1、分式不等式的证明与方法摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法二利用基本不等式法均值不等式即：利用不等式 niyxm1niyix1)(（ ）证明一类难度较大的分式不等式niimmyxi12)(2,1,iRi是很简捷的。例 2.若 且 ，则有,2)(iai Nmsniia,1 ni mai1)(snm证明:(1)当 m=1
2、 时， ， ，所以有： =naniii 21sii21 )1(ainii +s=n( )niinia11s2ns(2)当 m=2 时, n)1(iniim21nini m)()(nsm综上，由（1） （2）知原不等式成立。排序不等式即，适用于对称不等式例 3.设 a,b,c 是正实数，求证： 23baccba证明：不妨设 a 则cb11由排序不等式得：(1) bacbabac(2)由（1）+(2)得2（ ） ，所以baccba323baccba利用倒数不等式即:若 0,则i nniii 21例 4设 都是锐角，求证：且 取什么值时成立？, ,证明： ，不等式左边拆项得：1cosin22=cs2
3、221 sni2222cosin11又由于 i由倒数不等式有: )( sicosin2222 9)111( 2222sincosic所以原不等式成立当且仅当 即 时等sii2222 2tan,1t号成立。利用柯西不等式法即利用 来证明。)(1R)(212 bbainiini例 5、如果 ，nN,且 n3,求证 + +an.21 a213+ 0n12)(n1证明：原不等式等价于+ + a2132an12)(n12由柯西不等式得：（ - ）+（ - ）+（ - ） + + 1223n121a32n12)(1+2+ = =)()(24)(当 n3 时， 142所以 + + a2132an12)(n1
4、24)(an12（5）利用 Grammer 法则，即把数学知识进行高初的有机结合是我们学习和对数学创新的一个重要目的例 6.设 0 求证:ai 113221 naannn 证明：令 xn1132n2131 xan121设 为未知数，显然此方程组的系数行列式),(iD= ，用 分别替换 D 中的第 i 列得：ni,y 由 Grammer 法则有：),21()(1)(nnxDiiini ,故有：)(1nnj ijiiaannn 113221 = + +1)(1jjx)(12jjx1)(1njjx)2( 2123132 n nnn )()(= 1n三零点法即利用非负实数的性质 )(0)2时 等 号
5、成 立ba例 7.设 是正实数，且 求证：),21(,nibainiini11niiniii112证明：当 时，不等式取等号，且baii 2baiiiii构造不等式 即有：0)2(2baii，令 i=1,2,相互叠加，得：0432abiiii，因为 ，所以有112niniiinii niiniba11niiniiiab112四。利用放缩法对于某些分式不等式，抓住其特点，将分子分母进行适当的放缩处理，就能收到意想不到的结果。例 8.设 a,b,c,d 为任意正数，求证： 21 cadcabda证明：首先分母缩小以证明右式 2 dcbacc然后分母放大以证明左式 1 dcbacdcdcbadacb
6、da所以原不等式成立。五.换元法。常用的换元方法有局部代换，整体代换，三角代换。例 9 （W.Janous 猜想）设 求证：Rzyx, 0222zyxzy证明:令原不等式左边为 M, 则,cba,所以有：cbzxbayzcxy , abcbcacaM )()()()( 22222 因为 ，所以有：bba2222222 , ，cccb2(故 M0,当且仅当 时等号成立，所以原不等式成立。 （局部代换）zyx例 10.已知 a,b,c,d ,且 ，求证：R1112222 dba91abcd证明：设 ，则 ， ，又设tan),0(,sin2，由 ，有),0(,(t,t,tandcb 1sinsi22
7、22 ，则有：coisisi 222221，同理:)1(3 ins2,sini 22222 ,)3(cis23 ， （1） （2） （3） （4）4osii 22222 得: csscinsin2222281即： 81tata所以有： 91bcd代数不等式的三角代换，常利用同角万能公式将常数化为三角函数。整体代换例 11 已知 ,且 ,求证：Rcba, 11cba 122cba证明：由已知得: ,设1,x,1y,z则有: 且 ，所以： ,1xa,yb,1zczy，所以 ，822)()(1 zyxxzyxabc 81abc所以： 13162322 cba6构造法构造法通常是指构造函数，构造数列，
