1、1湖南省衡阳市 2016-2017 学年高一数学下学期第一次月考试题（理科实验班）注意事项：1.本卷为衡阳八中高一年级理科实验班第一次月考试卷，分两卷。其中共 22 题，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分）本卷共 12 题，每题 5
2、 分，共 60 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.已 知扇形的周长是 4cm，则扇形面积最大时候扇形的中心角弧度数是（ ）A2 B1 C D32.若 cosx=sin63cos18+cos63cos108，则 cos2x=（ ）A B C0 D3.已知 ，且 ，则 的值为（ ）2tan3,2cos3in9sA B C D15715374.下列函数中，最小正周期为 的奇函数是（ ）Ay=sin（2x+ ） By=cos（2x+ ）Cy=sin2x+cos2x Dy=sinx+cosx5.已知菱形 ABCD 边长为 2，B= ，点 P 满足 = ，R，若 =3，则 的值为（ ）
3、A B C D6.若 sinx+cosx= ，则 tan（x+ ）=（ ）2A B C D7.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a，b，c 成等比数列若sinB= ，cosB= ，则 a+c=（ ）A B C3 D28.在直角坐标系中，一动点从点 A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为 1 的圆）圆周按逆时针方向运动 弧长，到达点 B，则点 B 的坐标为( )A（ ， ） B（ ， ）C（ ， ） D（ ， ）9.要得到函数 y=sin（4x ）的图象，只需将函数 y=sin4x 的图象（ ）A向左平移 单位 B向右平移 单位C向左平移 单位 D向右平移 单位
4、10.如图所示，两个非共线向量 ， 的夹角为 ，M、N 分别为 OA 与 OB 的中点，点 C 在直线 MN 上，且 =x +y （x，yR），则 x2+y2的最小值为（ ）A B C D11.已知向量 ， ， ，若向量 ， 的夹角为(cos,in)a(cos2,in)b(,2)ab，则有（ ）A B C D212.已知 M 是ABC 内一点，且 ，若MBC，MCA，MAB 的面积分别为， 则 xy 的最大值是（ ）A B C D3第 II 卷 非选择题（共 90 分）二.填空题（每题 5 分，共 20 分）13.如果 sin（x+ ）= ，则 cos（x）= 14.已知平面上四点 O、A、B
5、、C，若 = + ，则 = 15.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影等于 (2,3)a(,1)bab16.如图所示是函数 y=2sin（x+）（| ，0）的一段图象，则 f（ ）= 三.解答题（共 6 题，共 70 分）17.（本题满分 10 分）已知向量 =（cos，sin）， =（2，1）（1）若 ，求 的值；（2）若| |=2， ，求 的值18.（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2，E 是 PB 上的点（）求证：平面 EAC平面 PBC；（）若 E 是 PB 的中点，若 AE
6、与平面 ABCD 所成角为 45，求三棱锥 PACE 的体积419.（本题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a+b5，c= ，且 4sin2 cos2C= （1）求角 C 的大小；（2）求ABC 的面积20.（本题满分 12 分）如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形 ABCD，上部是圆 AB，该圆弧所在的圆心为 O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH（其中 E，F 在圆弧 AB上，G，H 在弦 AB 上）过 O 作 OPAB，交 AB 于 M，交 EF 于 N，交圆弧 AB 于 P，已知OP=10，MP=6.5
7、（单位：m），记通风窗 EFGH 的面积为 S（单位：m 2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设POF=（rad），将 S 表示成 的函数；（ii）设 MN=x（m），将 S 表示成 x 的函数；（2）试问通风窗的高度 MN 为多少时？通风窗 EFGH 的面积 S 最大？521.（本题满分 12 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，点（a，b）在直线 2xcosBycosC=ccosB 上（1）求 cosB 的值；（2）若 a= ，b=2，求角 A 的大小及向量 在 方向上的投影22.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）=1 （a 为常数）为 R 上的奇函数（
