1、1直线与方程，圆与方程倾斜角与斜率1. 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为 0. 则直线 l 的倾斜角 的范围是 .02. 倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 . tank如果知道直线上两点 ，则有斜率公式 . 特别地是，当12(,)(,)Pxy 21ykx， 时，直线与 x 轴垂直，斜率 k 不存在；当 ， 时，直线12x12y 1212y与 y 轴垂直，斜率 k=0.注意：直线的倾斜角 =90时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合
2、. 当 =90时，斜率 k=0；当 时，斜率 ，随着 的增大，斜090k率 k 也增大；当 时，斜率 ，随着 的增大，斜率 k 也增大. 9018k这样，可以求解倾斜角 的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线 、 ，其斜率分别为 、 ，有：1l212k（1） ；（2） .12/l1kl12k2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于 x 轴；.直线的点斜式方程1. 点斜式：直线 过点 ,且斜率为 k，其方程为 .l0()Pxy 00()ykx2. 斜截式：直线 的斜率为 k，在 y 轴上截距为 b，其
3、方程为 .b3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 过点 且与 x 轴垂直,l0(,)P此时它的倾斜角为 90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 ，或 . 0x0x4. 注意： 与 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一0yk0()ykx点 ，后者才是整条直线.0(,)Px直线的两点式方程1. 两点式：直线 经过两点 ，其方程为 ， l12(,)(,)Pxy1122yx2. 截距式：直线 在 x、 y 轴上的截距分别为 a、 b，其方程为 .l ab3. 两点式不能表示垂直 x、 y 轴直线；截距式不能表示垂直 x、 y 轴及过原点的直线.24. 线段 中点
4、坐标公式 .12P1212(,)xy直线的一般式方程1. 一般式： ，注意 A、 B 不同时为 0. 直线一般式方程0AxByC化为斜截式方程 ，表示斜率为 ， y 轴上截距0()AxByCCyxAB为 的直线.2 与直线 平行的直线，可设所求方程为 ；与直线:0lxy 0xyC垂直的直线，可设所求方程为 . 过点 的直线0AxByC 0BxAy(,)P可写为 .0()()经过点 ，且平行于直线 l 的直线方程是 ；0M00()()y经过点 ，且垂直于直线 l 的直线方程是 .x3. 已知直线 的方程分别是： （ 不同时为 0） ，12,l 11:lABC1,AB（ 不同时为 0） ，则两条直
5、线的位置关系可以如下判别：22:0lAxByCAB（1） ； （2） ；112l1212121/0,l（3） 与 重合 ； （4） 与 相交21,Cl2.110如果 时，则 ； 与 重合 ； 与2ABC11122/ABll21122ABCl相交 . 2l12两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 . 11220AxByC若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程 为直线系，所有的直线恒过一个定1122()()0AxByCAxB
6、yC点，其定点就是 与 的交点.0两点间的距离1. 平面内两点 ， ，则两点间的距离为：1(,)Pxy2(,)xy.221211|()()Pxy特别地，当 所在直线与 x 轴平行时， ；当 所在直线,P122|12,P与 y 轴平行时， ；当 在直线 上时，122|1,Pykxb3.21212|Pkx2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.点到直线的距离及两平行线距离1. 点 到直线 的距离公式为 .0(,)Pxy:0lAxByC02|AxByCd2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线
7、 ，11:0l之间的距离公式 ，推导过程为：在直线 上任取22:0lAxByC12|dAB2l一点 ，则 ，即 . 这时点 到直线0(,)P020AxByC02xyC0(,)Pxy的距离为11:lxy12|d第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程： 22()()xaybr圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程2、点 与圆 的关系的判断方法：0(,)Mxy22()()（1） ，点在圆外 （2） = ，点在圆20abr 2200()()xaybr上（3） ，点在圆内2200()()xyr4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程： 02FEyDx2、圆的一般方程的特点：(1)
8、x2 和 y2 的系数相同，不等于 0 没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。44.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线 ： ，圆 ： ，圆的半径为 ，圆l0cbyaxC02FEyDxyx r心 到直线的距离为 ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几)2,(EDd点：（1）当 时，直线 与圆 相离；（2）当 时，直线 与圆 相切；rdlCrdlC（3）当
