180 00.51302106024090270120300150330180 0图 3：连带勒让
17、德函数的极坐标图形（5）勒让德多项式的计算机仿真勒让德多项式的母函数公式为：010(cos)(1)2(s)()12cosnnrPrrrrr其中它的仿真程序与仿真图形 7.1 如下所示：X,Z=meshgrid(0:0.1:3,0:0.1:2);Q,R=cart2pol(X,Z);结题报告11R(find(R=1)=NaN;u=1./sqrt(1-2.*R.*cos(Q)+R.2);meshc(X,Z,u)Rin=R;Rin(find(Rin1)=NaN;Rout=R;Rout(find(Rout1)=NaN;Uin=1;Uout=1./Rout;for k=1:20Leg=legendre(k
18、,cos(Q);legk=squeeze(Leg(1,:,:);uin=Rin.k.*legk;uout=1./Rout.(k+1).*legk;Uin=Uin+uin;Uout=Uout+uout;endfiguremeshc(X,Z,Uin);hold onmeshc(X,Z,Uout)xlable(X)结题报告12图 4： 勒让德函数在第一象限的分布5.2 贝塞尔函数的推导5.2.1 贝塞尔函数简介贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称。贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在 18 世纪中叶就由瑞士数学家 丹尼尔伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。 丹尼尔的叔叔雅各布伯努利，
19、欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817 年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，後人以他的名字来命名了这种函数。 贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数，记作 Jn（x） ，用 x 的偶次幂的无穷和来定义，数 n 称为贝塞尔函数的阶，它依赖于函数所要解决的问题。第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数)，记作 Nn（x） 。当 n 为非整数时，Nn(x)可以由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义；当 n 为整数时，Nn(x)不能由第一类贝塞
20、尔函数的简单组合得到，此时需要通过一个求极限过程来计算函数值。第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为 HnJniNn，其中 i 为虚数，用 n 阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程。 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有： * 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导问题； * 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题； 在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗（Kaiser w
21、indow）以及波动声学中都要用到贝塞尔函数。5.2.2 贝塞尔函数的导出为了导出贝塞尔函数，在这里以求圆盘的瞬时温度分布为研究对象来推导出贝塞尔方程。设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，所以得到其定解问题如下：结题报告132222022(), ,0(7.24)(,) (.5)0 7.26txyRuuaxyRttxyu 式式式 )20),( 19)8,),(2 220 22 （ （ （yxutatRyxt用分离变量法求解这个问题，先令(,)(,)uxytVTt代入方程（18）得2()axy或2VTa0由此可以得到下面关于函数 和 的方程(
22、)t,)xy（21）2()0t（22）2Vxy从（21）中得2()atTtAe方程（22）称为赫姆霍兹方程。为了求出这个方程满足条件：（23）20xyRV的非零解，现在引用极坐标系，将方程（22）与条件（23）写成极坐标形式得 )2520, )240,122 （ （RV结题报告14再令 (,)()Vp代入（24）并分离变量可得（26） 0(27)2 2()()(0PP由于 是单值函数，所以 也必须是单值的，因此 应该是以,uxyt ,Vxy()为周期的周期函数这就决定了 只能是如下的数：220,1,n 对应于 ，有n，0()a为 常 数ncosinnb(1,2)以 代入方程（27）得2n（28
23、） 2()()(0PP所以上式就是 n 阶贝塞尔方程。若再作代换r并记 ()rFP则得（29）22()rr（ ） +(-n)F(r=0这是 n 阶贝塞尔方程最常见的形式。若将 x 表示自变量，以 y 表示未知函数，则 n 阶贝塞尔方程为（30）22()0dyxn其中 n 为任意实数或复数。在此 n 只限于实数，且由于方程的系数中出现 的项，2n所以在讨论时，假定 。设方程（30）有一个级数解其形式为结题报告15（31）201 00(),c ckkyxaxax其中常数 c 和 可以通过把 y 和它的导数代入（30）来确定。k将（7.37）及其导数代入（7.36）后得 20()1(+)0ckk c
24、xna 要上式成为恒等式，必须各个 x 幂的系数全为零，从而得到下列各式:1） ;20()acn2） ;2103） 2()(,3)kcak由 1）得 代入 2）得 ，现暂取 ，代入 3）得n1cn4） ()kka因为 ，由 4）知 ，而 都可以用 表示，即1013570aa 246,a 0a02()n04()24aa02(16)(2)mmnn 02(!)2()a由此知（31）的一般项为202(1)!()mnax是一个任意常数，让 取一个确定的值，就得（7.36）的一个特解。现把 取0a0 0a作 ，这样选取 可使一般项系数中 2 的次数相同，并可以运用下a列恒等式：，使分母简化，从而使（ 7.