8、）求实数 a 的值；（）对 x（0，1，不等式 sf（x）2 x1 恒成立，求实数 s 的取值范围；（）令 g（x）= ，若关于 x 的方程 g（2x）mg （x）=0 有唯一实数解，求实数 m 的取值范围62017 年上期高一年级理科实验班第一次月考数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C A B A D C A B B C B13.14.15.16.117.（1）若 ，则 =2cossin=0 ，tan= =2， = = = （2）| |=1，| |= ，若| |=2， ，则有 2 + =4，即 12 +5=4，解得 =1，即 2cossin=1，
9、平方可得 4cos24sincos+sin 2=1，化简可得 3cos 24sincos=0，即 tan= 再利用同角三角函数的基本关系 sin2+cos 2=1，求得 cos= ，sin= ， = sin+ cos= 18.（）PC平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACPC，AB=2，AD=CD=1，7AC=BC= AC 2+BC2=AB2，ACBC又 BC平面 PBC，PC平面 PBC，BCPC=C，AC平面 PBC，又AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBC解：（）取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，E，F 是 PB，BC 的中点，EFPC，由 PC平面 ABCD，EF平面 AB
10、CDEAF 为 AE 与平面 ABCD 所成角即EAF=45AF= = ，EF=AF= E 是 PB 的中点，V PACE =VEABC = = = 19.（1）A+B+C=180， =90 ，由 得： ， ，整理得：4cos 2C4cosC+1=0，8解得： ，0C180，C=60；（2）由余弦定理得：c 2=a2+b22abcosC，即 7=a2+b2ab，7=（a+b） 23ab=253abab=6，20.（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故 OM=3.5（i）在 RtONF 中，NF=OFsin=10sin，ON=OFcos=10cos在矩形 EFGH 中，EF=2MF=
11、20sin，FG=ONOM=10cos3.5，故 S=EFFG=20sin（10cos3.5）=10sin（20cos7）即所求函数关系是 S=10sin（20cos7），0 0，其中 cos 0= （ii）因为 MN=x，OM=3.5，所以 ON=x+3.5在 RtONF 中，NF= = = 在矩形 EFGH 中，EF=2NF= ，FG=MN=x，故 S=EFFG=x 即所求函数关系是 S=x ，（0x6.5） （2）方法一：选择（i）中的函数模型：令 f（）=sin（20cos7），则 f（）=cos（20cos7）+sin（20sin）=40cos 27cos20由 f（）=40cos
12、27cos20=0，解得 cos= ，或 cos= 因为 0 0，所以 coscos 0，所以 cos= 设 cos= ，且 为锐角，则当 （0，）时，f（）0，f（）是增函数；当 （， 0）时，f（）0，f（）是减函数，所以当 =，即 cos= 时，f（）取到最大值，此时 S 有最大值9即 MN=10cos3.5=4.5m 时，通风窗的面积最大方法二：选择（ii）中的函数模型：因为 S= ，令 f（x）=x 2（35128x4x 2），则 f（x）=2x（2x9）（4x+39），因为当 0x 时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x 时，f（x ）0，f（x）单调递减，所以当 x= 时，f（
13、x）取到最大值，此时 S 有最大值即 MN=x=4.5m 时，通风窗的面积最大21.（1）因为点（a，b）在直线 2xcosBycosC=ccosB 上所以 2acosBbcosC=ccosB，由正弦定理变形得 2sinAcosBsinBcosC=sinCcosB，所以 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，又 sinA0，所以 cosB= ；（2）由（1）得 B=60，因为 a= ，b=2，所以 cosA= ，所以 A=arccos ；因为B=60，所以向量 在 方向上的投影为 acos60= 22.（）由题意知 f（0）=0即 ，所以 a=2此
14、时 f（x）= ，而 f（x）= ，所以 f（x）为奇函数，故 a=2 为所求10（）由（）知 ，因为 x（0，1，所以 2x10，2 x+10，故 sf（x）2 x1 恒成立等价于 s2 x+1 恒成立，因为 2x+1（2，3，所以只需 s3 即可使原不等式恒成立故 s 的取值范围是3，+）（） 由题意 g（x）= ，化简得 g（x）=2 x+1，方程 g（2x）mg（x）=0，即 22xm2 x+1m=0 有唯一实数 解令 t=2x，则 t0，即等价为 t2mt+1m=0，（t0）有一个正根或两个相等正根设 h（t）=t 2mt+1m，则满足 h（0）0 或由 h（0）0，得 1m0，即 m1当 m=1 时，h（t）=t 2t，满足题意由 得 m=2 2，综上，m 的取值范围为 m1 或 m=2 2
