1、立体几何综合大题（理科）40 道及答案1、四棱锥 PABCD中, 底面 ABCD, 23P, 2BCD,3.()求证: BD平面 PAC；()若侧棱 上的点 F满足 7,求三棱锥 PBDF的体积。【答案】()证明:因为 BC=CD，即 为等腰三角形，又 ,故BCDAC.ACBD因为 底面 ，所以 ,从而 与平面 内两条相交直线PPABP都垂直，,故 BD平面 AC。()解： .32sin1sin21 BCDSB由 底面 知 . PAC3PASVDP由 得三棱锥 的高为 ,7FCPBDCPA81故： 4323813PASVBD472BCDFPF2、如图，四棱锥 中，四边形 为矩形， 为等腰三角形
2、，BCDPA，平面 平面 ，且 ， 分别为 和90AA1,2,EFPC的中点BD EFDA CBP（）证明： 平面 ；EAP（）证明：平面 平面 ；DC（）求四棱锥 的体积B【答案】（）证明：如图，连结 AC四边形 为矩形且 是 的中点 也是 的中点 ABDFBDFAC又 是 的中点， EPCEP 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； FAEAPD（）证明：平面 平面 ， ，平面 平面DBCA，ABCD所以平面 平面 ，又 平面 ，所以 CDPAPADC又 ， 是相交直线，所以 面 PA,又 平面 ，平面 平面 ； C（）取 中点为 连结 , 为等腰直角三角形，所以 ，DOPADPOAD因为面 面
3、 且面 面 ，PABB所以， 面 ，即 为四棱锥 的高 C由 得 又 2AD1POAB四棱锥 的体积 1233VPOAD考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥 中， ， ， ABCBC平 面 PA， ， ， .DB平 分 EP为 的 中 点 45D2（）证明： ；PABDE平 面（）若 求四棱锥 的体积,2,ABCD【答案】 （）设 ，连接 EF，FCPDABPD，平 面，平 面ADP平 面，又 ADCPADPCD平 面，平 面 ,45, 平分 为 中点， 为 中点，B,AFEP 为 的中位线. ECP ，F,ABDE平 面 PABDE平 面 . P平 面()底面四边
4、形 的面积记为 ;CS ABDCS 232121的 中 点 ，为 线 段点 PE 112323ABCDVS考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.4、如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB为菱形，其中 2PAD，60BAD， Q为 的中点(1) 求证： ；ADPQB平 面(2) 若平面 平面 ,且 为 的 中 点 ， 求 四 棱 锥 的 体CMPMABCD积 【答案】 （1） ， 为中点， PADQADPQ连 ，在 中， ， 60B，B为等边三角形， 为 A的中点，A, DBQ, 平面 , 平面 , PPBQPB平面 . A（2）连接 ,作 于 . QCMH HA B CDP M
5、Q, 平面 ,PPA平面 平面 ABCD ,ADD平面 平面 ABCD， , PQBC平 面,AD平 面PQC. /MH, ABD平 面又 , . 12PC1322PQ在菱形 中， ,AB, 01sin62ABDS13=2=. 3ABDABCS形 MABCDV13ABCMH形 13215、如图， E是矩形 中 边上的点， F为 CD边的中点，243，现将 E沿 B边折至 PE位置，且平面 PBE平面BCD. 求证：平面 PB平面 F； 求四棱锥 EC的体积. PB CDFEB CDA FE(1) (2)【答案】(1) 证明：由题可知，45EDFEFBEAB 中中ABECDBEFPBEPEFF平
6、 面 平 面平 面 平 面 平 面 平 面 平 面平 面(2) 1642142BEFCADBEDFSS，则1814233BEFCVh. 6、已知四棱锥 PAD中， ,PABCD平 面 是正方形，E 是 PA的中点，(1)若 ，求 PC 与面 AC 所成的角PDA(2) 求证： /C平面 EBD(3) 求证：平面 PBC平面 PCD【答案】 (1)P平面 A， C是直线 P在平面 上的射影，ABCDCD是直线 和平面 所成的角。又 ，四边形 是正B方形， ,D， 045； 直线 和平面 所成的角为 045（2）连接 AC 交 BD 与 O,连接 EO, E、O 分别为 PA、AC 的中点EOPC
