立体几何试题解析.doc

1、立体几何试题解析1如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， , 点 是SABCDABSABCDSAM的中点， ，且交 于点 .SDNN（I） 求证： 平面 ；/M（II）求二面角 的大小； （III）求证：平面 平面 .解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）SNMD CBA SNMD CBA3如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ，且 ，ABCDPABCDPB, 2A为 中点.E（）求证： 平面 ； （）求二面角 的大小；（）在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，确定点 的位置；FEPF5F若不存在，请说明理由.解法一：（综合几何法）解法二：（空间

2、向量法）PAB CDEPAB CDE4如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点.(1)求直线 B1C 与 DE 所成角的余弦值；(2)求证：平面 EB1D平面 B1CD；(3)求二面角 EB1CD 的余弦值.解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）6如图，四棱锥 中， 底面 ， 底面 为梯形， ，PABCDABCDPABCD/C. ，点 在棱 上，且 ABE2E（）求证：平面 平面 ；（）求证： 平面 ；（）求二面角 的大小解法一：（综合几何法）EA BCDP解法二：（空间向量法）EA BCDP7如图，在直三棱柱 中， ，点 是 的中点.1ABC190,ABCBD

3、1AC（I）求 与 所成的角的大小；1（II）求证： 平面 ；D（III）求二面角 的大小.1解法一：（综合几何法） ACBDD1A1C1B解法二：（空间向量法） ACBD1A1C1B8如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面PABCP AB， 30CBA， PAB. ABC（）求证： ； 平 面（）求二面角 的大小；（）求异面直线 和 所成角的大小. 解法一：（综合几何法）解法二： （空间向量法）9如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=90，AB =BB1，直线 B1C 与平面 ABC 成 30角.（I）求证：平面 B1AC平面 ABB1A1；（II）求直线 A1C 与平面 B1A

4、C 所成角的正弦值；（III ）求二面角 BB1CA 的大小.解法一：（综合几何法）解法二：（空间向量法）DCBAP10如图，三棱锥 PABC 中， PC 平面 ABC，PC=AC=2，AB=BC，D 是 PB 上一点，且 CD 平面 PAB(I) 求证： AB 平面 PCB；(II) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小； （III）求二面角 C-PA-B 的大小解法一：（综合几何法）DCBAP解法二：（空间向量法）11直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB=120 ，AC=CB=A 1A=1，D 1 是 A1B1 上一动点(可以与 A1 或 B1 重合） ，过 D1 和 C1C 的

5、平面与 AB 交于 D.（）证明 BC平面 AB1C1；（）若 D1 为 A1B1 的中点，求三棱锥 B1-C1AD1 的体积 ；1BCADV（）求二面角 D1-AC1-C 的取值范围.解法一：（综合几何法）A BCDA1 B1C1D1解法二：（空间向量法）A BCDA1 B1C1D112四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD,AB / CD, AD =CD=1， , ， .120BAD3P90ACB（）求证: 平面 ；C（）求二面角 的大小；（）求点 到平面 的距离.解法一：（综合几何法）APD CB解法二：（空间向量法）13已知如图(1)，正三角形 ABC 的边长为 2a,CD 是

6、AB 边上的高，E、F 分别是 AC 和 BC 边上的点，APD CB且满足 ，现将ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B,如图（2）. CEFkAB() 试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；() 求二面角 B-AC-D 的大小； () 若异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为 ，求 k 的值.24图（1） 图（2）1 （）证明：连结 交 于 ，连结 . 是正方形， 是 的中点. 是 的中点， 是 的中位线. . 又 平面 ， 3 分又 平面 ， 平面 .4 分（）解：取 中点 ，则 .作于 ，连结 . 5 分 底面 ， 底面 . 为 在平面 内的射影.

7、 , . FED CBAFED CBAFED CBA 为二面角 的平面角. 7 分设 ，在 中， . 二面角 的大小为 . 9 分（III）证明：由条件有 平面 ， 10 分又 是 的中点， 平面 11 分 由已知 平面 又 平面 平面 平面 方法二：解：（II）如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ， 5 分由 故设 ，则 底面 ， 是平面 的法向量， 设平面 的法向量为 , , 7 分则 即 令 ,则 . , 二面角 的大小为 9 分（III） ， ， 12 分又 且 . 又 平面 平面 平面 . 14 分2 （）证明：连结 ，设 与 的交点为 ，连结 . 是 的中点， 是 的中点