8、构造对偶式，构造模型，构造向量等，这些都是证明分式不等式的有力工具。构造对偶式也叫配对法例 12.已知 a,b,c 均为正数，求证: 32232323 cbacbcab 证明：设 ,2232323cbaM则 M-N=0 即 M=N,又cbaaN2232323，由基本不等式得：acbab 222222 )()()( ，所以有: ,又 M=N,故31313122222 acab 3)(cbNMcM利用数列性质或公式证明分式不等式常显得新颖，别具一格。例 13 设 ，且满足 求证：Ryx, 1,yx xy122证明：因为 ，所以有1,0,2xy由无穷等比数列求和公式 得出数列的求和有：qsa1 )(
9、)(2)()1(1 42424222 yxxyxxyy12构造模型例 14.设 x,y 是正数，求证： 21212aa证明:原不等式等价于不等式：aa2212211 当 时，等号成立，故左端为最小。可利用光学原理的最21短线路模型构造图形，作线段 ，以 BC 的中点 M 为顶角，aBC21作直角三角形 AMB,DMC，使 AB=DC=1，则有 ，再设21aCBC 上任意一点 P，令 ，连接 AP,PD，根据光线直进为P21,最短路线原理知：AM+MD AP+PD,有aaa2212211 所以原不等式成立。 利用函数性质巧构造函数式例 15 已知 ，且 a+b+c=1，求证 Rcba, 01)3
10、()(1)3(222 cba证明：构造函数 ，易知在(0,1)上为增函数，所以对任意xf21)(，有 ,则 ，分别令)1,0(x 0)3)(2x )13(01)(2xxx=a,b,c，代入上式相加得： 03)(103)(1)3()(222 cbacba所以原不等式成立。有一类分式不等式的证明在数学竞赛中经常出现，它的特点是不等式的一边是形如 的式子，通过构造向量并利cbacba,2用 ，可得到这类分式不等式的简捷证法，且构造向量的方ba法思路单一，操作方便。例 16 已知 ，求证 :Rcba, 222 cbacb证明：构造向量 ),(),(vacau由 有:vu cbabb )(22平方整理后
11、得：2caca7类比法有的不等式难于找到证法，则多观察，多联想，多分析，多比较，利用相似思想来找出证明的方法。例 17 任给 13 个实数，求证其中至少存在两个实数（记作:x,y）满足3210xy分析:考虑到 13 与 的联系，从结构看与三角的正切公式相似，xy1,32又 ，故可以从此入手求证。12tan32证明：设任给 13 个实数，记作 ，将 等分)2,(,321(ntaii ),2(成 12 个区间，则 至少有两个角的终边落在同一区间（不落在 y 轴上),令这两i个角分别为 ，则 ，再令 ，则 。)(,120tan,tyx xy1)t(由于正切函数是增函数，且有 ，所以3tan 321)
12、t(0xy八 利用局部不等式证明分式不等式对于一些和式，积式的分式不等式证明题，很多情况都无法从整体下手，往往需要先考虑局部式子的特征，想办法估计局部性质，导出一些局部不等式，最后再结合这些局部不等式，就会山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村，很完美的达到证明的目的。例 18 若 a,b,c0,且 a+b+c=1.求证： 91313222cba分析：这个和式分式不等式，要从整体下手有一定的困难，于是我们考虑局部不等式。并且很容易看出这个不等式是当且仅当 时，取等号的，然3c后我们就可以尝试构造局部不等式。证明： 0)1(0)13(01,0, 22 aacbacb且)(3(132)2(31(0132b
13、)(2c（1）+（2）+（3）得: 91313222cba九用互叠法证明分式不等式对于一类分式不等式的证明题，如果大胆地左右两边互叠相加，兴许产生意料不到的奇迹。定理 1.欲证明不等式 PQ 只需证明不等式 P+Q2Q例 19.设 求证：cbacbacba22证明：设 ，考察新不等式 QP,2 QcbacbacbcbaQP 2)(2)(2)()()(22 显然 P+Q2Q,依据定理 1，知 PQ，故原不等式成立。(注：此处不能取等号，因为 等号不能同时bcbaba2,22 成立)定理 2：欲证明不等式 ,只需证明新不等式QPQP2例 20.若 ，求证：Rcba,22 cbacb证明： )4()4()4(2 22222 bacacbcbacbQP ，即 ,所以原不等式成立Qcba2P2这几种证明方法会让我们加深对分式不等式的理解，让我们对分式不等式不会再发愁，为证明分式不等式指明了捷径。参考文献：用“零件不等式”证明一类积式不等式 蒋明斌不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌不等式 西南大学出版社一类竞赛题的新证法 滕曙霞数学奥林匹克标准教材 周沛耕 王博程数学分析的方法及例题选讲 徐利治一类分式不等式的解法 李建潮数学奥林匹克问题 郭要红一个奥赛不等式的几种解法 孙建斌一道数学奥林匹克问题的解法探讨 朱华伟