7、 PC 平面 EBD,EO平面 EBD PC平面 EBD（3）PD 平面 ABCD, BC平面 ABCD，PDBC ，ABCD 为正方形 BCCD ，PDCD=D, PD，CD 平面 PCDBC 平面 PCD又 BC 平面 PBC平面 PBC 平面 PCD7、在边长为 4cm的正方形 ABCD中， EF、 分别为 BCD、 的中点， MN、 分别为 ABCF、 的中点，现沿 、 、 折叠，使 、 、 三点重合，重合后的点记为 ，构成一个三棱锥（1）请判断 MN与平面 AEF的位置关系，并给出证明；（2）证明 B平面 ；（3）求四棱锥 的体积【答案】 （1） 平行平面 AEF 证明：由题意可知点
8、 MN、 在折叠前后都分别是 ABCF、 的中点（折叠后BC、两点重合）所以 N平行 F因为AEM面面平 行，所以 N平行平面 AEF.（2）证明：由题意可知 B的关系在折叠前后都没有改变.因为在折叠前 ADF，由于折叠后 ADB与 重 合 ，点 F与 重 合 ，所以ABF 因为 =EBF面面，所以 AB平面 EF.（3） EAFNMEABFMNVV ABEFMNV113BEFBESS11242332.8、在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， 平面 ，ABCDMABCD ， 、 、 分别为 、 、 的中点，且 .PDMAEGFMP2PA (1)求证：平面 平面 ；EFGPDC(2)求三棱锥
9、 与四棱锥 的体积之比MAB AB【答案】(1)证明： 平面 ， ，MA 平面 ，PDC又 平面 ， ，BAPDB 为正方形， DC. ， 平面 .PDC C在 中，因为 分别为 、 的中点，PBCGF、 PBC ， 平面 .FD又 平面 ，平面 平面 .E(2)不妨设 ， 为正方形， ，=1MABC2PAD 又 平面 ，PD所以 .ABCV 3ABCDSP正 方 形 83由于 平面 ，且 ，M所以 即为点 到平面 的距离，D三棱锥 2 .PMABV 1323所以 .4PABCD : :9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中， .21,0 ADBCSAS，面(1)求四棱锥 S-A
10、BCD 的体积;(2)求证： SBCA面面 (3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值。【答案】 （1）解：11()()32624vShADBCSA（2）证明：BCSAABCD,面，面又 ,S， S面AB面BC面面（3）解：连结 AC,则 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角。S在三角形 SCA 中，SA=1,AC= ,2121tanACS10.如图，四棱锥 BD中，底面 ABC为矩形， SD底面 ABC，2D， 2S，点 M在侧棱 S上， ABM=60。 （ I）证明： 是侧棱 SC的中点；求二面角 B的大小。 【答案】分别以 DA、 DC、 DS 为 x、 y、 z 轴如图建立空间
11、直角坐标系 Dxyz，则 )2,0(),(),02(),02( SCA。（）设 MCS，则 )12,(),12,0( MB又 oABAB6,),02(故 o0cs|，即22)1()(14，解得 1，所以 M是侧棱 SC的中点。（）由（）得 )1,2(),10(MA，又 )2,0(AS，)0,2(AB，设 ),(), 2211 zyxnzyxn分别是平面 S、 MB的法向量，则01ASM且 012BA，即 0211zxy且 022yzx分别令 21x得 ,21yz，即),0(),(21n， 36,cos21 二面角 SAMB的大小 arcos。11、如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB
12、 AC,D、 E 分别为 AA1、 B1C 的中点，DE平面 BCC1（）证明： AB=AC （）设二面角 A-BD-C 为 60,求 B1C与平面 BCD 所成的角的大小【答案】 （）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz。设 B（1，0，0） ， C（0， b，0） ， D（0，0， c） ，则 1B（1，0，2 c）,E（ 2， b， c）.于是 D=（ 1， 2，0） ， BC=（-1， b,0）.由 DE平面 1BC知 DE BC， EBC=0，求得 b=1，所以 AB=AC。（）设平面 BCD 的法向量 (,)ANxyz则 0,.AB