9、 时，直线 与圆 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长为 ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：l（1）当 时，圆 与圆 相离；21rl1C2（2）当 时，圆 与圆 外切；l（3）当 时，圆 与圆 相交；|21r21rl12C（4）当 时，圆 与圆 内切；（5）当 时，圆 与圆 内|lC|21rl1C2含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步
10、：将代数运算结果“翻译”成几何结论4.3.1 空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ， 、 、 分别是),(zyxyzP、Q、R 在 、 、 轴上的坐标xyz2、有序实数组 ，对应着空间直角坐标系中的一点),(3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 来表示，该数组叫做点),(zyxM 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M ， 叫做点 M 的横坐标， 叫),( yO yx MMRP Q5做点 M 的纵坐标， 叫做点 M 的竖坐标。z4.3.2 空间两点间的距离公式1、空间中任意一点 到点 之间的距离),(11yxP),(22zyxP公式 21212121 )()()( zy
11、xP 一、选择题1设直线 的倾斜角为 ，且 ，则 满足（ 0axbycsinco0,ab）A B C D11baba02过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ）(,3)P032yxA B C D0yx552yx73已知过点 和 的直线与直线 平行，则 的值为（ (2,)m(,4) 01m）A B C D0824已知 ，则直线 通过（ ）,abcaxbycA第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限5直线 的倾斜角和斜率分别是（ ）1xA B C ，不存在 D ，不存在04,035,1090186若方程 表示一条直线，则实数 满足（ 14)()2(2myxmm）A
12、 B C D ， ，023123二、填空题1点 到直线 的距离是_.(,)P10xy2已知直线 若 与 关于 轴对称，则 的方程为_; 若,32:1l2ly2lO yzxMP1 P2NM1N2N1M2 H6与 关于 轴对称，则 的方程为_;若 与 关于 对称，则 的3l1x3l 4l1xy4l方程为_;3.若原点在直线 上的射影为 ，则 的方程为_。l)1,2(l4点 在直线 上，则 的最小值是_.(,)Pxy40xy2xy5直线 过原点且平分 的面积，若平行四边形的两个顶点为lABCD，则直线 的方程为_(1,),0BDl答案：一、选择题 1.D 2.A tan1,1,0akb设 又过点 ，
13、则 ，即 3.B 2,xyc(,3)P20,c21xy4.C 5.C 垂48mk ,cyxkbbx直于 轴，倾斜角为 ，而斜率不存在 6.C 不能同时为x09223m0二、填空题1. 2. 321()32d234:,:,:23,lyxlyxly3. 50xy01,(1)2)kk4. 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：82xy42d5. 平分平行四边形 的面积，则直线过 的中点3yxABCDBD(3,2)高考题1. （ 2013 年高考天津卷（文） ）已知过点 P(2,2) 的直线与圆 相25(1)xy切 , 且与直线 垂直, 则 （ ）10axyaA B1 C2 D 12 22.
14、 （ 2013 年高考陕西卷（文） ）已知点 M(a,b)在圆 1:Oxy外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是 （ ）A相切 B相交 C相离 D不确定3. （2013 年高考广东卷（文） ）垂直于直线 且与圆 相切于1yx21xy7第一象限的直线方程是 （ ）A B 20xy10xyC D1 24. （2013 年高考江西卷（文） ）若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1 相切,则圆 C 的方程是 _.5. （2013 年高考浙江卷（文） ）直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等于_. 6. （2013 年高考山东卷（文） ）
15、过点(3,1)作圆 22()()4y的弦,其中最短的弦长为_1C 2. B 3. A4、 ，5、 【答案】 ，6、 【答案】 223()()4xy452一、选择题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上1直线 y kx3 与圆( x2) 2( y3) 24 相交于 M、 N 两点，若| MN|2，则 k 的取值范围是( )3A ，0 B ， 34 33 33C ， D ，03 323解析：本小题主要考查直线与圆的位置关系、圆的方程与几何性质如图，记题中圆的圆心为 C(2,3)，作 CD MN 于 D，则| CD| ，于是|2
16、k|1 k2有| MN|2| MD|2 2 2 ，即 4 3，解得|CM|2 |CD|24 4k21 k2 3 4k21 k2 k .33 338答案：B2(2011潍坊市)若 PQ 是圆 x2 y29 的弦， PQ 的中点是 M(1,2)，则直线 PQ 的方程是( )A x2 y30 B x2 y50C2 x y40 D2 x y0 解析：由圆 的几何性质知 kPQkOM1， kOM2， kPQ ，故直线12PQ 的方程 为 y2 (x1)，即 x2 y50.12答案：B3(2011日照市)若直线 1 经过点 M(cos ，sin )，则( )xa ybA a2 b21 B a2 b21C.