25、37）中()1)(21)(1)nmnnm2n结题报告16的一般项的系数变成（32）221()!()mna以（32）代入式（31）得到式（30）的一个特解 210()(0)!(1nmmxy 用级数的比率判别法可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称称为 n 阶第一类贝赛尔函数，记作（33）20()1(0)!(1mmnxJxn而基于 n 阶第一类贝赛尔函数定义第二类 n 阶第一类贝赛尔函数（诺伊曼函数）为： )34sin)(co)( （xJxJNnn第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为 HnJniNn,它分为第一种和第二种汉克尔函数，其具体表达式为： )35)()()1(
26、 （xiJxHnnn6)2( （N虚宗量贝塞尔函数的定义： )37)()( （ixJInn)8)()( （iInn基于（37） 、 （38）定义虚宗量汉开尔函数为： )39sin)(2)(21 （xIixHeiKnn当 n 取整数 m 时，得到 m 阶虚宗量贝塞尔函数为： )40si)(li)(li12 （ xIxennnin 5.2.3 贝塞尔函数的计算机仿真(1)第一类贝塞尔函数的仿真由于可以直接利用贝塞尔函数在计算机软件里面的调用，所以可以直接利用结题报告17besselj 函数来得出第一类贝塞尔函数 的曲线，其中的计算机012345,JJ仿真程序和仿真图形为图 5 所示：cleary=
27、besselj(0:3,(0:0.2:10);figure(1)plot(0:0.2:10),y)legend(J0,J1,J2,J3)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.500.51J0J1J2J3图 5: 第一类贝塞尔函数曲线分布从图 5 可知，J0（x）的图形像衰减的余弦曲线，J1（x）像衰减的正弦曲线。(2)第二类贝塞尔函数的仿真比较上图，同理可以利用函数 bessely 在计算机软件的调用此函数就可以直接得出第二类贝塞尔函数的具体结果，仿真程序与如下图 6 所示：cleary=bessely(0:1,(0:0.2:10);plot(0:0.2:10),y)grid on
28、legend(N0,N1)结题报告180 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51N0N1图 6： 第二类贝塞尔函数的形状(3)第三类贝塞尔函数的仿真0 0.5 1 1.5 2 2.5 3012345678910K0K1结题报告19图 7：虚宗量汉开尔函数 K0,1 的图形在指令窗口输入：clearK=besselk(0:1,(0.1:0.1:3);plot(0.1:0.1:3),K)legend(K0,K1)便得到虚宗量汉开尔函数K0,1 的图形5.2.4 贝塞尔函数的母函数仿真程序与图 8 如下所示：其中贝赛尔函数的母函数的公式为：1(
29、)2()0)xznneJxz这是以 x 为参数的负函数展开式，取 ，则有：3xm=30;r=(0.3*m:m)/m;theta=pi*(-m:m)/m;z=r*exp(i*theta);z(find(z=0)=NaN;figurecplxmap(z,exp(z-1./z)view(34,44)w=0for k=-20:20u=beesselj(k,30).*z.k;w=w_uendfigurecplxmap(z,w)view(34,44)结题报告20图 8： 贝塞尔函数的母函数的图形6、课题的成果与分析6.1 课题的成果本研究的成果如下（1）完成勒让德函数的数学建模、勒让德函数的求解、计算机编
30、程仿真;（2）写成贝塞尔函数的数学建模、贝赛尔函数的求解、计算机编程仿真6.2 课题分析从本课题的研究可以看出，本课题研究涉及到“数学物理方程与特殊函数” 、“高等数学” 、 “大学物理” 、 “电路” 、 “信号与系统” 、 “电磁场与电磁波” 、 “矢量分析与场论”等多门学科的基本知识，所以在数学建模过程中出现了许多推导细节问题。通过学生的努力，将这些基本知识实现了综合应用，并利用 MATLAB 完成了两种特殊函数的图形可视化。7、对课题研究的思考与总结以上研究是基于拉普拉斯方程和热传导方程，在球坐标和极坐标下通过分离变量分别得到勒让德方程和贝塞尔方程，通过级数解得到勒让德函数和贝塞尔函数
31、的表达式。利用 Matlab 的绘图功能,将勒让德函数和贝塞尔函数实现了图形化表示,清楚地揭示了这些函数和表达式的数学意义,这不仅促进了学生对该部分知识内容的学习和掌握，激发学生的学习热情，巩固所学的专业技术知识，而且还丰富了教学的方法和手段，开拓了特殊函数结果可视化的新途径，同时还提高了学生的编程能力和计算机操作能力，克服了学生学习本门课的畏难情绪。结题报告21参考文献1 陆俊安等. 偏微分方程的 MATLAB 解法M. 武汉大学出版社，20012 邵惠民. 数学物理方法. 科学出版社M，20043 杨巧林. 复变函数与积分变换. 机械工业出版社M，20024 吴崇试. 数学物理方法. 北京
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