13、ND又 B=（-1，1， 0） ，D=（-1，0， c）,故 0xycz 令 x=1, 则 y=1, z=1c,AN=(1,1, 1c)。又平面 BD的法向量 C=（0，1，0）由二面角 A为 60知， AN， =60，故 60cosACNA，求得 21c 于是 ），（ 21 ， ），(1B2cos11CAN，601B， 所以 CB1与平面 D所成的角为 3012、如图， 平面 AC， /E， 2ACBEDC，20A， ,PQ分别为 ,B的中点 （ I）证明： /PQ平面 A；（ II）求 与平面 所成角的正弦值【答案】 （）证明：连接 CQDP,， 在 ABE中， QP,分别是 ABE,的中
14、点，所以 BEPQ21/， 又 21/，所以 DC/，又 平面 ACD ， DC平面 ACD， 所以 /平面 ACD（）在 AC中， BQA,，所以 AB而 DC平面 ABC， DCEB/，所以 EB平面 ABC而 EB平面 ABE， 所以平面 ABE 平面 ABC， 所以 CQ平面 ABE由（）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 DP/所以 DP平面 ABE， 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP，所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 A在 ARt中， 5122DC ，1sin2QCDP所以 5iAP13、如图，四棱锥 PBCD的底面是正方形，PDA底 面，点 E 在棱
15、PB 上.（）求证：平面AECPDB平 面； （）当 2PDAB且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.【答案】 （）四边形 ABCD 是正方形， AC BD， PDABC底 面 ， PD AC， AC平面 PDB，平面 AECPDB平 面 .（）设 AC BD=O，连接 OE，由（）知 AC平面 PDB 于 O， AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角， O， E 分别为 DB、 PB 的中点， OE/PD， 12PD，又 ABCD底 面 ， OE底面 ABCD， OE AO，在 Rt AOE 中， 12OEPABO， 45A，即 AE 与平面 PDB 所成的
16、角的大小为 45.14、如图，在四棱锥 PBCD中，底面 AB是矩形， PA平面 BCD，4PAD， 2以 的中点 O为球心、 D为直径的球面交 于点 M（1）求证：平面 A平面 ；（2）求直线 C与平面 B所成的角；（3）求点 O到平面 的距离【答案】 （1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，OAPB CMD所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影，所以 PNM就是 C与平面 ABM所成的角，且 Dtantan2P所求角为 rct2（3）因为 O 是 BD 的中点，则 O
17、 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由（1）知，平面于 M，则| DM|就是 D 点到平面 ABM 距离.因为在 Rt PAD 中， 4PAD， A，所以 为 P中点，2DM，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 2。15、如图，正方形 BC所在平面与平面四边形 BEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形， ,45AEFA（ I）求证： F平 面 ；（ II）设线段 CD、 的中点分别为 P、 M，求证： PBE平 面（ III）求二面角 FBA的大小。【答案】 （ I）因为平面 ABEF平面 ABCD， BC平面 ABCD， BC AB，平面ABEF平面 A
18、BCD=AB，所以 BC平面 ABEF.所以 BC EF.因为 ABE 为等腰直角三角形， AB=AE，所以 AEB=45，又因为 AEF=45,所以 FEB=90，即 EF BE.因为 BC平面 ABCD, BE 平面 BCE,BC BE=B所以 EFC平 面（ II）取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN 12ABPC PMNC 为平行四边形,所以 PM CN. CN 在平面 BCE 内, PM 不在平面 BCE 内, PM平面 BCE. （ III）由 EA AB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD.作 FG AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG EA.