8、， 3 分 4 分（）解： 设点 到 的距离为 在三棱锥 中， ， 且 . 易求得 即点 到 的距离是 9 分（）解：在平面 内作 于点 ， 过点 作 于点 ，连结 易证明 ， 从而 是 在平面 内的射影，根据三垂线定理得 是二面角 的平面角 易求得 ， 在 中， 二面角 的大小是 14 分解法二： 在直三棱柱 中， ， ，两两垂直 .如图，以 为原点，直线 分别为 轴，轴， 轴，建立空间直角坐标系，则 （）证明：设 与 的交点为 ，则 （）解：设点 到 的距离为 在三棱锥 中， ，且 易求得 即点 到 的距离是 9 分（）解：在平面 内作 于点 ， 过点 作 于点 ，连结 易证明 ， 从而

9、是 在平面 内的射影，根据三垂线定理得 是二面角 的平面角. 易知二面角 的大小是 3解法一：（）证明：底面 为正方形， ，又 ， 平面 ， . 2 分同理 ， 4 分 平面 5 分（）解：设 为 中点，连结 ，又 为 中点，可得 ，从而 底面 过 作 的垂线 ，垂足为 ,连结 由三垂线定理有 ， 为二面角的平面角. 7 分在 中，可求得 9 分 二面角 的大小为 （）解：由 为 中点可知,要使得点 到平面 的距离为 ，即要点 到平面 的距离为 . 过 作 的垂线 ，垂足为 , 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，即 为点 到平面 的距离. ， 12 分设 ，由 与 相似可得， ，即 在线段 上存

10、在点 ，且 为 中点，使得点 到平面 的距离为 解法二：（）证明：同解法一 （）解：建立如图的空间直角坐标 ， 则 .设 为平面 的一个法向量，则 ， 又 令 则 得 8 分又 是平面 的一个法向量，设二面角 的大小为 ，则 二面角 的大小为 （）解：设 为平面 的一个法向量，则 ， 又 ， 令 则 得 12 分又 点 到平面 的距离 ， ，解得 ，即 .在线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，且 为 中点4解法 1：（1）取 A1D，则 A1D/B1C 知，B1C 与 DE 所成角即为 A1D 与 DE 所成角，连结 A1E.由正方体 ABCD-A1B1C1D1，可设其棱长为 a，（

11、2）取 B1C 的中点 F，B1D 的中点 G，连结 BF，EG ， GF.GF ，BE CD，BE GF，四边形 BFGE 是平行四边形，BF/GE.（3）连结 EF.解法 2：如图建立空间直角坐标系 A-xyz.则 A（0，0，0） ，B（2a，0，0）,C(0，2a，0)A1（0，0，2a） ，B （2a ，2，2a ） ，C1（0，2a，2a） （1）取 AB 的中点 H，连结 CH.（3）设平面 AB1E 的一个法向量为 由于平面 AEF 的一个法向量为 故设 与 m 所成角为 .由于平面 AB1E 与平面 AEF 所成的二面角为锐二面角， 的平面角的余弦值为 .5解法一:（） 连结

12、 BD在 中， . ，点 为 AC 的中点， 即 BD 为 PD 在平面 ABC 内的射影， 2 分 分别为 的中点, , 4 分（） 连结 交 于点 ， ， ， 为直线 与平面 所成的角， .6 分. ， ，又 ， . ， ，在 Rt 中， ， 8 分（）过点 作 于点 F，连结 ， 即 BM 为 EM 在平面 PBC 内的射影， 为二面角 的平面角11 分 中， , 13 分解法二：建立空间直角坐标系 B?xyz,如图，则 ， ， ， ， .（） ， ， .4 分（）由已知可得， 为平面 的法向量， , ，直线 与面 所成角的正弦值为 .直线 与面 所成的角为 .（）设平面 PEF 的一个

13、法向量为 a ， ， a ，a ，令 ， a 由已知可得，向量 为平面 PBF 的一个法向量， a ， a .二面角 的正切值为 .14 分6证明：（）PA底面 ABCD， 又 ABBC， ， 平面 又 平面 ，平面 平面 （）PA底面 ABCD，AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影又PCAD ，ACAD在梯形 中，由 ABBC，AB=BC，得 ， 又 ACAD，故 为等腰直角三角形 连接 ，交 于点 ，则 在 中， ， 又 PD 平面 EAC，EM 平面 EAC，PD平面 EAC（）在等腰直角 中，取 中点 ，连结 ，则 平面 平面 ，且平面 平面 = ， 在平面 内，过 作 直线 于

