1、第四章- 1 -第四章 不定积分章主要内容小结一、求不定积分的基本方法1、直接积分法：通过简单变形，利用基本公式与运算法则求不定积分；2、换元积分法： ，从左到右为第二类换元，从右到左为第一)()()( txdttfdxf 令类换元，也叫凑微分；常见的第一类换元类型：（1） ；)()(21)( 222 baxdfabaf（2） ； )(1)( xdndxbaxf nnn（3） ； （4） ；xefe)( )(lnl xfxf（5） 用于求积分 。xf sicos)(in dnm12cosi是 自 然 数 ）,（6） ；用于求积分 。xdfdco)( x是 自 然 数 ）m(（7） ；用于求积分
2、 。xf tantsec)(ta2 nm2secta是 自 然 数 ）,（8） ；用于求积分xfsec)(tnxd1是 自 然 数 ）n(（9） ；dfdxxf arinri1)(arcsi2（10） ；xff ct)(ttn2（11） ；22211)( dfdxxf （12） ； （13） ；fxf )()( xdfxf 1)()(2常见的第二类换元积分类型：（1） ；)sin(),(2taxdaf 令（2） ；x令（3） ；)sec(),(2txf令（4） ，将被积函数配方，化成上述三种形式之一，再做变量代换。dcbax（5） ；)(),( tbaxf nn 令（6） ；,xpm令 的 最
3、 小 公 倍 数是 nm,第四章- 2 -（7） ；)(),( tdcxbadxcbaxf nn 令（8）当被积函数含有 时，常用变换 化简被积表达式。n1t13、分部积分法： vxuxvud使用原则：1）由 易求出 ；2） 比 好求；3）可多次使用；dx一般经验：按“反、对、幂、指、三”的顺序，前者为 ，后者为 。uv多次分部积分的规律： xvun)1( vnn)()(xvun d)1()2()1()( 二、几种特殊类型的积分1、一般积分方法。多 项 式 与 部 分 分 式 之 和有 理 函 数简 单 无 理 函 数三 角 函 数 有 理 式指 数 函 数 有 理 式 分 解 成根 式 代
4、换三 角 代 换指 数 代 换 2、需要注意的问题（1）一般方法不一定是最简便的方法（如三角函数中的万能代换） ，要注意综合使用各种基本积分法，简化计算。（2）初等函数的原函数不一定是初等函数，有些不定积分是不能用初等函数表示的。如 ,d2xe。,dsinx,si2,dln1x,4,d13x,)10(dsin2kxk例 1 求 。2cosi解： 。Cxdxxdxdx tancocs1sincosinisin 2222本题采用的是简单变形后直接积分法。例 2 。xx493解：原式= 。Cdxxxx 3ln2)arct(3ln)2(1)32(1d23本题采用第一类换元，并利用 。axln第四章-
5、3 -例 3 求 。xxd15)ln(2解：原式= 。Cxx 232 5)1ln(35)1ln()l(本题采用凑微分法， 。dxdxx222 11)l(d例 4 求 。xcos1in解：原式 。Cxdxd2tant2tan2si本题采用简单变形，化成两个积分，并由分部积分法得出结论。例 5 求 。xedarctn解：原式= dxeeexxxxx2arctn1arctnrt。Cde xxxxxx )l(rt1arctn2本题先用凑微分法，然后用分部积分法及恒等变形，最后由基本公式得出结论。例 6 求 。xx)(23解：令 ， ，则 ，uxev2)4( 0,6,13)4(2 uxuu，利用多次分部
6、积分规律xxxve22 6,81,1原式= 。CxxeC )724(81)3(4)( 3223对积分 都可用多次分部积分规律。,cos(,sin,) dxaPdxadxePkkak 例 7 设 ，证明递推公式 。Innsc )(1tane22 nInI证明： xdxxx 222 tasec)(sctasece 2222 )(tae)()(tasec nnnnnn IIddx所以 。1tasec122 IxI nnn说明：一般不定积分中递推公式的推导多数用到分部积分公式。第四章- 4 -例 8 求 。xd1解： ，则 1)(F121)(22xCxF由 的连续性， ，即 ，故)(x)()( 1 2
7、C。21)(122xCxFd对分段函数或绝对值函数的不定积分，要分段求积分，求出的原函数应是连续函数。例 9 已知 的一个原函数为 ，求 。)(fxcosdf)(解： 。Cxxfxdfx cos)( Cxcos2sin例 10 求 。)1(0解： )1(10)()( 010910 xdxdxd。Cx 1ln)()( 0101010本例为有理函数的积分，但所用方法为凑微分法与恒等变形。例 11 。6321dxxe解：令 则 ，,6xetdtt,ln6321dxxett)1(23 dtttt )136()1(d622 。Ctttarcn)ln(ln62 Ceeex xxx66236arctn)ln
8、()l(3本题是指数函数的有理式，通过指数代换，化成有理函数的积分。例 12 求 。xdsico3解：令 ，)sin(co)sin(conxBAx。Cxx sicl2i2sic第四章- 5 -说明：一般对积分 ，xdcbasino令 。)sinco()(sinco xdBAxba例 13 求不定积分 。xsin)co2(1解： ， )cos1)(2(di)(dsin)co2(1 22 xdx令 ，则 ，txs)1(si)( 2t由 ，得出12)1(2tCBtAt 1,6,3CBACttttdtdx )1ln(2)l()2ln(1263sin)co(。Cx )cosln(1)l(cos612l31说明：此题是三角函数的积分，采用的是三角代换，本题也可用万能代换。例 14 求 （ 为自然数） 。nnnbxaI11)()(d解： ，令 ，则nnnxI11)()(nbxaa)(dnbxatdttbadtabxnn21)(,。CtabtaI)(2 Caxbn本题为无理函数的积分，通过变量代换，转化成有理函数的积分。