19、从而 FG平面 ABCD,作 GH BD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BD FH. FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. FA=FE, AEF=45, AEF=90, FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF= 2,则 1FGAsin2在 Rt BGH 中, GBH=45,BG=AB+AG=1+ =3,32GHBsin4, 在 Rt FGH 中, FGtaH3, 二面角 FBDA的大小为 2arctn16、如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形， SD平面 ABCD,SD AD a,点 E 是SD 上的点，且 DE a(0 1). ()求证：对任意的 （0、1） ，都
20、有 AC BE:()若二面角 C-AE-D 的大小为 600C，求 的值。【答案】 （）证发 1：连接 BD，由底面是正方形可得 ACBD。SD 平面， BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影，由三垂线定理得 AC BE.(II) SD平面 ABCD， 平面， SDCD. 又底面是正方形， D D，又 AD=D， CD平面SAD。过点 D 在平面 SAD 内做 DFAE 于 F，连接 CF，则 CF AE， 故 CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角，即 CFD=60在 Rt ADE 中， AD=a, DE= ， AE=a12 。于是， DF= 12AE在 Rt CDF 中，由 cot6
21、0= 12CDF得 312， 即 32=3 (0,， 解得 = 217、如图 3，在正三棱柱 1ABC中， AB=4, 17A,点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且 DEE.（）证明：平面 1平面 1A; （）求直线 AD 和平面 A所成角的正弦值。【答案】 （）如图所示，由正三棱柱 1ABC的性质知 1A平面 BC.又 DE平面 ABC，所以 DE 1.而 DE 1E， 11,所以 DE平面 1A.又 DE 平面 1AD，故平面 1DE平面 1C.（） 过点 A 作 AF 垂直 1于点 F,连接 DF.由（）知，平面 1E平面 1A，所以 AF平面 1AD,故 F是直线 AD
22、和平面 1E所成的角。 因为 DE1AC，所以 DE AC.而 ABC 是边长为 4 的正三角形，于是 AD=23， AE=4-CE=4-12D=3.又因为 17A，所以 1AE= 21AE2(7)3= 4, 134EF, sin8FD.即直线 AD 和平面 1A所成角的正弦值为 21 .18、如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形， ,45EF（ I）求证： F平 面 ；（ II）设线段 CD、 A的中点分别为 P、 M，求证： PM BE平 面（ III）求二面角 F的大小。【答案】（ I）因为平面 ABEF平面 ABCD， BC平面
23、ABCD， BC AB，平面 ABEF平面ABCD=AB，所以 BC平面 ABEF.所以 BC EF.因为 ABE 为等腰直角三角形， AB=AE，所以 AEB=45，又因为 AEF=45,所以 FEB=90，即 EF BE.因为 BC平面 ABCD, BE 平面 BCE,BC BE=B所以 EFC平 面 （ II）取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN 12ABPC PMNC 为平行四边形,所以 PM CN. CN 在平面 BCE 内, PM 不在平面 BCE 内, PM平面 BCE. （ III）由 EA AB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD.作 FG A
24、B,交 BA 的延长线于 G,则 FG EA.从而 FG平面 ABCD,作 GH BD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BD FH. FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. FA=FE, AEF=45, AEF=90, FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF= 2,则 1GsinFA2在 Rt BGH 中, GBH=45,BG=AB+AG=1+ =3,32GHBsin4, 在 Rt FGH 中, FGtaH3, 二面角 FBDA的大小为 2rctn19、如题（18）图，在五面体 BCDEF中， A C， 2BAD，2CA，四边形 A为平行四边形， 平面 ，3,7FED求：（）
25、直线 B到平面 EFC的距离；（）二面角 A的平面角的正切值【答案】（） ,ABDC平面 EFD, AB 到面 EFCD的距离等于点 A 到面EF的距离，过点 A 作 G于 G，因 2BA ，故；又 平面 B，由三垂线定理可知， ，故CD面，知 CD，所以 AG 为所求直线 AB 到面 EFCD的距离。在 RtAB 中， 2945FC由 平面 ，得 AAD，从而在 Rt A中，2541FD2AG。即直线 B到平面 EFCD的距离为 25。（）由己知， F平面 ACD，得 AD，又由 2BA，知ADB，故 平面 ABFEE，所以， E为二面角 FE的平面角，记为 .在 Rt 中, 2743AD,
26、由 ABCD得, FEA,从而 2AF在 RtAEF 中, 2312AEF ,故 tan2FEA所以二面角 D的平面角的正切值为 .20、如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB60，AB2 AD， PD底面 ABCD(1)证明： PA BD；(2)设 PD AD，求二面角 A PB C 的余弦值【答案】(1)因为 DAB60， AB2 AD，由余弦定理得 .3BDA从而 BD2 AD2 AB2，故 BD AD又 PD底面 ABCD，可得 BD PD所以 BD平面 PAD 故 PA BD(2)如图，以 D 为坐标原点， AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz.则 A(1，0，0)， B(0， ，0)， C(1， ，0)，33P(0，0，1)(1， ，0)， (0， ，1)， (1，0，0)AB3PB3BC设平面 PAB 的法向量为 n( x， y， z)，则 nAP即 30xyz因此可取 n( ，1， )3设平面 PBC 的法向量为 m，则 0PBC可取 m(0，1， )， .3427cos,n故二面角 APBC 的余弦值为 .27