17、 1 D. 11a2 1b2 1a2 1b2解析：由点 M(cos ，sin )可知，点 M 在圆 x2 y21 上，又直线 1 经过点 M，所以 1 a2 b2 a2b2，不等式两边同时除以 a2b2xa yb |ab|a2 b2得 1，故选 D.1a2 1b2答案：D4(2011临沂市)已知直线 x y m0 与圆 x2 y21 交于 A、 B 两点，3则与 共线的向量为( )OA OB A. B.(12， 33) (12， 33)C(1， ) D(1， )3 3解析：根据题意| | |1，故( ) ，直线 AB 的斜率为OA OB OA OB AB ，故向量 所在直线的斜率为 ，结合选项
18、知，只有选项 D 符合要33 OA OB 39求 答案：D5(2011烟台市)若圆 x2 y2 ax2 y10 与圆 x2 y21 关于直线y x1 对称，过点 C( a， a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为( )A y24 x4 y80 B y22 x2 y20C y24 x4 y80 D y22 x y10解析：由圆 x2 y2 ax2 y10 与圆 x2 y21 关于直线 y x1 对称可知两圆半径相等，故可得 a2(舍负)，即点 C(2,2)，所以过点 C(2,2)且与 y 轴相切的圆圆心的轨迹方程为( x2) 2( y2) 2 x2，整理即得y24 x4 y80，
19、故选 C.答案：C6(2011山东省临沂市)已知点 P(x， y)在直线 x2 y3 上移动，当2x4 y取最小 值时，过点 P(x， y)引圆 C： 2 2 的切线，则此切(x12) (y 14) 12线长等于( )A. B. C. D.12 32 62 32解析：由于点 P(x， y)在直线 x2 y3 上移动，得 x， y 满足 x2 y3，又 2x 4y2 x2 2y2 4 ，取得最小值时 x2 y，此时点 P 的坐标为2x 2y 2.由于点 P 到圆心 CError!，Error!的距离为 d (32， 34) ，而圆 C 的半径为 r ， 则切线长为 (32 12)2 (34 14
20、)2 2 22 d2 r2 ，故选 C.2 12 62答案：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上7圆心为原点且与直线 x y20 相切的圆的方程为_解析：本题考查了直线与圆的位置关系，在解题时应首先求得原点到 直线的距离，即是圆的半径，写出圆的方程即可，题目定位于简单题由题意可知，原点到直线 x y20 的距离为圆的半径，即 r ，所以圆的方程为 x2 y22. |0 0 2|2 2答案： x2 y228若不同的两点 P， Q 的坐标分别为( a， b)，(3 b,3 a)，则线段 PQ 的10垂直平分线 l 的斜率为_；圆( x2) 2( y3
21、) 21 关于直线 l 对称的圆的方程为_解析：本小题主要考查了直线与圆的知识，并且 考查了圆关于直线对称的知识点由题可知 kPQ 1，又 klkPQ1 kl1，圆关于直线 l 对称，3 a b3 b a找到圆心(2,3)的对称点(0,1)，又圆的半径不变，易得 x2( y1) 21.答案：1 x2( y1) 219(2011临沂)已知点 P 在直线 x2 y10 上，点 Q 在直线x2 y30 上， PQ 中点为 M(x0， y0)，且 y0 x02，则 的取值范围为y0x0_解析：如下图所示，点 M 在射线 AB 上，射线 AB 的方程为 y x12 12，点 A 的坐标是 ，根据 的几何