14、 ，连结 ，由于 是 在平面 内的射影，故 就是二面角 A-CE-P 的平面角 12 分在 中，设 ，则， ， ，由 ， 可知： ， 代入解得： 在 中， ， 即二面角 A-CE-P 的大小为 解法二：（）以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴，如图建立空间直角坐标系设 ，则， ， ， . 设 ，则， ， ，解得： 连结 ，交 于点 ， 则 . 7 分 在 中， ， 又 PD 平面 EAC，EM 平面 EAC，PD平面 EAC（）设 为平面 的一个法向量，则 ， 解得： ， 设 为平面 的一个法向量，则 ，又 ， ， 解得： ， 13 分二面角 A-CE-P 的大小为 14 分7法一：（I）在

15、直三棱柱 中, / .是 与 所成的角. 2 分在 中， ， . 与 所成角为 .（II）取 中点 ，连结 ， 是 的中点，则 .平面 ， 平面 . 则 是 在平面 内的射影. ,. 同理可证 . 8 分又 ， 平面 .（III）取 中点 ，连结 ， , , 则 为二面角 的平面角. 12 分在 中， ，则 = . 14 分即二面角 的大小为 . 法二：（I）同法一.（II）建立空间直角坐标系 ，如图， 则 ， ， ， ， （ . 6 分则 ， . 8 分，且 .平面 . 9 分（III） ,平面 .是平面 的法向量. 由（II）可知 是平面 的法向量. . 即二面角 的大小为 8解法一：（）

16、证明：平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， . 平面 ， .又 .（）解：作 于点 ， 于点 ，连结 . 平面 平面 ， ，根据三垂线定理得 ， 是二面角 的平面角. 6 分设 ， .，即二面角 的大小是 .（）解：在底面 内分别过 作 的平行线，交于点 ，连结 .则 是异面直线 和 所成的角或其补角. ， ，.易知底面 为矩形，从而 ， 在 中， ， 异面直线 和 所成角的大小为 . 解法二：作 于点 ， 平面 平面 ， 平面 .过点 作 的平行线，交 于点 .如图，以 为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 . 2 分. .， . 4 分（）证明： . 又 .（）解：作 于

17、点 ，连结 .平面 ， 根据三垂线定理得 ， 是二面角 的平面角. 在 中， ， 从而 ， 即二面角 的大小是 .（）解： ，异面直线 和 所成角的大小为 . 9解法一：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B平面 ABC，B1BAC ，又 BAAC，B1BBA=B，AC平面 ABB1A1，又 AC 平面 B1AC，平面 B1AC平面 ABB1A1. 4 分（II）解：过 A1 做 A1MB1A1 ，垂足为 M，连结 CM，平面 B1AC平面 ABB1A，且平面 B1AC平面 ABB1A1=B1A，A1M 平面 B1AC.A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角，直线 B1C 与平面 A

18、BC 成 30角，B1CB=30 .设 AB=BB1=a，可得 B1C=2a，BC= ，直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为 9 分（III）解：过 A 做 ANBC，垂足为 N，过 N 做 NOB1C，垂足为 O，连结 AO，由 ANBC，可得 AN平面 BCC1B1，由三垂线定理，可知 AOB1C，AON 为二面角 B-B1C-A 的平面角，二面角 B-B1C-A 的大小为 14 分解法二：（I）证明：同解法一. 4 分（II）解：建立如图的空间直角坐标系 A-xyz，直线 B1C 与平面 ABC 成 30角，B1CB=30.设 AB=B1B=1，直线 A1C 与平面 B1AC

19、 所成角的正弦值为 9 分（III）解：设 为平面 BCC1B1 的一个法向量，二面角 B-B1C-A 的大小为 14 分10解法一：(I) PC 平面 ABC， 平面 ABC，PC AB2 分CD 平面 PAB， 平面 PAB，CD AB4 分又 ，AB 平面 PCB 5 分(II) 过点 A 作 AF/BC，且 AF=BC，连结 PF，CF 则 为异面直线 PA 与 BC 所成的角 由（）可得 ABBC，CF AF 由三垂线定理，得 PF AF则 AF=CF= ，PF= ，在 中， tanPAF= = ，异面直线 PA 与 BC 所成的角为 （III）取 AP 的中点 E，连结 CE、DE

20、 PC=AC=2，CE PA，CE= CD 平面 PAB，由三垂线定理的逆定理，得 DE PA 为二面角 C-PA-B 的平面角 由(I) AB 平面 PCB，又AB=BC，可求得 BC= 在 中，PB= ， 在 中， sinCED= 二面角 C-PA-B 的大小为 arcsin 解法二：（I）同解法一(II) 由(I) AB 平面 PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得 BC= 以 B 为原点，如图建立坐标系则（， ，） ，（0，0，0） ，C（ ，0） ，P（ ，2） ， 则 +0+0=2= = 异面直线 AP 与 BC 所成的角为 （III）设平面 PAB 的法向量为 m= (x，