22、意义可知 的取值范围是(x 53) ( 53， 13) y0x0 y0x0( ， 12 15答案：( ， 12 1510(2011苏锡常镇)如果圆( x a)2( y a)24 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是_ 解析：( x a)2( y a)24，圆心坐标为( a， a)，半径为 2，圆心在直线 y x 上，只需考察圆心与原点之间的距离，先画个单位圆，由于圆( x a)2( y a)24 的半径为 2，当 a 时，单位圆与圆( x a)2( y a)24 内切，22此时只有切点到原点的距离是 1；当 a 时，单位圆与圆( x a)2( y a)32224 外切，此
23、时也只有切点到原点的距离是 1；而当 a 时，单位圆与圆22 322(x a)2( y a)2 4 相交于两个点，且恰有这两个交点到原点的距离为 1；同11理，当 a 时，单位圆与圆( x a)2( y a)24 也相交于两个点，322 22且恰有这两个交点到原点的距离为 1.即当 a 或 a 时，单位圆22 322 322 22与圆( x a)2( y a)24 相交于两个点，在圆( x a)2( y a)24 上总存在这两个交点到原点的距离为 1. 答案： a 或 a22 322 322 22三、解答题：本大题共 2 小题，共 25 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 11(12 分
24、)已知，如图， O： x2 y21 和定点 A(2,1)，由 O 外一点P(a， b)向 O 引切线 PQ，切点为 Q，且满足| PQ| PA|.(1)求实数 a、 b 间满足的 等量关系；(2)求线段 PQ 长的最小值；(3)若以 P 为圆心所作的 P 与 O 有公共点，试求半径取最小值时 P 的方程解：(1)连接 OP， Q 为切点， PQ OQ，由勾股定理有|PQ|2| OP|2| OQ|2.又由已知| PQ| PA|，故| PQ|2| PA|2，即( a2 b2)1 2( a2) 2( b1) 2.化简得实数 a、 b 间满足的等量关系为 2a b30.(2)由 2a b30，得 b2
25、 a3.|PQ| a2 b2 1 a2 ( 2a 3)2 1 .5a2 12a 85(a 65)2 45故当 a 时，| PQ|min ，65 255即线段 PQ 长的最小值为 .25512(3)设 P 的半径为 R， P 与 O 有公共点， O 的半径为1，| R1| OP| R1，即 R| OP|1 且 R| OP|1.而| OP| a2 b2 a2 ( 2a 3)2 .5(a 65)2 95故当 a 时，| PO|min ，此时 b2 a3 ，65 355 35Rmin 1.则半径取最小值时 P 的方程为 2 2 2.355 (x 65) (y 35) (355 1)12(13 分)(2
26、011福建)已知直线 l： y x m， mR.(1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l，问直线 l与抛物线 C： x24 y是否相切？说明理由解：解法一：(1)依题意，点 P 的坐标为(0， m)因为 MP l，所以11，0 m2 0解得 m2，即点 P 的坐标为(0,2)从而圆的半径r| MP| 2 .(2 0)2 (0 2)2 2故所求圆的方程为( x2) 2 y28.(2)因为直线 l 的方程为 y x m所以直线 l的方程为 y x m.由Error!得 x24 x4 m0. 4 244 m16(1 m)当 m1，即 0 时，直线 l与抛物线 C 相切；当 m1，即 0 时，直线 l与抛物线 C 不相切综上，当 m1 时，直线 l与抛物线 C 相切，当 m1 时，直线 l与抛物线 C 不相切解法二：13(1)设所求圆的半 径为 r，则圆的方程可设为( x2) 2 y2 r2.依题意，所求圆与直线 l： x y m0 相切于点 P(0， m)，则Error! 解得Error!所以所求圆的方程为( x2) 2 y28. (2)同解法一