21、y，z)， ，则 即 解得 令 = -1, 得 m= ( ，0，-1)设平面 PAC 的法向量为 n=( )， ，则 即 解得 令 =1, 得 n= (1，1，0)12 分= 二面角 C-PA-B 的大小为 arccos 14 分11方法 1：（）证明：依条件有 CBC1B1，又 C1B1 平面 A B1C1，CB 平面 A B1C1， 所以 CB平面 A B1C1.3 分（）解：因为 D 为 AB 的中点，依条件可知 C1DA1B1. 所以 = = C1D1( A1AD1B1)= ( 1 )= .7 分（）解：因为 D1 是 A1B1 上一动点， 所以当 D1 与 A1 重合时，二面角 D1

22、-AC1-C 的大小为 ； 当 D1 与 B1 重合时，如图，分别延长 A1C1 和 AC1，过 B1 作 B1EA1C1 延长于 E，依条件可知平面 A1B1C1平面 ACC1A1，所以 B1E平面 ACC1A1.过点 E 作 EFA1C1，垂直为 F. 连结 FB1， 所以 FB1A1C1.所以B1FE 是所求二面角的平面角. 容易求出 B1E= ，FE= . 所以 tanB1FE= = .所以B1FE= arctan . （或 arccos ）所以二面角 D1-AC1-C 的取值范围是arctan ，（或arccos ，）.13 分方法 2：（） ， （）略（）解：如图建立空间直角坐标系

23、，则有A(1，0 ，0) ，B1(- ， ，1)，C1(0，0，1).因为 D1 是 A1B1 上一动点，所以当 D1 与 A1 重合时，二面角 D1-AC1-C 的大小为 ；当 D1 与 B1 重合时， 显然向量 n1=(0，1，0)是平面 ACC1A1 的一个法向量.因为 =(1，0，-1) ， =(- ， ，1)，设平面 C1AB1 的法向量是 n2=(x，y，z)，由 n2=0， n2=0，解得平面 C1AB1 的一个法向量 n2=(1， ，1).因为 n1n2= ，| n1|=1 ，| n2|= ，设二面角 B1-AC1-C 的大小为 ，所以 cos= .即 =arccos .所以二

24、面角 D1-AC1-C 的取值范围是arccos ，（或arctan ，）.13 分12解法一: 证明： PA底面 ABCD,平面 ABCD, ， = ， .又 ， 平面 .4 分(2) AB / CD, .ADC=600,又 AD =CD=1,为等边三角形,且 AC=1.取 的中点 ，则 ，PA底面 ABCD， 面 过 作 ，垂足为 ，连 ，由三垂线定理知 .为二面角 的平面角.由 . 二面角 的大小为 . (3)设点 到平面 的距离的距离为 .AB/CD, 平面 面 ,平面 .点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离. , . 解法二(1) 同解法一; 4 分(2) 取 的中点 ，则 .又

25、 PA底面 ABCD, 面 , 5 分 5 分建立空间直角坐标系，如图.则，设 为平面 的一个法向量，为平面 的一个法向量，则可取 ；，可取 . 9 分.故所求二面角的大小为 . (3) 又 . 由（）取平面 的一个法向量 ,点 到平面 的距离的距离为.13解：() AB平面 DEF. 在ABC 中， E、F 分别是 AC、BC 上的点，且满足 ， ABEF.图（2） AB 平面 DEF，EF 平面 DEF， AB平面 DEF. 3 分 ()过 D 点作 DGAC 于 G，连结 BG， ADCD, BDCD, ADB 是二面角 A-CD-B 的平面角. ADB= , 即 BDAD. BD平面

26、ADC. BD AC. AC平面 BGD. BG AC . BGD 是二面角 B-AC-D 的平面角. 5 分在 ADC 中，AD=a, DC= , AC=2a, .在 Rt BDG 中， . .即二面角 B-AC-D 的大小为 . 8 分() ABEF, DEF(或其补角)是异面直线 AB 与 DE 所成的角. 9 分 ， .又 DC= , ， . . 解得 . 13 分14解：（I）直三棱柱 ABC-A1B1C1，B1B 面 ABC，B1BAB. 又ABBC ，AB面 BCC1B1. 连结 BC1，则AC1B 为 AC1 与平面 B1BCC1 所成角. 依题设知，BC1=2 ，在 RtABC1 中，5 分（II）如图，连结 DF，在 ABC1 中，D 、F 分别为 AB、BC1 的中点，DFAC1，又DF 平面B1DC，AC1 平面 B1DC， AC1平面 B1DC.10 分（III）PB1=x ，